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第 五 章,相似矩阵,讨论矩阵在相似意义下化简为对角矩阵的问题.,本章讨论在理论上和实际应用上都非常重,要的矩阵特征值问题, 并利用特征值的有关理论,内积定义,主要内容,内积的性质,n 维向量的长度（范数）和夹角,第 一 节 向量的内积,向量夹角，正交向量组的性质,正交基与规范正交基,施密特正交化方法,定义1 设有 n 维向量,令 = x1y1 + x2y2 + + xnyn , 称为向,量 x 与 y 的内积.,一、内积的定义,内积是向量的一种运算，这种运算也可用矩,阵记号表示.,当 x 与 y 都是列向量时，有, = xTy .,（1） =; （2） = ; （3） = + ; （4） 0, 且当 x 0 时有 0.,下列性质：,二、内积的性质,设 x, y, z 为 n 维向量， 为实数，则内积有,在解析几何中，我们曾引进向量的数量积,度和夹角：,广.,并且反过来，利用内积来定义 n 维向量的长,念，因此只能按数量积的直角坐标计算公式来推,维向量没有 3 维向量那样直观的长度和夹角的概,所以 n 维向量的内积是数量积的一种推广.,但 n,( x1, x2, x3 ) (y1, y2 , y3 ) = x1y1 + x2y2 + x3y3 .,且在直角坐标系中，有,x y = |x| |y| cos ,三、向量的长度和夹角,1. 向量的长度 定义2 令, x 称为 n 维向量 x 的长度 ( 或范数 ).,特别地，当 x=1 时, 则称 x 为单位向量.,显然,当=0时, =0; 当0时, 则 0,单位向量 称为向量的单位化.,2. 向量的夹角 向量的内积满足施瓦茨不等式 2 , 由此可得,(当 | x | | y | 0 时),于是有下面的定义: 定义3 当 | x | 0, | y | 0 时,称为 n 维向量 x 与 y 的夹角.,量正交.,x = 0, 则 x 与任何向量都正交, 即零向量与任何向,当 = 0 时, 称向量 x 与 y 正交.,显然,若,1. 正交向量组的定义 定义4 由两两正交的非零向量构成的向量,两两正交的非零向量, 则 a1 , a2 , , ar 线性无关.,定理1 若 n 维向量 a1 , a2 , , ar 是一组,2. 正交向量组的性质,组称为正交向量组.,四、正交向量组,设有 k1 , k2 , , kr 使 k1a1 + k2a2 + + krar = 0 , 那么,证明:,对任意的i (1ir) ,因 0, 从而必有ki=0. 证毕.,例 1 已知 4 维向量空间 R4 中三个向量,正交,试求一个非零向量 a4,使 a1,a2,a3,a4两两正交.,令,解,则 a4 应满足齐次线性方程 Ax = 0, 即,解之得,1. 定义5 设 a1 , a2 , , ar 是向量空间 V ( V Rn ),单位向量, 则称 1, , r 是 V 的一个正交规范基.,( VRn ) 的一个基, 如果 1 , , r 两两正交, 且都是,定义 6 设 n 维向量 1 , 2 , , r 是向量空间V,a1, a2 , , ar 是 V 的一个正交基.,的一个基, 如果 a1 , a2 , , ar 两两正交, 则称,五、正交规范基,2. 用正交规范基表示向量,即 ki = .,得 = =ki=ki,分别用 i 与做内积,a = k11 + k2 2 + + krr .,示, 设表示式为,么 V 中任一向量 a 应能由 1 , 2 , , r 线 性 表,若 1 , 2 , , r 是 V 的一个正交规范基, 那,六规范正交基的求法 设 a1 , a2 , , ar 是向量空间 V 的一个基, 要,正交化:,我们可以用以下方法把 a1 , a2 , , ar 规范, , ar 这个基规范正交化.,a1 , a2 , , ar 等价这样一个问题, 称为把 a1 , a2 ,正交的单位向量 1 , 2 , , r , 使 1 , , r 与,求 V 的一个正交规范基.,这也就是要找一组两两,取 b1 = a1 ;,容易验证 b1 , , br 两两正交, 且 b1 , , br 与,然后只要把它们单位化, 即取,a1 , , ar 等价.,就得 V 的一个正交规范基.,bk 与 a1 , , ak 等价.,等价, 还满足对任何 k (1 k r), 向量组 b1 , ,正交化过程.,它不仅满足 b1 , , br 与 a1, , ar,向量组 b1 , , br 的过程称为施密特(Schimidt),上述从线性无关向量组 a1 , , ar 导出正交,综上所述, 求向量空间 V 的一个规范正交基,的 一个规范正交基.,Step 3 : 把 正交基 b1 , , br 单位化即得 V,得正交基 b1 , , br ;,Step 2 : 用施密特过程把 a1 , , ar 正交化,Step 1 : 求 V 的任意一个基 a1 , , ar;,可归为以下三步:,例 2 设,试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化.,取 b1 = a1 ;,解,再把它们单位化, 取,则 1 , 2 , 3 即为所求.,例 3 已知,求一组非零向量,a2 , a3 使 a1 , a2 , a3 两两正交.,a2 , a3 应满足方程 = 0, 即,它的基础解系为:,解,把基础解系正交化，即为所求.,其中,于是得,亦即取,
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