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第一章 信号和系统,二、系统的概念 系统(system)是指若干相互关联的事物组合而成具有特定功能的整体。,二、信号的分类 1. 确定信号和随机信号 确定信号或规则信号 ：可以用确定时间函数表示的信号 随机信号:若信号不能用确切的函数描述，它在任意时刻的取值都具有不确定性，只可能知道它的统计特性,连续时间信号：在连续的时间范围内(-t）有定义的信号称为连续时间信号，简称连续信号。实际中也常称为模拟信号。 离散时间信号：仅在一些离散的瞬间才有定义的信号称为离散时间信号，简称离散信号。实际中也常称为数字信号。,2. 连续信号和离散信号,3. 周期信号和非周期信号,周期信号：是指一个每隔一定时间T，按相同规律重复变化的信号。 (在较长时间内重复变化) 连续周期信号f(t)满足f(t) = f(t + mT)， 离散周期信号f(k)满足f(k) = f(k + mN)， 满足上述关系的最小T(或整数N)称为该信号的周期。 非周期信号：不具有周期性的信号称为非周期信号。,两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T1和T2，若其周期之比T1/T2为有理数，则其和信号x(t)+y(t)仍然是周期信号，其周期为T1和T2的最小公倍数。 结论： 连续正弦信号一定是周期信号，而正弦序列不一定是周期序列。 两连续周期信号之和不一定是周期信号，而两周期序列之和一定是周期序列。,4能量信号与功率信号,信号可看作是随时间变化的电压或电流，信号 f (t)在欧姆的电阻上的瞬时功率为| f (t)|，在时间区间所消耗的总能量和平均功率分别定义为： 能量信号：信号总能量为有限值而信号平均功率为零。 功率信号：平均功率为有限值而信号总能量为无限大。,特点： 信号 f (t)可以是一个既非功率信号，又非能量信号，如单位斜坡信号。但一个信号不可能同时既是功率信号，又是能量信号。 周期信号都是功率信号；非周期信号可能是能量信号 t, f (t)=0, 也可能是功率信号 t, f (t)0。,6因果信号 若当 t 0 时 f (t) 0的信号,称为因果信号。 而若t 0 ，t 0， f(t) =0的信号称为反因果信号。 注意非因果信号指的是在时间零点之前有非零值。,2、阶跃函数的性质： （1）可以方便地表示某些信号 eg: f(t) = 2u(t)- 3u(t-1) +u(t-2) （2）用阶跃函数表示信号的作用区间,2、冲激函数与阶跃函数关系:,加权特性,抽样特性,3、性质：,单位冲激函数为偶函数,2、(t) 的尺度变换,这里 a 和 t0为常数，且a0。,五、信号的分解 信号从不同角度分解： 直流分量与交流分量 偶分量与奇分量 脉冲分量 实部分量与虚部分量 正交函数分量 利用分形理论描述信号,1、直流分量与交流分量,其中fD为直流分量即信号的平均值；,直流分量fD与交流分量fA(t):,2、偶分量与奇分量,（1）一种分解为矩形窄脉冲分量：,3、脉冲分量,（2）另一分解为阶跃信号分量之叠加。,4.实部分量与虚部分量,对于瞬时值为复数的信号f(t)可分解为实、虚部两个部分之和。,其实部为：,其复数信号的模为：,其虚部为：,系统的分类及性质 1. 连续系统与离散系统 输入和输出均为连续时间信号的系统称为连续时间系统。 输入和输出均为离散时间信号的系统称为离散时间系统。 连续时间系统的数学模型是用微分方程来描述，而离散时间系统的数学模型是用差分方程来描述。,2. 动态系统与即时系统 若系统在任一时刻的响应不仅与该时刻的激励有关，而且与它过去的历史状况有关，则称为动态系统或记忆系统。 含有记忆元件(电容、电感等)的系统是动态系统。否则称即时系统或无记忆系统。 3. 线性系统与非线性系统 能同时满足齐次性与叠加性的系统称为线性系统。满足叠加性是线性系统的必要条件。 不能同时满足齐次性与叠加性的系统称为非线性系统。,4. 时不变系统与时变系统 满足时不变性质的系统称为时不变系统。 时不变性质:若系统满足输入延迟多少时间，其激励引起的响应也延迟多少时间 5、 因果系统与非因果系统 激励引起的响应不会出现在激励之前的系统，称为因果系统 即对因果系统，也就是说，如果响应r(t)并不依赖于将来的激励如e(t+1)，那么系统就是因果的。,6. 稳定系统与不稳定系统 一个系统，若对有界的激励所产生的响应也是有界时，则称该系统为有界输入有界输出稳定，简称稳定。,第二章 连续系统的时域分析,齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关，而与激励f(t)数形式无关，称为系统的固有响应或自由响应； 特解的函数形式由激励确定，称为强迫响应。 全响应齐次解(自由响应)特解(强迫响应),二、关于 0- 和 0+ 初始值 1、0 状态和 0 状态 0 状态称为零输入时的初始状态。即初始值是由系统的储能产生的； 0 状态称为加入输入后的初始状态。即初始值不仅有系统的储能，还受激励的影响。 从 0 状态到 0 状态的跃变 当系统已经用微分方程表示时，系统的初始值从0 状态到 0 状态有没有跳变决定于微分方程右端自由项是否包含(t)及其各阶导数。,如果包含有(t)及其各阶导数，说明相应的0状态到0状态发生了跳变。 0 状态的确定 已知 0 状态求 0 状态的值，可用冲激函数匹配法。 求 0 状态的值还可以用拉普拉斯变换中的初值定理求出。,各种响应用初始值确定积分常数 在经典法求全响应的积分常数时，用的是 0 状态初始值。 在求系统零输入响应时，用的是 0 状态初始值。 在求系统零状态响应时，用的是 0 状态初始值，这时的零状态是指 0 状态为零。,2、冲激函数匹配法 目的： 用来求解初始值，求（0）和（0）时刻值 的关系。 应用条件：如果微分方程右边包含（t）及其各阶导 数，那么（0）时刻的值不一定等于（0） 时刻的值。 原理： 利用t0时刻方程两边的（t）及各阶导数 应该平衡的原理来求解（0）,三、零输入响应和零状态响应 1、定义： （1）零输入响应：没有外加激励信号的作用，只有起始状态所产生的响应。 （2）零状态响应：不考虑起始时刻系统储能的作用，由系统外加激励信号所产生的响应。 LTI的全响应：y(t) = yx(t) + yf(t) 2、零输入响应 （1）即求解对应齐次微分方程的解 3、零状态响应 （1）即求解对应非齐次微分方程的解,自由响应强迫响应,零输入响应零状态响应,暂态响应+稳态响应,四系统响应划分,相互关系 零输入响应是自由响应的一部分，零状态响应有自由响应的一部分和强迫响应构成 。,自由响应,强迫响应,零输入响应,零状态响应,一冲激响应 1定义 系统在单位冲激信号(t) 作用下产生的零状态响应，称为单位冲激响应，简称冲激响应，一般用h(t)表示。,2.2 冲激响应和阶跃响应,系统的输入 e(t)=u(t) ，其响应为 r(t)=g(t) 。系统方程的右端将包含阶跃函数u(t) ，所以除了齐次解外，还有特解项。,我们也可以根据线性时不变系统特性，利用冲激响应与阶跃响应关系求阶跃响应。,二阶跃响应 1定义 系统在单位阶跃信号作用下的零状态响应，称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，一般用g(t)表示。,2阶跃响应与冲激响应的关系 线性时不变系统满足微、积分特性,任意信号的零状态响应即为：,三、卷积积分的性质,1、卷积的代数性质 交换律：1(t)2(t)=2(t)1(t) 分配律：1(t)2(t)+3(t)=1(t)2(t)+1(t)3(t) 结合律：1(t)2(t)3(t)=1(t)2(t)3(t),时移性质 若1(t)2(t)=(t)， 则有1(t-t1)2(t-t2)=(t-t1-t2),2、主要性质：,微分性质：,积分性质：,微积分性质：,f(t)与阶跃函数的卷积：,f(t)与冲激函数的卷积： (t)(t)=f(t) (t)(t-t0)= (t-t0) (t-t1)(t-t2)= (t-t1-t2) (t-t1)(t-t2)= (t-t1-t2),f(t)与冲激偶函数的卷积： (t)(t)= f(t)(t)= (t) (t)(t)=“(t),本章总结： 1、LTI连续系统的响应： 全响应齐次解(自由响应)特解(强迫响应) 2、关于0-和0+初始值 当系统已经用微分方程表示时，如果包含有(t)及其各阶导数，说明相应的0状态到0状态发生了跳变。 冲激函数匹配法:,3、零输入响应和零状态响应 y(t) = yx(t) + yf(t) 自由响应强迫响应；暂态响应+稳态响应；零输入响应零状态响应 4、冲激响应和阶跃响应 5、卷积积分 卷积过程可分解为四步： （1）换元： t换为得f1()， f2() （2）反转平移：由f2()反转 f2()右移t f2(t-) （3）乘积： f1() f2(t-) （4）积分： 从到对乘积项积分。,40,主要内容,第一部分：周期信号的傅里叶分析 一、信号的正交分解 二、周期信号的傅里叶级数 三、周期信号的频谱及特点 四、周期信号的功率谱 五、有限傅里叶级数,第二部分：非周期信号的傅里叶变换 一、非周期信号的傅里叶变换 二、常用信号的傅里叶变换 三、傅里叶变换的性质 四、周期信号的傅里叶变换 五、抽样信号的傅里叶变换 六、抽样定理,41,傅里叶级数的三角形式,周期信号 的周期为 ，角频率为 ，频率 当满足狄里赫利(Dirichlet)条件时，可分解为如下三角级数：,系数 ， 称为傅里叶系数，,二、周期信号的傅里叶级数,an是n的偶函数,bn是n的奇函数,42,将上式同频率项合并，可得：,其中：,或,其中：,上面式子表明，周期信号可以表示为直流和许多正(余)弦分量之和。通常把频率为基频 的分量称为基波；频率为基频的n倍的分量称为n次谐波。,二、周期信号的傅里叶级数,43,函数的对称性与傅里叶系数的关系,二、周期信号的傅里叶级数,44,傅里叶级数的指数形式,二、周期信号的傅里叶级数,周期信号的傅里叶级数也可表示为指数形式：,令 则,可得：,其中 称为傅里叶系数,45,表明：任意周期信号f(t)可分解为许多不同频率的复指 数信号之和。Fn 是频率为n的分量的系数，F0 = a0为直流分量。 狄利克雷(Dirichlet)条件 在一个周期内，间断点的数目应该有限； 在一个周期内，极值数目应该有限； 在一个周期内，信号绝对可积，即,二、周期信号的傅里叶级数,46,三、周期信号的频谱及特点,周期信号频谱的特点,如果周期T无限增大，结果会怎样,离散频谱特性： 周期信号的谱线位置是基频的整数倍。 增大，间隔 减小，频谱变密，幅度减小。 减小，间隔 增大，频谱变疏，幅度增大。,47,47,帕塞瓦尔(Parseval)功率守恒定理,周期信号一般是功率信号，其平均功率为：,四、周期信号的功率谱,物理意义：任意周期信号的平均功率等于信号所包含的直流、基波以及各次谐波的平均功率之和。,周期信号的功率频谱： 随 的分布情况，称为周期信号的功率频谱，简称功率谱。,48,48,吉布斯(Gibbs)现象： 对于具有不连续点(跳变点)的波形，用有限次谐波分量来近似原信号，虽然所取的项数越多，近似波形的方均误差可以减少，但在跳变点处的峰起值不能减小，此峰随项数增多向跳变点靠近，而峰起值趋近为跳变值的9% 。 原因： 时间信号存在跳变破坏了信号的收敛性，使得在间断点傅里叶级数出现非一致收敛。,2,49,49,当周期信号周期T时，周期信号就成为非周期信号。此时谱线间隔 趋近于无穷小，从而信号的频谱变为连续频谱。各频率分量的幅度也趋近于无穷小，不过，这些无穷小量之间仍有差别。 为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度的概念。令,一、非周期信号的傅里叶变换,称 为频谱密度函数。,从傅里叶级数到傅里叶变换,50,50,一、非周期信号的傅里叶变换,根据傅里叶级数,有,考虑到,无穷小,记为,(由离散量过渡到连续量),51,51,一、非周期信号的傅里叶变换,与周期信号对应，习惯上也把 与 称为非周期信号的幅度频谱与相位频谱。 在形状上与相应周期信号的频谱的包络线相同。,说明： 1. 前面推导未遵循严格的数学步骤，函数 f(t) 的傅里叶 变换存在也需要满足狄利克雷条件，不同在于把时间范围 从一个周期变成无限区间。 2. 傅里叶变换存在的充分条件为：,52,52,分 析,1. 非周期矩形脉冲信号的频谱是连续频谱，其形状与周期矩形脉冲信号离散频谱的包络线相似。 2. 周期信号的离散频谱可以通过对非周期信号的连续频谱等间隔取样求得。 3. 信号在时域有限，则在频域将无限延续。 4. 信号的频谱分量主要集中在零频到第一个过零点之间，工程中往往将此宽度作为有效带宽。 5. 脉冲宽度 越窄，有限带宽越宽，高频分量越多。即信号信息量大、传输速度快，传送信号所占用的频带越宽。,一、非周期信号的傅里叶变换,53,二、常用信号的傅里叶变换,单边指数信号,幅度频谱为 相位频谱为,54,单边指数信号的振幅频谱与相位频谱图像：,振幅谱,相位谱,二、常用信号的傅里叶变换,55,二、常用信号的傅里叶变换,双边指数信号,幅度频谱为 相位频谱为,56,双边指数信号的振幅频谱图像：,振幅谱,二、常用信号的傅里叶变换,57,二、常用信号的傅里叶变换,矩形脉冲信号,幅度频谱为 相位频谱为,58,矩形脉冲信号的振幅频谱与相位频谱图像：,振幅谱,相位谱,二、常用信号的傅里叶变换,59,二、常用信号的傅里叶变换,单位冲激函数,信号及其频谱,60,二、常用信号的傅里叶变换,直流信号,直流信号不满足绝对可积条件，可采用极限的方法求出其傅立叶变换（广义傅里叶变换）。,所以,61,直流信号及其频谱,对照冲激、直流时频曲线可看出: 时域持续越宽的信号，其频域的频谱越窄； 时域持续越窄的信号，其频域的频谱越宽。,二、常用信号的傅里叶变换,62,二、常用信号的傅里叶变换,符号函数,63,符号函数的振幅频谱和相位频谱图,振幅谱,相位谱,二、常用信号的傅里叶变换,64,二、常用信号的傅里叶变换,阶跃信号,幅度频谱为 相位频谱为,65,阶跃函数的振幅频谱和相位频谱图,振幅谱,相位谱,二、常用信号的傅里叶变换,66,四、周期信号的傅里叶变换,正、余弦信号的傅氏变换,由,以及频移特性,可得,67,四、周期信号的傅里叶变换,一般周期信号的傅氏变换,周期信号 的周期为 ，角频率为 ，可以展开为傅里叶级数：,将上式两边取傅里叶变换得,周期信号的傅里叶变换由一系列冲激函数组成，每个冲激函数的强度等于其傅里叶级数相应系数的2倍，位置与傅里叶离散谱一致。,68,时域抽样,连续信号,抽样脉冲序列,抽样后的信号,根据频域卷积定理,所以,五、抽样信号的傅里叶变换,69,矩形脉冲抽样自然抽样,抽样脉冲为矩形，幅度为 ， 宽度为 ，抽样角频率为,其傅里叶级数为,根据,所以经过矩形抽样脉冲抽样后的信号的傅里叶变换为,五、抽样信号的傅里叶变换,70,冲激抽样,抽样脉冲为冲激序列,其傅里叶变换为,所以经过冲激抽样后的信号的傅里叶变换为,实际抽样常采用矩形脉冲抽样，但在分析问题时，如果脉冲宽度较窄，可以近似为冲激抽样。,五、抽样信号的傅里叶变换,71,频域抽样,连续频谱函数,经过间隔为 的冲激序列 抽样,五、抽样信号的傅里叶变换,72,时域抽样定理,带限信号 ，如果频谱只占据 的范围，则信号 可以用等间隔的抽样值惟一的表示。而抽样间隔应不大于 （或抽样频率最低为 ）,通常把最低允许的抽样率 称为“奈奎斯特（Nyquist）频率”；把最大允许的抽样间隔 称为“奈奎斯特间隔”。,六、抽样定理,73,根据时域与频域的对称性，可推出频域抽样定理：,若信号 是时限信号，集中在 的时间范围内，若在频域中以不大于 的频率间隔对 的频谱进行抽样，则抽样后的频谱可以惟一的表示原信号。,频域抽样定理,六、抽样定理,第一章第1讲,74,4.1 引言,拉氏变换是求解常系数线性微分方程的工具，优点如下：,（1）求解步骤得到简化,可以把初始条件包含到变换式里， 直接求得全响应,（2）拉氏变换分别将时域的“微分”与“积分”运算转换为 域的 “乘法”和“除法”运算，也即把微积分方程转化为代数方程；,（3）将指数函数、超越函数等复杂函数转化为简单的初等函数；,（4）将时域中的卷积运算转化为 s 域中的乘法运算，由此建立 起系统函数 H(s) 的概念；,（5）利用系统函数零、极点分布可以简明、直观地表达系统 性能的许多规律。,第一章第1讲,75,第一章第1讲,76,（三）单边拉氏变换的收敛域,若存在 ，使得 时， 成立。,要使 的拉氏变换存在，必须有,则 平面上 的区域称为 的收敛域。,（1） 对仅在有限时间范围内取非零值的能量有限信号,（2） 对幅度既不增长也不衰减而等于稳定值的信号,，收敛域为整个 平面,，收敛域为 右半平面,第一章第1讲,77,（3）随时间 成正比增长或随 成正比增长的信号,必须有,（4）按指数阶规律 增长的信号,（5）对于一些比指数函数增长更快的函数，如 ，不能进 行拉氏变换。,，收敛域为 右半平面,，收敛域为,第一章第1讲,78,（四）常用函数的拉氏变换,整个 平面,第一章第1讲,79,第一章第1讲,80,4.4 拉普拉斯逆变换, 部分分式展开法：,仅适用于 为有理分式情况, 围线积分法（留数法）：,严密的数学方法,部分分式展开法：,分子多项式也可以表示为 A(s)=(s-z1)(s-z2)(s-zm) 式中, z1, z2, , zm是A(s)=0方程式的根， 也称F(s)的零点。,第一章第1讲,81,（二）实际电路系统的s域分析,s 域元件模型,第一章第1讲,82,（二）H(s)零、极点分布与自由响应、强迫响应特征的对应,系统函数,响应,激励,系统函数极点,激励信号极点,自由响应,强迫响应,第一章第1讲,83,幅频响应特性,相频响应特性,第一章第1讲,84,极点位于左半平面，零点位于右半平面，且零、极点对于 轴互为镜像。,（一）全通网络,幅频特性 ，对于全部频率的正弦信号都能按同样的幅度传输系数通过。,全通网络的零、极点分布？,全通网络用于相位校正。,4.10,第一章第1讲,85,（二）最小相移网络,极点全部在左半平面，零点也全部在左半平面或 轴上的网络，称为最小相移网络；含有零点在右半平面的网络称为非最小相移网络。,第一章第1讲,86,非最小相移网络可代之以最小相移网络与全通网络的级联。,非最小相移网络,最小相移网络,全通网络,第一章第1讲,87,4.11 线性系统的稳定性,若系统对任意的有界输入，其零状态响应也是有界的，则称此系统为（BIBO）稳定系统。,（一） 稳定性定义,连续时间LTI系统BIBO稳定的充分必要条件是：,的收敛域包含虚轴,第一章第1讲,88,（二） 因果 LTI 系统的稳定性,的极点全部在左半平面,连续时间因果LTI系统BIBO稳定的充分必要条件是：,第一章第1讲,89,系统稳定；, 由 的极点分布判断因果LTI 系统的稳定性：,（1）极点全部在左半平面,衰减，,系统临界稳定；,（2）虚轴上有一阶极点，其他极点全部在左半平面,等幅，,系统不稳定。,（3）有极点在右半平面，或虚轴上有二阶或二阶以上极点,增长，,第一章第1讲,90,4.13 拉氏变换与傅里叶变换的关系,若已知 时 ，如何由单边拉氏变换求得傅里叶变换？,第一章第1讲,91,第五章 傅里叶变换应用于通信系统, 无失真传输 理想低通滤波器 调制与解调 综合业务数字网（ISDN）,第一章第1讲,92,5.1 无失真传输,一、傅里叶变换形式的系统函数,1、定义：,第一章第1讲,93,例5.1.1如图所示RC低通网络，输入u1(t)如图所示举行脉冲，利用傅里叶分析法求u2(t)。,2、利用系统函数H(jw)求响应,当H(s)在虚轴上及右半平面无极点时,才存在.,第一章第1讲,94,第一章第1讲,95,二、无失真传输,1、信号失真,第一章第1讲,96,线性系统：幅度失真与相位失真都不产生新的频率分量。 非线性系统：由于非线性特性对所传输信号产生非线性失真。非线性失真可能产生新的频率分量。,信号的失真有正反两方面： （1）如果有意识地利用系统进行波形变换，则要求信号经系统必然产生失真。 （2）如果要进行原信号的传输，则要求传输过程中信号失真最小，即要研究无失真传输的条件。,第一章第1讲,97,2、无失真传输概念（即时域波形传输不变）,第一章第1讲,98,3、信号无失真传输的条件（对系统提出的要求）,无失真传输的条件： （1）系统的频率响应特性是常数K； （2）相位特性是通过原点的直线。,第一章第1讲,99,群延时：,相位要求即是群延时特性为常数,第一章第1讲,100,一、理想低通滤波器频域特性,5.2 理想低通滤波器,第一章第1讲,101,二、 理想低通的冲激响应,第一章第1讲,102,第一章第1讲,103,第一章第1讲,104,一、调制与解调作用,5.3 调制与解调,调制作用的实质：把各种信号的频谱搬移，使它们互不重叠地占据不同的频率范围。,第一章第1讲,105,六、综合业务数字网（ISDN）,复用与交换体制：异步传递方式（ATM）,
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