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第四章 4.2 直线、圆的位置关系,4.2.2 圆与圆的位置关系 4.2.3 直线与圆的方程的应用,学习目标,1.掌握圆与圆的位置关系及判定方法. 2.能利用直线与圆的位置关系解决简单的实际问题. 3.体会用代数方法处理几何问题的思想.,知识梳理 自主学习,题型探究 重点突破,当堂检测 自查自纠,栏目索引,知识梳理 自主学习,知识点一 圆与圆的位置关系及判定 1.圆与圆的位置关系 圆与圆有五种位置关系，分别是外离、外切、相交、内切、内含. 外离和内含统称为相离；外切和内切统称为相切. 如图：,2.圆与圆位置关系的判定 (1)几何法：若两圆的半径分别为r1、r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：,答案,d|r1r2|,dr1r2,dr1r2,|r1r2|d r1r2,d|r1r2|,(2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断.,外离或内含,相交,内切或外切,思考 当两个圆仅有一个公共点时，这两个圆一定外切吗？,答 不一定，也有可能是内切.,答案,知识点二 用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”,几何结论,坐标系,几何元素,代数,答案,返回,题型探究 重点突破,题型一 两圆位置关系的应用 例1 已知圆C1：x2y22mx4ym250，圆C2：x2y22x2mym230，问：m为何值时，(1)圆C1与圆C2外切？(2)圆C1与圆C2内含？,解析答案,反思与感悟,解 将圆C1、圆C2的方程配方，得 C1：(xm)2(y2)29，C2：(x1)2(ym)24. (1)若圆C1与圆C2外切，,即(m1)2(m2)225，m23m100， 解得m5或m2. (2)若圆C1与圆C2内含，,即(m1)2(m2)21，m23m20， 解得2m1.,反思与感悟,判断两圆的位置关系一般用几何法，用几何法判断两圆的位置关系的步骤： (1)分别计算两圆的半径长r，R； (2)计算两圆的圆心距d； (3)根据d与r，R之间的关系得出结论.,反思与感悟,解析答案,跟踪训练1 已知圆C1的方程为x2y22x4y200，圆C2的方程为x2y24x4y20，试判断圆C1与圆C2的位置关系.,解析答案,解 方法一 将圆C1与圆C2的方程联立，得到方程组,将x3代入或，解得y15，y21. 因此圆C1与圆C2有两个不同的公共点，故两圆相交. 方法二 把圆C1的方程化成标准方程，得(x1)2(y2)225， 圆C1的圆心坐标为(1，2)，半径长为r15. 把圆C2的方程化成标准方程，得(x2)2(y2)210，,|r1r2|3r1r2， 两圆相交.,解析答案,反思与感悟,解 设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2(r0)，,反思与感悟,反思与感悟,两圆相切时常用的性质有： 设两圆的圆心分别为O1、O2，半径分别为r1、r2，,两圆相切时，两圆圆心的连线过切点(两圆若相交时，两圆圆心的连线垂直平分公共弦).,解析答案,跟踪训练2 求与圆(x2)2(y1)24相切于点A(4，1)且半径为1的圆的方程.,联立，解得a5，b1， 所以，所求圆的方程为(x5)2(y1)21；,联立，解得a3，b1， 所以，所求圆的方程为(x3)2(y1)21. 综上所述，所求圆的方程为(x5)2(y1)21或(x3)2(y1)21.,解析答案,题型三 与两圆相交有关的问题 例3 已知圆C1：x2y22x6y10，圆C2：x2y24x2y110，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长.,反思与感悟,解析答案,反思与感悟,解 设两圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，,得：3x4y60. A，B两点坐标都满足此方程， 3x4y60即为两圆公共弦所在的直线方程. 易知圆C1的圆心(1，3)，半径r13.,反思与感悟,反思与感悟,1.两圆相交时，公共弦所在的直线方程 若圆C1：x2y2D1xE1yF10与圆C2：x2y2D2xE2yF20相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D1D2)x(E1E2)yF1F20. 2.公共弦长的求法 (1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长. (2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解.,解析答案,跟踪训练3 已知圆C的圆心为(2，1)，若圆C与圆x2y23x0的公共弦所在直线过点(5，2)，求圆C的方程.,解 设圆C的半径长为r， 则圆C的方程为(x2)2(y1)2r2， 即x2y24x2y5r2， 两圆的方程相减，得 公共弦所在的直线的方程为x2y5r20. 因为该直线过点(5，2)，所以r24， 则圆C的方程为(x2)2(y1)24.,解析答案,反思与感悟,题型四 直线与圆的方程的实际应用 例4 设有半径长为3 km的圆形村落，甲、乙两人同时从村落中心出发，甲向东前进而乙向北前进，甲离开村后不久，改变前进方向，斜着沿切于村落边界的方向前进，后来恰好与乙相遇.设甲、乙两人的速度都一定，且其速度比为31，问：甲、乙两人在何处相遇？,反思与感悟,解 如图所示，以村落中心为坐标原点，以东西方向为x轴，南北方向为y轴建立平面直角坐标系.,所以乙向北前进3.75km时甲、乙两人相遇.,反思与感悟,坐标法是研究与平面图形有关的实际问题的有效手段，因此要建立适当的平面直角坐标系，用直线与圆的方程解决问题.建立平面直角坐标系时要尽可能有利于简化运算.,解析答案,解 如图所示，以公园中心O为坐标原点，以连接公园中心与村庄A的直线为x轴建立平面直角坐标系. 由已知得圆的方程为x2y24，A(4，0)，B(2，2)， 由A向圆作切线，切点为D，过B向圆作切线， 切点为E，两切线相交于C，易知E(0，2)， 直线BC的方程为y2. 连接OD， 则ODAC，在RtOAD中，OD2，OA4. OAD30，,解析答案,解析答案,由题意知AOD60， DOE30，,l1l20， 采用方案二更好.,利用圆系方程求圆的方程,解题方法,解析答案,解后反思,返回,分析 过两圆x2y210和x2y24x0的交点的圆的方程可设为x2y21(x2y24x)0，通过整理，利用直线与此圆相切，则该圆的圆心到此直线的距离等于半径长，求得. 解 设所求圆的方程为x2y21(x2y24x)0(1)，,解析答案,解后反思,解后反思,所以所求圆的方程为3x23y232x110.,所以所求圆的方程为3x23y232x110或x2y24x0.,解后反思,因为过两圆x2y210和x2y24x0的交点的圆系方程x2y21(x2y24x)0(1)中不包含圆x2y24x0，所以解答此题时容易漏掉圆x2y24x0也适合的条件.因此，在解答完后，应专门对圆系之外的圆x2y24x0进行检验.,返回,当堂检测,1,2,3,4,5,解析答案,1.两圆x2y29和x2y28x6y90的位置关系是( ) A.相离 B.相交 C.内切 D.外切,解析 圆C1：x2y29的圆心为C1(0，0)，半径长为r13；,B,因为|r1r2|C1C2|34r1r2，所以两圆相交.,解析答案,2.圆x2y21与圆x2y22x2y10的交点坐标为( ) A.(1，0)和(0，1) B.(1，0)和(0，1) C.(1，0)和(0，1) D.(1，0)和(0，1),1,2,3,4,5,C,解析答案,3.若直线yaxb通过第一、二、四象限，则圆(xa)2(yb)2r2(r0)的圆心位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限,B,解析 因为直线通过第一、二、四象限， 所以a0，b0，故圆心位于第二象限.,1,2,3,4,5,解析答案,1,2,3,4,5,C,解析 x2y250与x2y212x6y400作差，得两圆公共弦所在的直线方程为2xy150.,1,2,3,4,5,解析答案,5.已知两圆x2y210和(x1)2(y3)220相交于A、B两点，则直线AB的方程是_.,即x3y0.,x3y0,课堂小结,1.判断圆与圆位置关系的方式通常有代数法和几何法两种，其中几何法较简便易行、便于操作. 2.直线与圆的方程在生产、生活实践以及数学中有着广泛的应用，要善于利用其解决一些实际问题，关键是把实际问题转化为数学问题；要有意识用坐标法解决几何问题，用坐标法解决平面几何问题的思维过程：,返回,
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