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第四节 随机事件的概率,【知识梳理】 1.事件的相关概念,会发生,不发生,发生,不发生,2.频率和概率 (1)频数、频率:在相同的条件S下重复n次试验,观察某 一事件A是否出现,称n次试验中事件A出现的_为 事件A出现的频数,称事件A出现的比例fn(A)=_ 为事件A出现的频率.,次数nA,(2)概率:对于给定的随机事件A,如果随着试验次数的 增加,事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上,把这 个常数记作_,称为事件A的概率.,P(A),3.事件的关系与运算,包含,包含于,BA且AB,AB,(或A+B),AB,(或AB),不可能,不可能,4.概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围:_. (2)必然事件的概率为_. (3)不可能事件的概率为_. (4)概率的加法公式:如果事件A与事件B互斥, 则P(AB)=_.,0P(A)1,1,0,P(A)+P(B),(5)对立事件的概率:若事件A与事件B互为对立事件, 则AB为必然事件,P(AB)=_,P(A)=_.,1,1-P(B),【特别提醒】 1.概率与频率的关系 概率可看成频率在理论上的期望值,它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小,频率在大量重复试验的前提下可近似地作为这个事件的概率. 2.事件互斥是指 由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集.,3.事件A的对立事件 是指 全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.,【小题快练】 链接教材 练一练 1.(必修3P123习题3.1A组T3改编)李老师在某大学连续3年主讲经济学院的高等数学,下表是李老师这门课3年来的考试成绩分布:,经济学院一年级的学生王小明下学期将选修李老师的高等数学课,用已有的信息估计他得以下分数的概率: (1)90分以上的概率: . (2)不及格的概率: .,【解析】(1) (2) 答案:(1)0.07 (2)0.1,2.(必修3P124习题3.1A组T6改编)袋中装有9个白球,2个红球,从中任取3个球,则恰有1个红球和全是白球;至少有1个红球和全是白球;至少有1个红球和至少有2个白球;至少有1个白球和至少有1个红球.在上述事件中,是对立事件的为 .,【解析】至少有1个红球和全是白球不同时发生,且 一定有一个发生.所以中两事件是对立事件. 答案:,感悟考题 试一试 3.(2016长沙模拟)有一个容量为66的样本,数据的分 组及各组的频数如下: 11.5,15.5) 2 15.5,19.5) 4 19.5,23.5) 9 23.5,27.5) 18 27.5,31.5) 11 31.5,35.5) 12 35.5,39.5) 7 39.5,43.5) 3,根据样本的频率分布估计,数据落在27.5,43.5)的概 率约是 ( ) 【解析】选C.由条件可知,落在27.5,43.5)的数据有 11+12+7+3=33(个), 故所求概率约为,4.(2016开封模拟)下列各组事件中,不是互斥事件的是 ( ) A.一个射手进行一次射击,命中环数大于8与命中环数小于6 B.统计一个班的数学成绩,平均分不低于90分与平均分不高于90分 C.播种100粒菜籽,发芽90粒与发芽80粒 D.检验某种产品,合格率高于70%与合格率低于70%,【解析】选B.由互斥事件的意义A,C,D都是互斥事件,而平均分不低于90分与平均分不高于90分都含有90分,故B不是互斥事件.,5.(2016太原模拟)某人进行打靶练习,共射击10次, 其中有2次中10环,有3次中9环,有4次中8环,有1次未打 靶.假设此人射击1次,则其中靶的概率约为 ; 中10环的概率约为 .,【解析】中靶的频数为9,试验次数为10,所以中靶的频 率为 =0.9,所以此人射击1次,中靶的概率约为0.9. 同理得中10环的概率约为0.2. 答案:0.9 0.2,6.(2014广东高考)从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任 取7个不同的数,则这7个数的中位数是6的概率为 . 【解析】6之前6个数中取3个,6之后3个数中取3个, 所求概率为 答案:,考向一 随机事件的频率与概率 【典例1】(1)(2016兰州模拟)在投掷一枚硬币的 试验中,共投掷了100次,“正面朝上”的频数为51, 则“正面朝上”的频率为 ( ) A.49 B.0.5 C.0.51 D.0.49,(2)(2015北京高考)某超市随机选取1000位顾客,记 录了他们购买甲、乙、丙、丁四种食品的情况,整理成 如下统计表,其中“”表示购买,“”表示未购买.,估计顾客同时购买乙和丙的概率. 估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的 概率. 如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁 中哪种商品可能性最大? (本题源自A版必修3P145复习参考题A组T4),【解题导引】(1)根据事件发生的频率的定义可求. (2)由图表计算出同时购买乙和丙的人数,由概率定义计算. 由图表分别计算出同时购买甲、丙、丁,及同时购买甲、乙、丙的人数,由概率定义计算. 分别计算出购买了甲,同时购买乙、丙、丁中一种的概率,比较得出结论.,【规范解答】(1)选C.由题意,根据事件发生的频率的 定义可知,“正面朝上”的频率为 =0.51. (2)1000位顾客中有200位同时购买乙和丙,所以估计 顾客同时购买乙和丙的概率为,1000位顾客中有100位同时购买甲、丙、丁,200位同 时购买甲、乙、丙,所以估计1000人中同时购买3种商 品的概率为 购买了甲的顾客有100+200+300+85=685位. 则顾客同时购买乙概率为 , 同时购买丙的概率为 同时购买丁的概率为 因此,顾客购买了甲,则该顾客同时购买丙的可能性最 大.,【母题变式】 1.本例(1)条件不变,试求“正面朝上”的概率. 【解析】通过大量试验可知,频率稳定在0.5左右, 故“正面朝上”的概率约是0.5.,2.本例(1)条件变为从自动打包机包装的食盐中随机抽 取20袋,测得各袋的质量分别为(单位:g): 492,496,494,495,498,497,501,502,504,496, 497,503,506,508,507,492,496,500,501,499, 根据频率分布估计总体分布的原理,该自动包装机包装 的袋装食盐质量在497.5501.5g的概率是多少?,【解析】袋装食盐在497.5501.5g的数量为5,所以概 率约为 =0.25.,【规律方法】 1.计算简单随机事件频率或概率的解题思路 (1)计算出所求随机事件出现的频数及总事件的频数. (2)由频率与概率的关系得所求.,2.求解以统计图表为背景的随机事件的频率或概率问题的关键点 求解该类问题的关键,由所给频率分布表,频率分布直方图或茎叶图等图表,计算出所求随机事件出现的频数,进而利用频率与概率的关系得所求.,【变式训练】(2015全国卷)某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了40个用户,根据用户对产品的满意度评分得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表.,A地区用户满意度评分的频率分布直方图,B地区用户满意度评分的频数分布表,(1)作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图,并 通过此图比较两地区满意度评分的平均值及分散程 度.(不要求计算出具体值,给出结论即可),(2)根据用户满意度评分,将用户的满意度评分分为三个等级: 估计哪个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大, 说明理由.,【解析】(1)B地区用户满意度评分的频率分布直方图 通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出,B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值;B地区用户满意度评分比较集中,而A地区用户满意度评分比较分散.,(2)A地区用户的满意度等级为不满意的概率大.理由 如下: 记CA表示事件:“A地区用户的满意度等级为不满意”; CB表示事件:“B地区用户的满意度等级为不满意”.,由直方图得P(CA)的估计值为(0.01+0.02+0.03)10=0.6, P(CB)的估计值为(0.005+0.02)10=0.25. 所以A地区用户的满意度等级为不满意的概率大.,【加固训练】 1.某种菜籽在相同的条件下发芽试验结果如下表,则 其发芽的概率约为 (结果保留1位小数).,【解析】 =(2+4+9+60+116+282+639+1339+1806 +2715)(2+5+10+70+130+310+700+1500+2000+3000) 0.9, 当种子粒数足够多时,发芽的频率稳定于0.9,故用频率 估计概率,发芽的概率约为0.9. 答案:0.9,2.(2015陕西高考)随机抽取一个年份,对西安市该年 4月份的天气情况进行统计,结果如下:,(1)在4月份任取一天,估计西安市在该天不下雨的概率. (2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续 两天的运动会,估计运动会期间不下雨的概率.,【解析】(1)在容量为30的样本中,不下雨的天数是26, 以频率估计概率,4月份任选一天,西安市不下雨的概率 是 . (2)称相邻两个日期为“互邻日期对”(如1日与2日,2 日与3日等),这样在4月份中,前一天为晴天的互邻日期 对有16对,其中后一天不下雨的有14对,所以晴天的次 日不下雨的频率为 ,以频率估计概率,运动会期间不 下雨的概率为 .,考向二 确定事件间的关系 【典例2】(1)(2016西宁模拟)一枚均匀的正方体玩 具的各个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具 向上抛掷1次,设事件A表示向上的一面出现奇数点,事 件B表示向上的一面出现的点数不超过3,事件C表示向 上的一面出现的点数不小于4,则 ( ),A.A与B是互斥而非对立事件 B.A与B是对立事件 C.B与C是互斥而非对立事件 D.B与C是对立事件,(2)某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学去参加演讲比赛,判断下列各对事件是否是互斥事件,并说明理由. 恰有1名男生和恰有两名男生; 至少有1名男生和至少有1名女生; 至少有1名男生和全是男生; 至少有1名男生和全是女生.,【解题导引】(1)根据互斥事件、对立事件的定义逐个选项验证得出答案. (2)判断两个事件是否为互斥事件,就是考虑它们能否同时发生,如果不能同时发生,就是互斥事件,否则就不是互斥事件.,【规范解答】(1)选D.由于事件A与B可能同时发生,故不互斥,则选项A错,B也错,而B与C事件不能同时发生,且BC为必然事件,故事件B与事件C对立.,(2)是互斥事件.理由是:在所选的2名同学中,“恰有1名男生”实质选出的是“1名男生和1名女生”,它与“恰有两名男生”不可能同时发生,所以是一对互斥事件.,不是互斥事件.理由是:“至少有1名男生”包括 “1名男生、1名女生”和“两名都是男生”两种结 果.“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生” 和“两名都是女生”两种结果,当事件“有1名男生 和1名女生”发生时两个事件都发生了.,不是互斥事件.理由是:“至少有1名男生”包括“1 名男生、1名女生”和“两名都是男生”,这与“全是 男生”可同时发生. 是互斥事件.理由是:“至少有1名男生”包括“1名 男生、1名女生”和“两名都是男生”两种结果,它和 “全是女生”不可能同时发生.,【规律方法】 1.准确把握互斥事件与对立事件的概念 (1)互斥事件是不可能同时发生的事件,但可以同时不发生. (2)对立事件是特殊的互斥事件,特殊在对立的两个事件不可能都不发生,即有且仅有一个发生.,2.判别互斥、对立事件的方法 判别互斥事件、对立事件一般用定义判断,不可能同时发生的两个事件为互斥事件;两个事件,若有且仅有一个发生,则这两事件为对立事件,对立事件一定是互斥事件.,【变式训练】从装有两个白球和两个黄球的口袋中任 取2个球,以下给出了三组事件: 至少有1个白球与至少有1个黄球; 至少有1个黄球与都是黄球; 恰有1个白球与恰有1个黄球. 其中互斥而不对立的事件共有 ( ) A.0组 B.1组 C.2组 D.3组,【解析】选A.对于,“至少有1个白球”发生时,“至少有1个黄球”也会发生,比如恰好一个白球和一个黄球,故中的两个事件不互斥. 对于,“至少有1个黄球”说明有黄球,黄球的个数可能是1或2,而“都是黄球”说明黄球的个数是2,故这两个事件不是互斥事件. “恰有1个白球”与“恰有1个黄球”,都表示取出的两个球中,一个是白球,另一个是黄球.故不是互斥事件.,【加固训练】 某城市有甲、乙两种报纸供居民们订阅,记事件A为 “只订甲报纸”,事件B为“至少订一种报纸”,事件 C为“至多订一种报纸”,事件D为“一种报纸也不订”. 判断下列每对事件是不是互斥事件;如果是,再判断它 们是不是对立事件. (1)A与C. (2)B与D. (3)B与C. (4)C与D.,【解析】(1)由于事件C“至多订一种报纸”中有可能 “只订甲报纸”,即事件A与事件C有可能同时发生,故 A与C不是互斥事件. (2)事件B“至少订一种报纸”与事件D“一种报纸也不 订”是不可能同时发生的,故B与D是互斥事件.由于事 件B不发生可导致事件D一定发生,且事件D不发生会导 致事件B一定发生,故B与D还是对立事件.,(3)事件B“至少订一种报纸”中有这些可能:“只订甲 报纸”、“只订乙报纸”、“订甲、乙两种报纸”,事 件C“至多订一种报纸”中有这些可能:“一种报纸也 不订”、“只订甲报纸”、“只订乙报纸”,由于这两 个事件可能同时发生,故B与C不是互斥事件. (4)由(3)的分析知事件D“一种报纸也不订”是事件C 的一种可能,即事件C与事件D有可能同时发生,故C与D 不是互斥事件.,考向三 互斥事件、对立事件概率公式的应用 【典例3】(1)(2016太原模拟)已知甲、乙两人下棋, 和棋的概率为 ,乙胜的概率为 ,则甲胜的概率和 甲不输的概率分别为 .,(2)某商场有奖销售中,购满100元商品得 1张奖券,多购多得,1000张奖券为一个开 奖单位,设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个. 记1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为 A,B,C,求: 1张奖券的中奖概率; 1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.,【解题导引】(1)“甲胜”的对立事件是“和棋或乙 胜”;“甲不输”可看作是“甲胜”与“和棋”这两 个互斥事件的和事件. (2)“1张奖券中奖”可以看作中“特等奖”“一等 奖”“二等奖”三个互斥事件的和事件. 所求事件可以看作“1张奖券中特等奖或中一等奖” 的对立事件.,【规范解答】(1)“甲胜”是“和棋或乙胜”的对立事 件,所以“甲胜”的概率为 设“甲不输”为事件A,则A可看作是“甲胜”与“和 棋”这两个互斥事件的和事件,所以P(A)= 答案:,(2)设“1张奖券中奖”为事件M,则M=ABC, 依题意, 因为A,B,C两两互斥, 所以P(M)=P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C) 故1张奖券的中奖概率为 .,设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N,则 事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件, 所以 故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为 .,【易错警示】解答本例(1)有两点容易出错:“甲 胜”的对立事件为“乙胜”,从而造成错解.“甲 不输”的对立事件为“乙不输”,从而造成错误.,【规律方法】求复杂的互斥事件的概率的两种方法 (1)直接求解法,将所求事件的概率分解为一些彼此 互斥的事件的概率的和,运用互斥事件的概率求和公 式计算. (2)间接求法,先求此事件的对立事件的概率,再用公 式P(A)=1-P( ),即运用逆向思维(正难则反),特别是 “至多”“至少”型题目,用间接求法就显得较简便.,【变式训练】(2016黄石模拟)有编号为1,2,3的三个 白球,编号4,5,6的三个黑球,这六个球除编号和颜色外 完全相同,现从中任意取出两个球. (1)求取得的两个球颜色相同的概率. (2)求取得的两个球颜色不相同的概率.,【解析】从六个球中取出两个球的基本事件是: (1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4), (2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6), (5,6),共计15个.,(1)记事件A为“取出的两个球是白球”,则这个事件包 含的基本事件是(1,2),(1,3),(2,3),共计3个,故P(A) = 记“取出的两个球是黑球”为事件B,同理可得 P(B)= .,记事件C为“取出的两个球的颜色相同”,A,B互斥,根据互斥事件的概率加法公式, 得P(C)=P(AB)=P(A)+P(B)= .,(2)记事件D为“取出的两个球的颜色不相同”,则事 件C,D对立,根据对立事件概率之间的关系,得P(D)= 1-P(C)=1- = .,【加固训练】 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的相关数据,如表所示.,已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%. (1)求x,y的值. (2)求顾客一次购物的结算时间超过2分钟的概率.,【解析】(1)由已知得25+y+10=55,x+30=45,所以 x=15,y=20. (2)记A:一位顾客一次购物的结算时间超过2分钟. A1:该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟. A2:该顾客一次购物的结算时间为3分钟. 将频率视为概率可得P(A)=P(A1)+P(A2)= =0.3. 所以一位顾客一次购物的结算时间超过2分钟的概率为 0.3.,
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