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2019-2020年高二期中联考(数学文)一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1. 已知,则下列不等式一定成立的是( )A. B. C. D. 2若复数(,为虚数单位)是纯虚数,则实数等于( )ABC1D-13. 下列命题:对任意;存在;若,则 其中正确命题的个数是( )A. 0 B. 1 C. 2 D. 34在下列各函数中,最小值等于2的函数是( )ABCD5. 命题,命题,则是的( )A.充要条件 B.充分非必要条件 C. 必要非充分条件 D. 既不充分也不必要条件6已知是两个正数2,8的等比中项,则圆锥曲线的离心率是( )A 或 B C D 或7已知,则的最小值是( )A B C D8. 甲、乙两人进行乒乓球比赛,比赛规则为“3局2胜”,即以先赢2局者为胜根据经验,每局比赛中甲获胜的概率为06,则本次比赛甲获胜的概率是( )A. 0216 B.036 C.0432 D.06489.已知点P在抛物线y2 = 4x上,那么点P到点Q(2,1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P的坐标为( )A.(,1) B.(,1) C.(1,2) D.(1,2)10. 在中,角A、B、C所对的边分别为,函数 在R上为增函数,则角A的范围是 ( ) ABCD 11设圆C的圆心在双曲线的右焦点且与此双曲线的渐近线相切,若圆C被直线截得的弦长等于2,则的值为( )ABC2D312对任意的实数,记若,其中奇函数在时有极小值,是正比例函数,函数与函数的图象如图所示,则下列关于函数的说法中,正确的是( )A为奇函数 B有极大值且有极小值C的最小值为且最大值为D在上不是单调函数第卷(非选择题,共90分)二、填空题:(本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填写在题中横线上)13某校高三有1000个学生,高二有1200个学生,高一有1500个学生现按年级分层抽样,调查学生的视力情况,若高一抽取了75人,则全校共抽取了 _ 人 14若执行如右图所示的程序框图,则输出的= . 15不等式对任意实数恒成立,则实数的取值范围为 16. 如图,在三棱锥P-ABC中,PA、PB、PC两两垂直,且PA=3,PB=2,PC=1,设M是底面ABC内一点,定义其中m,n,p分别是三棱锥M-PAB, 三棱锥M-PBC, 三棱锥M-PCA的体积,若且恒成立,则正实数a的最小值为 。三、解答题:(本大题共6小题,共74分)17(本小题满分12分)已知集合;命题,命题,并且命题是命题的充分条件,求实数的取值范围18(本小题满分12分)已知复数在复平面上对应的点为(1)设集合,从集合中随机取一个数作为,从集合中随机取一个数作为,求复数为纯虚数的概率;(2)设,求点落在不等式组:所表示的平面区域内的概率19.(本小题满分12分) 为考察某种药物预防疾病的效果,进行动物试验,调查了105个样本,统计结果为:服药的共有55个样本,服药但患病的仍有10个样本,没有服药且未患病的有30个样本.(1)根据所给样本数据完成22列联表中的数据;(2)请问能有多大把握认为药物有效?20(本小题满分12分)已知数列中,其前项和满足计算猜想的表达式,并用数学归纳法加以证明21.(本小题满分12分) 设函数.(1)若函数图象上的点(1,2)处的切线斜率为4,请判断函数的单调性; (2)已知当时,函数在上单调递增,求实数的取值范围.22(本小题满分14分)已知中心在原点,焦点在轴上的椭圆C的离心率与双曲线 的离心率互为倒数,且经过点,过点P(2,1)的直线与椭圆C在第一象限相切于点M . (1)求椭圆C的方程; (2)求直线的方程以及点M的坐标; (3)是否存过点P的直线与椭圆C相交于不同的两点A、B,满足?若存在,求出直线l1的方程;若不存在,请说明理由.15 B C D D B 610 D B D A C 1112 A D13. 185 14. 420 15. 16. 1一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知,则下列不等式一定成立的是( B )A. B. C. D. 2若复数(,为虚数单位)是纯虚数,则实数等于( C )ABC1D-13. 下列命题:对任意;存在;若,则 其中正确命题的个数是( D )A. 0 B. 1 C. 2 D. 34在下列各函数中,最小值等于2的函数是( D )ABCD5. 命题,命题,则是的( B )A.充要条件 B.充分非必要条件 C. 必要非充分条件 D. 既不充分也不必要条件6已知是两个正数2,8的等比中项,则圆锥曲线的离心率是( D )A 或 B C D 或7已知,则的最小值是( B )A B C D8. 甲、乙两人进行乒乓球比赛,比赛规则为“3局2胜”,即以先赢2局者为胜根据经验,每局比赛中甲获胜的概率为06,则本次比赛甲获胜的概率是( D )A. 0216 B.036 C.0432 D.06489.已知点P在抛物线y2 = 4x上,那么点P到点Q(2,1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P的坐标为( A )A.(,1) B.(,1) C.(1,2) D.(1,2)10. 在中,角A、B、C所对的边分别为,函数在R上为增函数,则角A的范围是 ( C ) ABCD 11设圆C的圆心在双曲线的右焦点且与此双曲线的渐近线相切,若圆C被直线截得的弦长等于2,则的值为( A )ABC2D312对任意的实数,记若,其中奇函数在时有极小值,是正比例函数,函数与函数的图象如图所示,则下列关于函数的说法中,正确的是( D )A为奇函数B有极大值且有极小值C的最小值为且最大值为D在上不是单调函数二、填空题:(本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填写在题中横线上)13某校高三有1000个学生,高二有1200个学生,高一有1500个学生现按年级分层抽样,调查学生的视力情况,若高一抽取了75人,则全校共抽取了 _人 18514若执行如右图所示的程序框图,则输出的= 420 . 15不等式对任意实数恒成立,则实数的取值范围为 16. 如图,在三棱锥P-ABC中,PA、PB、PC两两垂直,且PA=3,PB=2,PC=1,设M是底面ABC内一点,定义其中m,n,p分别是三棱锥M-PAB, 三棱锥M-PBC, 三棱锥M-PCA的体积,若且恒成立,则正实数a的最小值为 1 。三、解答题:(本大题共6小题,共74分)17(本小题满分12分)已知集合;命题,命题,并且命题是命题的充分条件,求实数的取值范围解:先化简集合A,由,配方得: 2分 4分化简集合B, 由或得或6分,8分10分解之得11分所以实数m的取值范围是或12分18(本小题满分12分)已知复数在复平面上对应的点为(1)设集合,从集合中随机取一个数作为,从集合中随机取一个数作为,求复数为纯虚数的概率;(2)设,求点落在不等式组:所表示的平面区域内的概率解:(1)记 “复数为纯虚数”为事件,组成复数的所有情况共有12个:, ,2分且每种情况出现的可能性相等,属于古典概型,其中事件包含的基本事件共2个: 4分所求事件的概率为 6分(2)依条件可知,点均匀地分布在平面区域内,属于几何概型. 该平面区域的图形为右图中矩形围成的区域, 面积为 8分所求事件构成的平面区域为,其图形如下图中的三角形(阴影部分), 9分又直线与轴、轴的交点分别为,所以三角形的面积为11分所求事件的概率为 12分19.(本小题满分12分) 为考察某种药物预防疾病的效果,进行动物试验,调查了105个样本,统计结果为:服药的共有55个样本,服药但患病的仍有10个样本,没有服药且未患病的有30个样本.(1)根据所给样本数据完成22列联表中的数据;(2)请问能有多大把握认为药物有效?(参考公式:独立性检验临界值表概率0.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828)患病不患病合计服药没服药合计解:(1)依题得服药但没患病的共有45个样本,没有服药且患病的有20个样本,故可以得到以下22列联表:患病不患病合计服药104555没服药203050合计30751056分(2)假设服药与患病没有关系,则的观测值应该很小,而 9分6.1095.024,由独立性检验临界值表可以得出能有97.5%把握认为药物有效。 12分20(本小题满分12分)已知数列中,其前项和满足计算猜想的表达式,并用数学归纳法加以证明解:当时, 1分 2分则有: 3分6分用数学归纳法证明:(1) 当时,成立7分(2)假设猜想成立,即成立8分 10分即n=k+1时猜想成立 11分由(1)、(2)可知,对任意自然数n,猜想结论均成立12分21.(本小题满分12分) 设函数.(1)若函数图象上的点(1,2)处的切线斜率为4,请判断函数的单调性; (2)已知当时,函数在上单调递增,求实数的取值范围.解:(1)1分, 3分,4分恒成立,6分(2)当时,7分函数在上单调递增在上恒成立,即在上恒成立,9分,11分 12分22(本小题满分14分)已知中心在原点,焦点在轴上的椭圆C的离心率与双曲线的离心率互为倒数,且经过点,过点P(2,1)的直线与椭圆C在第一象限相切于点M . (1)求椭圆C的方程; (2)求直线的方程以及点M的坐标; (3)是否存过点P的直线与椭圆C相交于不同的两点A、B,满足?若存在,求出直线l1的方程;若不存在,请说明理由.解:(1)设椭圆C的方程为,双曲线的离心率为2,椭圆C的离心率1分又据题意得 2分解得,故椭圆C的方程为.4分(2)因为过点P(2,1)的直线l与椭圆在第一象限相切,所以l的斜率存在,故可设直线l的方程为5分由得. 7分因为直线与椭圆相切,所以整理,得解得所以直线方程为 8分将代入式,可以解得M点横坐标为1,故切点M坐标为9分 (3)若存在直线l1满足条件,的方程为,代入椭圆C的方程得因为直线l1与椭圆C相交于不同的两点A,B,设A,B两点的坐标分别为所以所以. 10分又,11分因为即,12分所以.即所以,解得 13分 因为A,B为不同的两点,所以.于是存在直线1满足条件,其方程为14分
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