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4 二次函数的应用 第1课时,1.掌握长方形和窗户透光最大面积问题，体会数学的模型思想和数学应用价值 2.学会分析和表示不同背景下实际问题中的变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识解决实际问题,当a0时,y有最小值,当a0时,y有最大值,二次函数的最值求法,(1)设矩形的一边AB=xm,那么AD边的长度如何表示？ (2)设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的值最大？最大值是多少?,如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.,M,N,【例题】,解析：,某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多少?,【跟踪训练】,解析：,即当x1.07m时，窗户通过的光线最多.此时窗户的面积为4.02m2.,1（包头中考）将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是 cm2,或,【答案】,2（芜湖中考）用长度为20m的金属材料制成如图所示的金属框，下部为矩形，上部为等腰直角三角形，其斜边长为2x m当该金属框围成的图形面积最大时，图形中矩形的相邻两边长各为多少？请求出金属框围成的图形的最大面积,解析：,3（潍坊中考）学校计划用地面砖铺设教学楼前的矩形广场的地面ABCD，已知矩形广场地面的长为100米，宽为80米，图案设计如图所示：广场的四角为小正方形，阴影部分为四个矩形，四个矩形的宽都是小正方形的边长，阴影部分铺设绿色地面砖，其余部分铺设白色地面砖 （1）要使铺设白色地面砖的面积为5 200平方米，那么矩形广场四角的小正方形的边长为多少米？ （2）如图铺设白色地面砖的费用为 每平方米30元，铺设绿色地面砖的费 用为每平方米20元，当广场四角小正 方形的边长为多少米时，铺设广场地 面的总费用最少？最少费用是多少？,（1）设矩形广场四角的小正方形的边长为x米，根据题意 得：4x2（1002x）（802x）5 200， 整理得x245x3500， 解得x135，x210，经检验x135，x210均适合题意， 所以，要使铺设白色地面砖的面积为5 200平方米， 则矩形广场四角的小正方形的边长为35米或者10米,【解析】,（2）设铺设矩形广场地面的总费用为y元， 广场四角的小正方形的边长为x米，则 y304x2(1002x)(802x) 202x(1002x)2x(802x) 即y80x23 600x240 000，配方得 y80（x225）2199 500， 当x225时，y的值最小，最小值为199 500， 所以当矩形广场四角的小正方形的边长为225米时， 铺设矩形广场地面的总费用最少，最少费用为199 500元,4（南通中考）如图，在矩形ABCD中，AB=m（m是大于0的常数），BC=8，E为线段BC上的动点（不与B，C重合）连接DE，作EFDE，EF与线段BA交于点F，设CE=x，BF=y （1）求y关于x的函数关系式. （2）若m=8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？ （3）若 ，要使DEF为等腰三角形，m的值应为多少？,在矩形ABCD中，B=C=90， 在RtBFE中， 1+BFE=90， 又EFDE， 1+2=90， 2=BFE， RtBFERtCED，,即,【解析】,，,，,.,DEF中FED是直角， 要使DEF是等腰三角形，则只能是EF=ED， 此时， RtBFERtCED，,化成顶点式:,当m=8时，,，得,当x=4时，y的值最大，最大值是2.,即DEF为等腰三角形，m的值应为6或2.,当EC=6时,m=CD=BE=2.,5.（河源中考）如图，东梅中学要在教学楼后面的空地上用40米长的竹篱笆围出一个矩形地块作生物园，矩形的一边用教学楼的外墙，其余三边用竹篱笆设矩形的宽为x，面积为y （1）求y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围. （2）生物园的面积能否达到210平方米？说明理由,（1）依题意得：y=(40-2x)x y=-2x2+40x x的取值范围是0 x 20 （2）当y=210时，由（1）可得，-2x2+40x=210 即x2-20x+105=0 a=1，b=-20，c=105，,此方程无实数根，即生物园的面积不能达到210平方米,【解析】,【规律方法】先将实际问题转化为数学问题，再将所求的问题用二次函数关系式表达出来，然后利用顶点坐标公式或者配方法求出最值，有时必须考虑其自变量的取值范围，根据图象求出最值.,“最大面积” 问题解决的基本思路.,1.阅读题目，理解问题.,2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系.,3.用数量的关系式表示出它们之间的关系.,4.根据二次函数的最值问题求出最大值、最小值.,5.检验结果的合理性.,失败是坚韧的最后考验. 俾斯麦,
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