高考数学总复习 第五章 数列、推理与证明 第7讲 直接证明与间接证明课件 理.ppt

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第 7 讲,直接证明与间接证明,1了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法;了,解分析法和综合法的思考过程、特点,2了解间接证明的一种基本方法反证法;了解反证法,的思考过程、特点,1直接证明 (1)综合法,定义:利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等, 经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这 种证明方法叫做综合法,(2)分析法,定义:从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分 条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的 条件(已知条件、定义、定理、公理等)为止,这种证明方法叫 做分析法,2间接证明,反证法:假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出 矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证 明方法叫做反证法,A反证法 B分析法 C综合法 D前面三种方法都不合适,B,2用反证法证明命题:“三角形三个内角中至少有一个不,大于 60”时,应假设(,),B,A三个内角都不大于 60 B三个内角都大于 60 C三个内角中至多有一个大于 60 D三个内角中至多有两个大于 60,3用反证法证明命题:若整系数一元二次方程 ax2bxc 0(a0)存在有理数根,那么 a,b,c 中至少有一个是偶数,下列假设正确的是_,假设 a,b,c 都是偶数; 假设 a,b,c 都不是偶数; 假设 a,b,c 至多有一个是偶数; 假设 a,b,c 至多有两个是偶数,4某个命题与正整数 n 有关,若 nk(kN*)时该命题成 立,那么可推得当 nk1 时,该命题也成立现在已知当 n,),C,5 时,该命题不成立,那么可推得( A当 n6 时,该命题不成立 B当 n6 时,该命题成立 C当 n4 时,该命题不成立 D当 n4 时,该命题成立,考点1,综合法,例1:已知 a,b,c 为正实数,abc1.,【互动探究】,考点 2,分析法,【互动探究】,证明:m0,1m0. 要证原不等式成立, 即证(amb)2(1m)(a2mb2), 即证 m(a22abb2)0, 即证(ab)20, 而(ab)20 显然成立, 故原不等式得证,考点3,反证法,例 3:(2014 年广东广州一模)已知数列an的前 n 项和为 Sn,且 a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*) (1)求数列an的通项公式; (2)若 p,q,r 是三个互不相等的正整数,且 p,q,r 成等 差数列,试判断 ap1,aq1,ar1 是否成等比数列?并说明 理由,解:(1)a12a23a3nan(n1)Sn2n, 当n1时,有a1(11)S12,解得a12. 由a12a23a3nan(n1)Sn2n,得 a12a23a3nan(n1)an1nSn12(n1), 两式相减,得(n1)an1nSn1(n1)Sn2. 以下提供两种方法:,方法一:由式,得 (n1)(Sn1Sn)nSn1(n1)Sn2, 即Sn12Sn2. Sn122(Sn2) S12a1240, 数列Sn2是以4为首项,2为公比的等比数列 Sn242n1,即Sn42n122n12. 当n2时,anSnSn1(2n12)(2n2)2n, 又a12也满足上式, an2n.,方法二:由式,得(n1)an1nSn1(n1)Sn2n(Sn1Sn)Sn2, 得an1Sn2. 当n2时,anSn12, ,得an12an. 由a12a2S24,得a24. a22a1.an12an,nN*. 数列an是以a12为首项,2为公比的等比数列 an2n.,(2)ap1,aq1,ar1不成等比数列,理由如下: p,q,r成等差数列,pr2q. 假设ap1,aq1,ar1成等比数列, 则(ap1)(ar1)(aq1)2, 即(2p1)(2r1)(2q1)2. 化简,得2p2r22q. (*) pr, 2p2r 22q,这与(*)式矛盾 故假设不成立 ap1,aq1,ar1不成等比数列,【规律方法】反证法主要适用于以下两种情形:要证的 条件和结论之间的联系不明显,直接由条件推出结论的线索不 够清晰;如果从正面出发,需要分成多种情形进行分类讨论, 而从反面证明,只要研究一种或很少几种情形,【互动探究】,3设an是公比为 q 的等比数列,Sn 是它的前 n 项和 (1)求证:数列Sn不是等比数列;,(2)数列Sn是等差数列吗?并说明理由,(2)解:当q1时,Sn显然是等差数列 当q1时,Sn不是等差数列 假设当q1时,S1,S2,S3成等差数列,则2S2S1S3. 即2a1(1q)a1a1(1qq2) a10,2(1q)2qq2,即qq2. q1,q0,这与q0相矛盾 综上所述,当q1时,Sn是等差数列; 当q1时,Sn不是等差数列,
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