2019-2020年高考数学总复习 专题3.2 导数的应用试题（含解析）.doc

2019-2020年高考数学总复习 专题3.2 导数的应用试题（含解析）【三年高考】1【xx江苏，20】 已知函数有极值,且导函数的极值点是的零点.（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求关于 的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：;（3）若,这两个函数的所有极值之和不小于，求的取值范围.【答案】（1）（2）见解析（3） 列表如下x+00+极大值极小值故的极值点是.从而，因此，定义域为.（2）由（1）知，.设，则.当时，从而在上单调递增.因为，所以，故，即.因此. 因此a的取值范围为.【考点】利用导数研究函数单调性、极值及零点【名师点睛】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.2【xx高考江苏，19】已知函数（1）设.求方程=2的根；若对任意，不等式恒成立，求实数m的最大值；（2）若，函数有且只有1个零点，求ab的值.【答案】（1）0 4 （2）1【解析】试题分析：（1）根据指数间倒数关系转化为一元二次方程，求方程根；根据指数间平方关系，将不等式转化为一元不等式，再利用变量分离转化为对应函数最值，最后根据基本不等式求最值；（2）根据导函数零点情况，确定函数单调变化趋势，结合图象确定唯一零点必在极值点取得，从而建立等量关系，求出ab的值.试题解析：（1）因为，所以.方程，即，亦即，所以，于是，解得.由条件知.因为对于恒成立，且，所以对于恒成立.而，且，所以，故实数的最大值为4.（2）因为函数只有1个零点，而，所以0是函数的唯一零点.因为，又由知，所以有唯一解.令，则，从而对任意，所以是上的单调增函数，于是当，；当时，.因而函数在上是单调减函数，在上是单调增函数.下证.若，则，于是，又，且函数在以和为端点的闭区间上的图象不间断，所以在和之间存在的零点，记为. 因为，所以，又，所以与“0是函数的唯一零点”矛盾.若，同理可得，在和之间存在的非0的零点，矛盾.因此，.于是，故，所以.【考点】指数函数、基本不等式、利用导数研究函数单调性及零点【名师点睛】对于函数零点个数问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图等确定其中参数的范围从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等但需注意探求与论证之间区别，论证是充要关系，要充分利用零点存在定理及函数单调性严格说明函数零点个数.3.【xx高考江苏，19】已知函数. （1）试讨论的单调性； （2）若（实数c是a与无关的常数），当函数有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是，求c的值.【答案】（1）当时， 在上单调递增；当时， 在，上单调递增，在上单调递减；当时， 在，上单调递增，在上单调递减（2）【解析】（1），令，解得，当时，因为（），所以函数在上单调递增；当时，时，时，所以函数在，上单调递增，在上单调递减；当时，时，时，所以函数在，上单调递增，在上单调递减（2）由（1）知，函数的两个极值为，则函数有三个零点等价于，从而或又，所以当时，或当时，设，因为函数有三个零点时，的取值范围恰好是，则在上，且在上均恒成立，从而，且，因此此时，因函数有三个零点，则有两个异于的不等实根，所以，且，解得综上【考点定位】利用导数求函数单调性、极值、函数零点4.【xx课标1，理21】已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求a的取值范围.【解析】试题分析：（1）讨论单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因式分解，在对按，进行讨论，写出单调区间；（2）根据第（1）题，若，至多有一个零点.若，当时，取得最小值，求出最小值，根据，进行讨论，可知当有2个零点，设正整数满足，则.由于，因此在有一个零点.所以的取值范围为.【考点】含参函数的单调性，利用函数零点求参数取值范围.【名师点睛】研究函数零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化.已知函数有2个零点求参数取值范围，第一种方法是分离参数，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判断与其交点的个数，从而求出a的范围；第二种方法是直接对含参函数进行研究，研究其单调性、极值、最值，注意点是若有2个零点，且函数先减后增，则只需其最小值小于0，且后面还需验证有最小值两边存在大于0的点. 5.【xx课标II，理】已知函数，且。(1)求；(2)证明：存在唯一的极大值点，且。【答案】(1)；(2)证明略。【解析】（2）由（1）知 ，。设，则。当 时， ；当 时， ，所以 在单调递减，在 单调递增。 【考点】 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值【名师点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系。 (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数。 (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题。 (4)考查数形结合思想的应用。6.【xx课标3，理21】已知函数 .（1）若 ，求a的值；（2）设m为整数，且对于任意正整数n ，求m的最小值.【答案】(1) ；(2) 【解析】试题分析：(1)由原函数与导函数的关系可得x=a是在的唯一最小值点，列方程解得 ；(2)利用题意结合(1)的结论对不等式进行放缩，求得，结合可知实数 的最小值为 【考点】 导数研究函数的单调性；导数研究函数的最值；利用导数证明不等式【名师点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系 (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数 (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题 (4)考查数形结合思想的应用7.【xx山东，理20】已知函数，其中是自然对数的底数.（）求曲线在点处的切线方程；（）令，讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.【答案】（）.（）综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增，函数有极小值，极小值是；当时，函数在和和上单调递增，在上单调递减，函数有极大值，也有极小值，极大值是极小值是；当时，函数在上单调递增，无极值；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数有极大值，也有极小值， 极大值是；极小值是.（）由题意得 ，因为 ，令则所以在上单调递增.因为所以 当时，当时， 极大值为，当时取到极小值，极小值是 ；当时，所以 当时，函数在上单调递增，无极值；当时，函数在上单调递增，无极值；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数有极大值，也有极小值， 极大值是；极小值是.【考点】1.导数的几何意义.2.应用导数研究函数的单调性、极值.3.分类讨论思想.【名师点睛】1.函数f (x)在点x0处的导数f (x0)的几何意义是曲线yf (x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率相应地，切线方程为yy0f (x0)(xx0)注意：求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过点P的切线的不同2. 本题主要考查导数的几何意义、应用导数研究函数的单调性与极值、分类讨论思想.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当，或因复杂式子变形能力差，而错漏百出.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等. 8.【xx北京，理19】已知函数（）求曲线在点处的切线方程；（）求函数在区间上的最大值和最小值【答案】()；（）最大值1；最小值.【解析】所以函数在区间上单调递减.因此在区间上的最大值为，最小值为.【考点】1.导数的几何意义；2.利用导数求函数的最值.【名师点睛】这道导数题并不难，比一般意义上的压轴题要简单很多，第二问比较有特点是需要求二阶导数，因为不能判断函数的单调性，所以需要再求一次导数，设 ，再求，一般这时就可求得函数的零点，或是恒成立，这样就能知道函数的单调性，根据单调性求最值，从而判断的单调性，求得最值.9.【xx天津，理20】设，已知定义在R上的函数在区间内有一个零点，为的导函数.（）求的单调区间；（）设，函数，求证：；（）求证：存在大于0的常数，使得对于任意的正整数，且 满足.【答案】 （1）增区间是，减区间是.（2）（3）证明见解析当x变化时，的变化情况如下表：x+-+所以，的单调递增区间是，单调递减区间是.（III）证明：对于任意的正整数，且，令，函数.由（II）知，当时，在区间内有零点；当时，在区间内有零点.所以在内至少有一个零点，不妨设为，则.由（I）知在上单调递增，故，于是.因为当时，故在上单调递增，所以在区间上除外没有其他的零点，而，故.又因为，均为整数，所以是正整数，从而.所以.所以，只要取，就有.【考点】导数的应用【名师点睛】判断的单调性，只需对函数求导，根据的导数的符号判断函数的单调性，求出单调区间，有关函数的零点问题，先利用函数的导数判断函数的单调性，了解函数的图象的增减情况，再对极值点作出相应的要求，可控制零点的个数. 10.【xx浙江，20】（本题满分15分）已知函数f(x)=（x）（）（）求f(x)的导函数；（）求f(x)在区间上的取值范围【答案】（）；（）0， 【解析】（）由 解得或因为x来源:（）1（）（）-0+0-f（x）0又，所以f（x）在区间）上的取值范围是【考点】导数的应用【名师点睛】本题主要考查导数的两大方面的应用：（一）函数单调性的讨论：运用导数知识来讨论函数单调性时，首先考虑函数的定义域，再求出，有的正负，得出函数的单调区间；（二）函数的最值（极值）的求法：由确认的单调区间，结合极值点的定义及自变量的取值范围，得出函数极值或最值11【xx高考新课标1文数改编】若函数在单调递增,则a的取值范围是 【答案】【解析】试题分析：对恒成立,故,即恒成立,即对恒成立,构造,开口向下的二次函数的最小值的可能值为端点值,故只需保证,解得 考点：三角变换及导数的应用【名师点睛】本题把导数与三角函数结合在一起进行考查,有所创新,求解关键是把函数单调性转化为不等式恒成立,再进一步转化为二次函数在闭区间上的最值问题,注意与三角函数值域或最值有关的问题,要注意弦函数的有界性.12【xx高考四川文科改编】已知函数的极小值点，则= 【答案】2【解析】试题分析：，令得或，易得在上单调递减，在上单调递增，故极小值为，由已知得考点：函数导数与极值.【名师点睛】本题考查函数的极值在可导函数中函数的极值点是方程的解，但是极大值点还是极小值点，需要通过这点两边的导数的正负性来判断，在附近，如果时，时，则是极小值点，如果时，时，则是极大值点，13【xx高考山东理数】(本小题满分13分)已知.（I）讨论的单调性；（II）当时，证明对于任意的成立.【答案】（）见解析；（）见解析【解析】试题分析：（）求的导函数，对a进行分类讨论，求的单调性；（）要证对于任意的成立，即证，根据单调性求解.试题解析：（）的定义域为；.当， 时，单调递增；，单调递减.当时，.（1），当或时，单调递增；当时，单调递减；（2）时，在内，单调递增；（3）时，当或时，单调递增；当时，单调递减.综上所述，当时，函数在内单调递增，在内单调递减；当时，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增；当时，在内单调递增；当，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增.（）由（）知，时，令，.则，由可得，当且仅当时取得等号.又，设，则在单调递减，因为，所以在上存在使得 时，时，所以函数在上单调递增；在上单调递减，由于，因此，当且仅当取得等号，所以，即对于任意的恒成立。考点：1.应用导数研究函数的单调性、极值；2.分类讨论思想.【名师点睛】本题主要考查导数的计算、应用导数研究函数的单调性与极值、分类讨论思想.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当，或因复杂式子变形能力差，而错漏百出.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等.14【xx高考天津理数】设函数,，其中(I)求的单调区间；(II) 若存在极值点，且，其中，求证：；（）设，函数，求证：在区间上的最大值不小于.【答案】（）详见解析（）详见解析（）详见解析【解析】试题分析：（）先求函数的导数：，再根据导函数零点是否存在情况，分类讨论：当时，有恒成立，所以的单调增区间为.当时，存在三个单调区间（）由题意得，计算可得再由及单调性可得结论（）实质研究函数最大值：主要比较，的大小即可，分三种情况研究当时，当时，当时，.试题解析：（）解：由，可得.下面分两种情况讨论：（1）当时，有恒成立，所以的单调递增区间为.（2）当时，令，解得，或.当变化时，的变化情况如下表：00单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以的单调递减区间为，单调递增区间为，.（）证明：因为存在极值点，所以由（）知，且，由题意，得，即，进而.又，且，由题意及（）知，存在唯一实数满足 ，且，因此，所以；（）证明：设在区间上的最大值为，表示两数的最大值.下面分三种情况同理：（1）当时，由（）知，在区间上单调递减，所以在区间上的取值范围为，因此，所以.（2）当时，由（）和（）知，所以在区间上的取值范围为，因此.（3）当时，由（）和（）知，所以在区间上的取值范围为，因此.综上所述，当时，在区间上的最大值不小于.考点：导数的运算，利用导数研究函数的性质、证明不等式【名师点睛】1.求可导函数单调区间的一般步骤(1)确定函数f(x)的定义域(定义域优先)；(2)求导函数f(x)；(3)在函数f(x)的定义域内求不等式f(x)0或f(x)0的解集(4)由f(x)0(f(x)0)的解集确定函数f(x)的单调增(减)区间若遇不等式中带有参数时，可分类讨论求得单调区间2由函数f(x)在(a，b)上的单调性，求参数范围问题，可转化为f(x)0(或f(x)0)恒成立问题，要注意“”是否可以取到15【xx高考北京文数】（本小题13分）设函数（I）求曲线在点处的切线方程；（II）设，若函数有三个不同零点，求c的取值范围；（III）求证：是有三个不同零点的必要而不充分条件.【答案】（）;（）;（III）见解析.【解析】试题分析：（）求函数f(x)的导数，根据，求切线方程；（）根据导函数判断函数f(x)的单调性，由函数有三个不同零点，求c的取值范围；（III）从两方面必要性和不充分性证明，根据函数的单调性判断零点个数.试题解析：（I）由，得因为，所以曲线在点处的切线方程为（II）当时，所以令，得，解得或与在区间上的情况如下：所以，当且时，存在，使得由的单调性知，当且仅当时，函数有三个不同零点（III）当时，此时函数在区间上单调递增，所以不可能有三个不同零点当时，只有一个零点，记作当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递增所以不可能有三个不同零点综上所述，若函数有三个不同零点，则必有故是有三个不同零点的必要条件当，时，只有两个不同点， 所以不是有三个不同零点的充分条件因此是有三个不同零点的必要而不充分条件考点：利用导数研究曲线的切线；函数的零点【名师点睛】1证明不等式问题可通过作差或作商构造函数，然后用导数证明2求参数范围问题的常用方法：(1)分离变量；(2)运用最值3方程根的问题：可化为研究相应函数的图象，而图象又归结为极值点和单调区间的讨论4高考中一些不等式的证明需要通过构造函数，转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键16【xx高考新课标文数】设函数（I）讨论的单调性；（II）证明当时，；（III）设，证明当时，.【答案】（）当时，单调递增；当时，单调递减；（）见解析；（）见解析【解析】试题分析：（）首先求出导函数，然后通过解不等式或可确定函数的单调性（）左端不等式可利用（）的结论证明，右端将左端的换为即可证明；（）变形所证不等式，构造新函数，然后通过利用导数研究函数的单调性来处理试题解析：（）由题设，的定义域为，令，解得.当时，单调递增；当时，单调递减. 4分（）由（）知，在处取得最大值，最大值为，所以当时，故当时，即. 7分（）由题设，设，则令，解得.当时，单调递增；当时，单调递减. 9分由（）知，故又，故当时，所以当时，. 12分考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、不等式的证明与解法【思路点拨】求解导数中的不等式证明问题可考虑：（1）首先通过利用研究函数的单调性，再利用单调性进行证明；（2）根据不等式结构构造新函数，通过求导研究新函数的单调性或最值来证明17【xx高考福建，文12】“对任意，”是“”的_条件.（在充分而不必要条件、必要而不充分条件、充分必要条件和既不充分也不必要条件四个中选择一个填空）【答案】必要而不充分条件【解析】当时，构造函数，则故在单调递增，故，则； 当时，不等式等价于，构造函数，则，故在递增，故，则综上所述，“对任意，”是“”的必要不充分条件18.【xx高考北京，文19】（本小题满分13分）设函数，（I）求的单调区间和极值；（II）证明：若存在零点，则在区间上仅有一个零点【解析】（）由，（）得.由解得.与在区间上的情况如下： 所以，的单调递减区间是，单调递增区间是；在处取得极小值.（）由（）知，在区间上的最小值为.因为存在零点，所以，从而.当时，在区间上单调递减，且，所以是在区间上的唯一零点.当时，在区间上单调递减，且，所以在区间上仅有一个零点.综上可知，若存在零点，则在区间上仅有一个零点.19.【xx高考山东，文20】设函数. 已知曲线 在点处的切线与直线平行.（）求的值；（）是否存在自然数，使得方程在内存在唯一的根？如果存在，求出；如果不存在，请说明理由；（）设函数（表示，中的较小值），求的最大值.【解析】（I）由题意知，曲线在点处的切线斜率为，所以，又所以.（II）时，方程在内存在唯一的根.设当时，.又所以存在，使.因为所以当时，当时，所以当时，单调递增.所以时，方程在内存在唯一的根.（III）由（II）知，方程在内存在唯一的根，且时，时，所以.当时，若若由可知故当时，由可得时，单调递增；时，单调递减；可知且.综上可得函数的最大值为. 【xx年高考命题预测】导数的应用是高考的热点，年年都出题，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中档左右，解答题作为把关题存在，在考查导数的概念及其运算的基础上，又注重考查解析几何的相关知识导数是研究函数的工具，导数进入新教材之后，给函数问题注入了生机和活力，开辟了许多解题新途径，拓展了高考对函数问题的命题空间所以把导数与函数综合在一起是顺理成章的事情，对函数的命题已不再拘泥于一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等，对研究函数的目标也不仅限于求定义域，值域，单调性，奇偶性，对称性，周期性等，而是把高次多项式函数，分式函数，指数型，对数型函数，以及初等基本函数的和、差、积、商都成为命题的对象，试题的命制往往融函数，导数，不等式，方程等知识于一体，通过演绎证明，运算推理等理性思维，解决单调性，极值，最值，切线，方程的根，参数的范围等问题，这类题难度很大，综合性强，内容新，背景新，方法新，是高考命题的丰富宝藏解题中需用到函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化与划归思想在xx年高考仍将以导数的几何意义为背景设置成的导数的综合题为主要考点也有可能利用导数的几何意义出一道中等难度试题，如求切线，或求参数值，重点考查运算及数形结合能力，以及构造新函数等能力 【xx年高考考点定位】高考对导数的应用的考查主要有导数的几何意义，利用导数判断单调性，求最值，证明不等式，证明恒成立，以及存在性问题等，难度较大，往往作为把关题存在考点一、借助导数研究函数单调性【备考知识梳理】一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减；【规律方法技巧】求函数单调区间的一般步骤.（1）求函数的导数（2）令解不等式，得的范围就是单调增区间;令解不等式，得的范围就是单调减区间（3）对照定义域得出结论.【考点针对训练】1.若函数f (x)mx2lnx2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围是_【答案】,)【解析】 f (x)2mx20对x0恒成立，2mx212x02m，令t02mt22t，max1，2m1，m2已知函数（1）当时，求的单调减区间；（2）若方程恰好有一个正根和一个负根，求实数的最大值【解析】（1）当时， ，当时，由，解得，所以的单调减区间为，当时，由，解得或，所以的单调减区间为， 综上：的单调减区间为，（2） 当时，则，令，得或，x0+00+极大值极小值所以有极大值，极小值，当时， 同（1）的讨论可得，在上增，在上减，在上增，在上减，在上增，且函数有两个极大值点， ， ， 且当时， 所以若方程恰好有正根，则（否则至少有二个正根）又方程恰好有一个负根，则令，则， 所以在时单调减，即，等号当且仅当时取到所以，等号当且仅当时取到且此时，即，所以要使方程恰好有一个正根和一个负根，的最大值为考点二、借助导数研究函数的极值【备考知识梳理】若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值【规律方法技巧】求函数的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间，求导数f(x) .(2)求方程f(x)=0的根.(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值.【考点针对训练】1.已知函数，其中，为自然对数的底数（1）若函数的图像在处的切线与直线垂直，求的值（2）关于的不等式在上恒成立，求的取值范围（3）讨论极值点的个数【答案】（1）（2）（3）当时，有且仅有一个极值点，当时，有三个极值点【解析】试题分析：（1）利用导数几何意义得，而，因此（2）不等式恒成立问题，一般利用变量分离，转化为对应函数最值：，因此（3）先求函数导数：，这是一个三次函数与指数函数的乘积，因此导函数的零点为一个或三个，即只有一个极值点或有三个极值点.再分类讨论：当与x轴有且仅有一个交点时，分两种情形，一是为单调递增函数（无极值），二是极值同号当与x轴有且仅有三个交点时，极值异号试题解析：(1) 由题意， 因为的图象在处的切线与直线垂直，所以，解得. (2) 法一：由，得，即对任意恒成立， 即对任意恒成立，因为，所以， 记，因为在上单调递增，且，所以，即的取值范围是法二：由，得，即在上恒成立， 因为等价于，当时，恒成立，所以原不等式的解集为，满足题意 当时，记，有，所以方程必有两个根，且，原不等式等价于，解集为，与题设矛盾，所以不符合题意综合可知，所求的取值范围是(3) 因为由题意，可得，所以只有一个极值点或有三个极值点. 令，若有且只有一个极值点，所以函数的图象必穿过x轴且只穿过一次，即为单调递增函数或者极值同号 ）当为单调递增函数时，在上恒成立，得12分）当极值同号时，设为极值点，则，由有解，得，且，所以，所以 ，同理， 所以，化简得，所以，即，所以所以，当时，有且仅有一个极值点； 若有三个极值点，所以函数的图象必穿过x轴且穿过三次，同理可得；综上，当时，有且仅有一个极值点，当时，有三个极值点2.函数在区间上存在极值点，则实数的取值范围为 【答案】；考点三、借助导数研究函数最值【备考知识梳理】求函数最值的步骤：（1）求出在上的极值.（2）求出端点函数值.（3）比较极值和端点值，确定最大值或最小值.【规律方法技巧】1、利用导数研究函数的最值问题是要养成列表的习惯，这样能使解答过程直观条理；2、会利用导函数的图象提取相关信息；3、极值点不一定是最值点，最值点也不一定是极值点，但若函数在开区间内只有一个极值点，则这个极值点也一定是最值点.【考点针对训练】1.已知函数，（1）求的单调增区间和最小值；（2）若函数与函数在交点处存在公共切线，求实数的值；（3）若时，函数的图象恰好位于两条平行直线，之间，当与间的距离最小时，求实数的值【答案】（1）；（2） ；（3） 【解析】试题分析：（1）求出的导数，求得单调区间和极值，也为最值；（2）分别求出导数，设公切点处的横坐标为，分别求出切线方程，再联立解方程，即可得到a；（3）求出两直线的距离，再令，求出导数，运用单调性即可得到最小值，进而说明当d最小时，试题解析：（1）因为，由，得，所以的单调增区间为， 又当时，则在上单调减，当时，则在上单调增，所以的最小值为 （2）因为，设共切点处的横坐标为，则与相切的直线方程为：，与相切的直线方程为：，所以，解之得，由（1）知，所以 （3）若直线过，则k=2，此时有（为切点处的横坐标），所以，当时，有 ，且，所以两平行线间的距离令 ，因为 ，所以当时，则在上单调减；当时，则在 上单调增，所以有最小值h（x）=0，即函数的图象均在 的上方， 令 ，则 ，所以当时， 所以当d最小时， 2.已知函数(其中是自然对数的底数)，记函数，当时，求的单调区间；若对于任意的，均有成立，求实数的取值范围【答案】（1）单调增区间为：，减区间为；（2）【解析】试题分析：（1）求单调区间的方法是求出的解，确定（或）的取值区间，即函数的单调区间，此可用列表方法得出（同时可得出极值）；（2）本小题不等式或有绝对值符号，有两个参数，由于函数是增函数，因此设，则有，原问题等价于恒成立，分两个问题，恒成立和恒成立，前面转化为，可以考虑函数在上是单调递增的，后面一个转化为，可以考虑函数在上是单调递增的试题解析：，得或， 列表如下：（，）极大值来源:极小值4分的单调增区间为：，减区间为； 设，是单调增函数，； 由得：，即函数在上单调递增，在上恒成立，在上恒成立；令，时，；时，；，； 由得：，即函数在上单调递增，在上恒成立，在上恒成立；函数在上单调递减，当时，综上所述，实数的取值范围为 【两年模拟详解析】1. 【苏北三市（连云港、徐州、宿迁）xx届高三年级第三次调研考试】已知函数，.（1）当时，求函数的单调区间；（2）设函数，.若函数的最小值是，求的值；（3）若函数，的定义域都是，对于函数的图象上的任意一点，在函数的图象上都存在一点，使得，其中是自然对数的底数，为坐标原点，求的取值范围.【答案】（1）见解析（2）1（3）【解析】解:(1) 当时，因为在上单调增，且，所以当时，；当时，所以函数的单调增区间是（2），则，令得，当时，函数在上单调减；当时，函数在上单调增所以当，即时，函数的最小值，即，解得或（舍），所以；当，即时，函数的最小值，解得（舍）综上所述，的值为1（3）由题意知，考虑函数，因为在上恒成立，所以函数在上单调增，故所以，即在上恒成立，即在上恒成立设，则在上恒成立，所以在上单调减，所以设，则在上恒成立，所以在上单调增，所以综上所述，的取值范围为2. 【xx学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）】已知函数，为实数，为自然对数的底数，.（1）当，时，设函数的最小值为，求的最大值；（2）若关于的方程在区间上有两个不同实数解，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】解：（1）当时，函数，则 ，令，得，因为时， 所以 ，令，则，令，得，且当时，有最大值1，所以的最大值为1（表格略），（分段写单调性即可），此时.（2）由题意得，方程在区间上有两个不同实数解，所以在区间上有两个不同的实数解，即函数图象与函数图象有两个不同的交点，因为，令，得， 所以当时，当时，所以，满足的关系式为，即的取值范围为.3. 【南京市、盐城市xx届高三年级第一次模拟】(本小题满分16分)设函数，（） （1）当时，解关于的方程（其中为自然对数的底数）；（2）求函数的单调增区间；（3）当时，记，是否存在整数，使得关于的不等式有解？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由. （参考数据：，）【答案】（）或（）当时，的增区间为；当时，的增区间为；时，的增区间为.（III）的最小值为.【解析】解：（1）当时，方程即为，去分母，得，解得或， 2分故所求方程的根为或. 4分（2）因为，所以（）， 6分当时，由，解得；当时，由，解得；当时，由，解得；当时，由，解得；当时，由，解得.综上所述，当时，的增区间为；当时，的增区间为；时，的增区间为. 10分（3）方法一：当时，所以单调递增，所以存在唯一，使得，即， 12分当时，当时，所以，记函数，则在上单调递增， 14分所以，即，由，且为整数，得，所以存在整数满足题意，且的最小值为. 16分 方法二：当时，所以，由得，当时，不等式有解， 12分下证：当时，恒成立，即证恒成立.显然当时，不等式恒成立，只需证明当时，恒成立.即证明.令，所以，由，得， 14分当，；当，；所以.所以当时，恒成立.综上所述，存在整数满足题意，且的最小值为. .16分4. 【镇江市xx届高三年级第一次模拟】已知函数，（为常数）（1）若函数与函数在处有相同的切线，求实数的值；（2）若，且，证明：；（3）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）（2）详见解析（3）【解析】解：（1），则且. 1分所以函数在处的切线方程为：， 2分从而，即. 4分（2）由题意知：设函数，则. 5分设，从而对任意恒成立， 6分所以，即，因此函数在上单调递减， 7分即，所以当时，成立. 8分设函数，从而对任意，不等式恒成立. 又， 当，即恒成立时，函数单调递减. 10分设，则，所以，即，符合题意； 12分当时，恒成立，此时函数单调递增. 于是，不等式对任意恒成立，不符合题意； 13分当时，设，则 14分当时，此时单调递增，所以，故当时，函数单调递增.于是当时，成立，不符合题意； 15分综上所述，实数的取值范围为：. 16分5. 【xx年第二次全国大联考江苏卷】（本小题满分16分）设函数（1）若不等式对恒成立，求的值；（2）若在内有两个极值点，求负数的取值范围；（3）已知，若对任意实数，总存在实数，使得成立，求正实数的取值集合【解析】解（1）若 ，则当时，不合题意；若 ，则当时，不合题意；若 ，则当时，当时，当时，满足题意，因此的值为 4分（2）,令，则所以在上单调递减，在上单调递增，因此6分(i)当时， 在内至多有一个极值点；(ii) 当时，由于 所以 ，而，因此在上无零点，在上有且仅有一个零点，从而在上有且仅有一个零点，在内有且仅有一个极值点；8分(iii)当时，因此在上有且仅有一个零点，在上有且仅有一个零点，从而在上有且仅有两个零点，在内有且仅有两个极值点；综上负数的取值范围为10分（3）因为对任意实数，总存在实数，使得成立，所以函数的值域为在上是增函数，其值域为 11分对于函数，当时，当时，函数在上为单调减函数，当时，函数在上为单调增函数若，则函数在上是增函数，在上是减函数，其值域为，又，不符合题意，舍去；13分若，则函数在上是增函数，值域为，由题意得，即 记则当时，在上为单调减函数当时，在上为单调增函数，所以，当时，有最小值，从而恒成立(当且仅当时，) 15分由得，所以综上所述，正实数的取值集合为16分6. 【xx年第三次全国大联考江苏卷】（本小题满分16分）已知函数，常数（1）若，求函数在点处切线方程；（2）若对，恒有，求的取值范围；（3）若函数有两个零点且，求实数的取值范围【解析】（1）由得，所以当时，因此切线斜率为，切线方程为即4分（2）由题意得在上单调递减当时，；当时，皆为上单调增函数，不合题意；当时，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减；所以，即的取值范围为9分（3）由（2）知当时，皆为上单调增函数，至多一个零点，不合题意当时，在上单调递增，在上单调递减；所以取最小值若，则至多一个零点，因此即解得当时，而，在上单调递减，所以在上有且仅有一个零点；而，在上单调递增，所以在上有且仅有一个零点；所以有两个零点当时，而，在上单调递减，所以在上有且仅有一个零点；，因为，所以，即，又，在上单调递增，所以在上有且仅有一个零点；因此有两个零点综上，实数的取值范围为16分7. 【xx年第一次全国大联考江苏卷】（本小题满分16分）设函数，其中，且.（1） 求值；（2） 若，为自然对数的底数，求证：当时，；（3） 若函数为上的单调函数，求实数的取值范围.【解析】（1）依题意.2分（2）记，则，设,则当时,因此函数在上是单调增函数，且，所以由零点存在定理知，在上存在唯一的零点,5分令得，列表：极小值所以，故8分（3）依题意，记. 当时，若为上的单调增函数，则，即在上恒成立因为为上的单调增函数所以，从而，舍去. 10分若为上的单调减函数，则，即在上恒成立因为，所以在上不恒成立，舍去. 12分 当时，若为上的单调增函数，则，即在上恒成立由得，列表：+0-极大值所以所以，即，故14分若为上的单调减函数，则，即在上恒成立由知，当时，；当，所以，不成立，舍去综上，16分8. 【xx学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）】已知函数（为正实数，且为常数）.（1）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.解：（1），. 1分 因在上单调递增，则，恒成立. 令，则， 2分x减极小值增 因此，即.6分（2）当时，由（1）知，当时，单调递增. 7分又，当，；当时，. 9分故不等式恒成立 10分若， 设，令，则. 12分当时，单调递减，则，则，所以当时，单调递减， 14分则当时，此时，矛盾. 15分因此，.16分9. 【xx年高考原创押题预测卷01（江苏卷）】（本小题满分16分）已知函数（1）求曲线与直线垂直的切线方程；（2）求的单调递减区间；（3）若存在，使函数成立，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）减区间为和；（3）.【解析】（1）由已知，2分设切点坐标为，令，解得，所以，因此切线方程为，即；4分（2）函数的定义域为，由，解得或，所以函数的单调递减区间为和8分（3）因为，由已知，若存在使函数成立，则只需满足当时，即可9分又，则，10分若，则在上恒成立，所以在上单调递增，又，13分若，则在上单调递减，在上单调递增，所以在上的最小值是，15分又，而，所以一定满足条件，综上所述，的取值范围是16分10. 【xx年高考原创押题预测卷02（江苏卷）】（本小题满分16分）已知函数（）若函数的最小值为，求的值；（）设，求函数的单调区间；（）设函数与函数的图像的一个公共点为,若过点有且仅有一条公切线，求点的坐标及实数的值（）因（），故-（5分）若，则，函数在上单调递增；-（6分）若，则当，即，也即时，在时，函数单调递减；在时，函数单调递增；在时，函数单调递减；-（8分）当，即，也即时，在时，函数单调递减；在时，函数单调递增；在时，函数单调递减.-（10分）综上：当，函数的单调递增区间是；当时，函数的单调增区间是，单调减区间是和当时，函数的单调递减区间是；当时，函数的单调递增区间是；单调递减区间是和.-（11分）()设点,因,故,即;-(12分)又设切线方程为,将代入可得;将代入可得,借助切线唯一可得,即,也即,所以方程只有一个实数根.-(13分)构造函数,显然函数只有一个零点.下证当与时,函数都是单调函数,且都没有零点. -(14分)因,故当时,函数单调递增;且,故在区间上无零点;当时, ,函数单调递减;且,故在区间上无零点.即方程只有一个实数根,所以可得,由可得.-(16分)11. 【xx年高考原创押题预测卷03（江苏卷）】（本小题满分14分）某地政府为科技兴市，欲将如图所示的一块不规则的非农业用地规划建成一个矩形的高科技工业园区已知，曲线段是以点为顶点且开口向上的抛物线的一段，如果要使矩形的相邻两边分别落在上，且一个顶点落在曲线段上，问应如何规划才能使矩形工业园区的用地面积最大？并求出最大用地面积 【解析】如图，以所在的直线为轴，过点且垂直于的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系依题意设抛物线方程为，由题意点，代入可得，则曲线段的方程为-（3分） 设是曲线段上的任意一点，如图，则，所以该工业园区的面积，-（5分）则，故当时，函数单调递增；当时，函数单调递减，所以当时，函数取最大值，-（10分），此时-（12）答：当工业园区规划成长为，宽为时，园区的面积最大，其最大值为-（14分）12. 【xx年高考原创押题预测卷03（江苏卷）】（本小题满分16分）设() 求函数的单调区间；() 若函数有两个零点，且，求实数的取值范围；() 若函数有两个零点，且，证明：【解析】（）首先，函数定义域为，因，则当时，函数在上单调递增；-（3分）当，且时，函数在上单调递减；时，函数在上单调递增，-（4分）故当时，函数的单调递增区间是；当时，函数的递减区间是，单调递增区间是-（5分）（）由题设有两个零点，显然，故，记，当时，单调增；当时，单调减-（7分）所以当，即时，函数有两个零点，所求实数的取值范围是-（9分）（）构造函数，-（12分）则当时，单调增，所以，即，-（14分）又由（）知，函数有两个零点，就是方程的两个根，因此满足，所以，且，又时，单调增，所以，从而有-（16分）13. 【南京市、盐城市xx届高三年级第二次模拟】（本小题满分16分）已知函数f (x)exax1，其中e为自然对数的底数，aR （1）若ae，函数g (x)(2e)x求函数h(x)f (x)g (x)的单调区间；若函数F(x)的值域为R，求实数m的取值范围；（2）若存在实数x1，x20，2，使得f(x1)f(x2)，且|x1x2|1，求证：e1ae2e解：（1）当ae时，f (x)exex1 h (x)f (x)g (x)ex2x1，h (x)ex2由h (x)0得xln2，由h (x)0得xln2所以函数h(x)的单调增区间为 (ln2，)，单调减区间为 (，ln2) 3分 f (x)exe当x1时，f (x)0，所以f (x)在区间(，1)上单调递减；当x1时，f (x)0，所以f(x)在区间(1，)上单调递增1 当m1时，f (x)在(，m上单调递减，值域为emem1，)，g(x)(2e