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第 7 讲,直接证明与间接证明,1了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法；了,解分析法和综合法的思考过程、特点,2了解间接证明的一种基本方法反证法；了解反证法,的思考过程、特点,1直接证明 (1)综合法,定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等， 经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这 种证明方法叫做综合法,(2)分析法,定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分 条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的 条件(已知条件、定义、定理、公理等)为止，这种证明方法叫 做分析法,2间接证明,反证法：假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出 矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证 明方法叫做反证法,A反证法 B分析法 C综合法 D前面三种方法都不合适,B,2用反证法证明命题：“三角形三个内角中至少有一个不,大于 60”时，应假设(,),B,A三个内角都不大于 60 B三个内角都大于 60 C三个内角中至多有一个大于 60 D三个内角中至多有两个大于 60,3用反证法证明命题：若整系数一元二次方程 ax2bxc 0(a0)存在有理数根，那么 a，b，c 中至少有一个是偶数,下列假设正确的是_,假设 a，b，c 都是偶数； 假设 a，b，c 都不是偶数； 假设 a，b，c 至多有一个是偶数； 假设 a，b，c 至多有两个是偶数,4某个命题与正整数 n 有关，若 nk(kN*)时该命题成 立，那么可推得当 nk1 时，该命题也成立现在已知当 n,),C,5 时，该命题不成立，那么可推得( A当 n6 时，该命题不成立 B当 n6 时，该命题成立 C当 n4 时，该命题不成立 D当 n4 时，该命题成立,考点1,综合法,例1：已知 a，b，c 为正实数，abc1.,【互动探究】,考点 2,分析法,【互动探究】,证明：m0，1m0. 要证原不等式成立， 即证(amb)2(1m)(a2mb2)， 即证 m(a22abb2)0， 即证(ab)20， 而(ab)20 显然成立， 故原不等式得证,考点3,反证法,例 3：(2014 年广东广州一模)已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*) (1)求数列an的通项公式； (2)若 p，q，r 是三个互不相等的正整数，且 p，q，r 成等 差数列，试判断 ap1，aq1，ar1 是否成等比数列？并说明 理由,解：(1)a12a23a3nan(n1)Sn2n， 当n1时，有a1(11)S12，解得a12. 由a12a23a3nan(n1)Sn2n，得 a12a23a3nan(n1)an1nSn12(n1)， 两式相减，得(n1)an1nSn1(n1)Sn2. 以下提供两种方法：,方法一：由式，得 (n1)(Sn1Sn)nSn1(n1)Sn2， 即Sn12Sn2. Sn122(Sn2) S12a1240， 数列Sn2是以4为首项，2为公比的等比数列 Sn242n1，即Sn42n122n12. 当n2时，anSnSn1(2n12)(2n2)2n， 又a12也满足上式， an2n.,方法二：由式，得(n1)an1nSn1(n1)Sn2n(Sn1Sn)Sn2， 得an1Sn2. 当n2时，anSn12， ，得an12an. 由a12a2S24，得a24. a22a1.an12an，nN*. 数列an是以a12为首项，2为公比的等比数列 an2n.,(2)ap1，aq1，ar1不成等比数列，理由如下： p，q，r成等差数列，pr2q. 假设ap1，aq1，ar1成等比数列， 则(ap1)(ar1)(aq1)2， 即(2p1)(2r1)(2q1)2. 化简，得2p2r22q. (*) pr， 2p2r 22q，这与(*)式矛盾 故假设不成立 ap1，aq1，ar1不成等比数列,【规律方法】反证法主要适用于以下两种情形：要证的 条件和结论之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不 够清晰；如果从正面出发，需要分成多种情形进行分类讨论， 而从反面证明，只要研究一种或很少几种情形,【互动探究】,3设an是公比为 q 的等比数列，Sn 是它的前 n 项和 (1)求证：数列Sn不是等比数列；,(2)数列Sn是等差数列吗？并说明理由,(2)解：当q1时，Sn显然是等差数列 当q1时，Sn不是等差数列 假设当q1时，S1，S2，S3成等差数列，则2S2S1S3. 即2a1(1q)a1a1(1qq2) a10，2(1q)2qq2，即qq2. q1，q0，这与q0相矛盾 综上所述，当q1时，Sn是等差数列； 当q1时，Sn不是等差数列,
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