2019年高中数学 课后提升训练三 1.2.1 几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式 新人教A版选修2-2.doc

2019年高中数学 课后提升训练三 1.2.1 几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式 新人教A版选修2-2一、选择题(每小题5分,共40分)1.已知直线y=kx是y=lnx的切线,则k的值为()A.B.-C.D.-【解析】选C.y=k,所以x=,切点坐标为,又切点在曲线y=lnx上,所以ln=1,所以=e,k=.2.下列命题中正确的是()若f(x)=cosx,则f(x)=sinx若f(x)=0,则f(x)=1若f(x)=sinx,则f(x)=cosx若f(x)=,则f(x)=A.B.C.D.【解析】选C.当f(x)=sinx+1时,f(x)=cosx;当f(x)=2时,f(x)=0;若f(x)=,则f(x)=-.3.(xx南宁高二检测)质点沿直线运动的路程s与时间t的关系是s=,则质点在t=4时的速度为()A.B.C.D.【解析】选B.s=.当t=4时,s=.4.若曲线y=在点(a,)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18,则a等于()A.64B.32C.16D.8【解题指南】先根据导数求出切线的斜率,利用点斜式写出切线的方程,再求出切线与两坐标轴的交点,然后根据三角形的面积公式列方程求a的值.【解析】选A.因为y=-,所以当x=a时,y=-,所以在点(a,)处的切线方程为y-=-(x-a),令x=0,得y=,令y=0,得x=3a.所以3a=18,解得a=64.【补偿训练】函数y=ex在点(2,e2)处的切线与坐标轴围成三角形的面积为()A.e2B.2e2C.e2D.【解析】选D.因为当x=2时,y=e2,所以切线方程为y-e2=e2(x-2).当x=0时,y=-e2,当y=0时,x=1.故切线与坐标轴围成三角形的面积为|-e2|1=.5.(xx天津高二检测)已知f(x)=xa,若f(-1)=-4,则a的值为()A.4B.-4C.5D.-5【解析】选A.求导得f(x)=axa-1,因为f(-1)=-4,所以a(-1)a-1=-4,所以a=4.6.函数y=2x-x2的图象大致是()【解析】选A.分别画出函数f(x)=2x和g(x)=x2的图象,如图所示,由图可知,f(x)与g(x)有3个交点,所以y=2x-x2=0,有3个解,即函数y=2x-x2的图象与x轴有三个交点,故排除B,C,当x=-3时,y=2-3-(-3)20,x20,所以k1k2-1,所以函数y=lnx不具有T性质.(3)对于函数y=ex,y=ex,k1=,k2=,显然均大于0.所以函数y=ex不具有T性质.(4)对于函数y=x3,y=3x2,k1=3,k2=3,显然k1k2-1,所以函数y=x3不具有T性质.二、填空题(每小题5分,共10分)9.函数y=x2(x0)的图象在点(ak,)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak+1,其中kN*,若a1=16,则a1+a3+a5的值是_.【解题指南】利用导数的几何意义求出切线方程,再求其与x轴的交点横坐标.【解析】因为y=2x,所以过点(ak,)的切线方程为y-=2ak(x-ak),又该切线与x轴的交点为(ak+1,0),所以ak+1=ak,即数列ak是等比数列,首项a1=16,其公比q=,所以a3=4,a5=1,所以a1+a3+a5=21.答案:21【补偿训练】(xx广州高二检测)在平面直角坐标系xOy中,若曲线y=lnx在x=e(e为自然对数的底数)处的切线与直线ax-y+3=0垂直,则实数a的值为_.【解析】因为y=lnx的导数为y=,即有曲线y=lnx在x=e处的切线斜率为k=,由于切线与直线ax-y+3=0垂直,则a=-1,解得a=-e.答案:-e10.过曲线y=cosx上点P且与过这点的切线垂直的直线方程为_.【解析】因为y=cosx,所以y=-sinx,曲线在点P处的切线斜率是-sin=-,所以过点P且与切线垂直的直线的斜率为,所以所求的直线方程为y-=,即2x-y-+=0.答案:2x-y-+=0三、解答题11.(10分)(xx济宁高二检测)已知曲线y=5,求:(1)这条曲线与直线y=2x-4平行的切线方程.(2)过点P(0,5)且与曲线相切的切线方程.【解析】(1)设切点为(x0,y0),由y=5,得y=,所以切线斜率为,因为切线与直线y=2x-4平行,所以=2.所以x0=,所以y0=.则所求切线方程为y-=2,即16x-8y+25=0.(2)因为点P(0,5)不在曲线y=5上,设切点坐标为M(t,u),则切线斜率为,又切线斜率为,所以=.所以2t-2=t,又t0,解得t=4.所以切点为M(4,10),斜率为.所以切线方程为y-10=(x-4),即5x-4y+20=0.【补偿训练】设抛物线y=x2与直线y=x+a (a是常数)有两个不同的交点,记抛物线在两交点处切线分别为l1,l2,求a值变化时l1与l2交点的轨迹.【解析】将y=x+a代入y=x2整理得x2-x-a=0,因为直线与抛物线有两个不同的交点,所以=(-1)2+4a0,得a-.设两交点为(,2),(,2),由y=x2知y=2x,则切线l1, l2的方程分别为y=2x-2,y=2x-2.设两切线交点为(x,y),则因为,是的解,由根与系数的关系,可知+=1,=-a.代入可得x=,y=-a.从而,所求的轨迹方程为直线x=上的y的部分.【能力挑战题】已知曲线y=f(x)=.(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程.(2)求曲线过点Q(1,0)的切线方程.(3)求满足斜率为-的曲线的切线方程.【解析】因为y=,所以y=f(x)=-.(1)显然P(1,1)是曲线上的点.所以P为切点,所求切线斜率为函数y=在P(1,1)点的导数.即k=f(1)=-1.所以曲线在P(1,1)处的切线方程为y-1=-(x-1),即为y=-x+2.(2)显然Q(1,0)不在曲线y=上.则可设过该点的切线的切点为A,那么该切线斜率为k=f(a)=.则切线方程为y-=-(x-a).将Q(1,0)代入方程得:0-=(1-a).解得a=,代回方程整理可得:切线方程为y=-4x+4.(3)设切点坐标为B(b,),则切线斜率为k=-=-,解得b=,那么B(,),B(-,-).代入点斜式方程得y-=-(x-)或y+=-(x+).整理得切线方程为y=-x+或y=-x-.