资源描述
2.3.1 等比数列的概念,目标导航,预习引导,目标导航,预习引导,1.等比数列的定义 一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示(公比q0),定义的表达式为_. 预习交流1 常数列一定是等比数列吗? 提示:不一定.当常数列为非零常数列时,此数列为等比数列,否则不是.,目标导航,预习引导,2.等比中项 若a,G,b成等比数列,则称G为a和b的等比中项,即G2=ab.等比数列中,除首项与末项之外的任何一项是它的前一项与后一项的等比中项,即 =an-1an+1. 预习交流2 若G2=ab,则a,G,b一定成等比数列吗? 提示:不一定.若G=0,且a,b中至少有一个为0时,构不成等比数列,只有a,G,b全不为0时才构成等比数列.,目标导航,预习引导,预习交流3 (1)已知等比数列的前三项为a,2,4,则该数列的首项为 ,公比q= . (3)下面有四个结论: 由第1项起乘相同常数得后一项,这样所得到的数列一定为等比数列; 常数列b,b一定为等比数列; 等比数列an中,若公比q=1,则此数列各项相等; 等比数列中,各项与公比都不能为零. 其中正确的结论是 (填序号). 提示:(1)1 2 (2)1 (3),一,二,三,思路分析:根据等比数列的定义判断.,一,二,三,一,二,三,答案: 解析:an为等差数列, an+1-an=d(常数).,一,二,三,2.已知数列an满足a1=1,an+1=2an+1.证明数列an+1是等比数列. 证明:因为an+1=2an+1, 所以an+1+1=2(an+1). 由a1=1,知a1+10,从而an+10. 所以数列an+1是等比数列.,一,二,三,名师点津 1.要判断或证明一个数列是等比数列,主要方法是用定义法. 2.已知数列的递推关系证明或求通项公式,一般要根据递推关系式的特点进行变形,变成我们熟知的等差数列或等比数列的形式解决.本题是通过递推关系式两边都加1的变形,证出数列an+1成等比数列,注意转化思想的应用.,一,二,三,二、等比中项问题 活动与探究 例2(1)等差数列an中,公差d0,且a1,a3,a9成等比数列, 则 等于多少? (2)若a,2a+2,3a+3成等比数列,求实数a的值. 思路分析:利用等比中项的概念G2=ab建立等量关系求解.,一,二,三,迁移与应用 1.有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12.求这四个数.,一,二,三,2.已知(b-c)logmx+(c-a)logmy+(a-b)logmz=0且a,b,c构成公差不为零的等差数列,求证:x,y,z成等比数列. 证明:设等差数列a,b,c的公差为d(d0), 则b-c=-d,c-a=2d,a-b=-d, 代入已知条件式,得-d(logmx-2logmy+logmz)=0. d0,logmx-2logmy+logmz=0. logmy2=logm(xz).y2=xz. 由题设知x,y,z均不为0,x,y,z成等比数列.,一,二,三,名师点津 1.在利用等比中项公式确定等比数列中某一项时,一定要注意符号的取舍,如求等比数列-1,x,-4,-2n-1,中的x值,利用等比中项公式,则x2=(-1)(-4),即x=2,因为x0,所以x=-2. 2.“等比中项法”判断一个数列为等比数列,若在数列an中,有an0,且 ,则数列an为等比数列.,一,二,三,三、等比数列的判定与证明 活动与探究 例3已知数列an的前n项和Sn=2-an,求证:数列an是等比数列. 思路分析:要证明an是等比数列,根据定义,只要证明 (q为常数,q0)即可.因此可以由Sn=2-an变形转化进行证明.,一,二,三,迁移与应用 1.已知数列an满足:lg an=3n+5,试用定义证明an是等比数列.,2.已知数列an的前n项和Sn=2n+1-2. 求证:an是等比数列. 证明:当n=1时,a1=S1=22-2=2, 当n2时,an=Sn-Sn-1=(2n+1-2)-(2n-2)=2n; 当n=1时,也满足.an=2n(nN*).,一,二,三,名师点津 判断一个数列是否是等比数列的技巧 利用定义法来判断数列是否是等比数列需从以下三个方面把握:(1)从第二项起;(2)每一项与前一项的比;(3)同一个常数,即 (q为常数且不为零)an为等比数列.,2,3,4,5,1,1.已知1,a,4成等比数列,则a=( ) A.2 B.-2 C.2 D.16 答案:C 解析:由已知a2=4,得a=2.,2,3,4,5,1,2.等比数列x,3x+3,6x+6,的第四项等于( ) A.-24 B.0 C.12 D.24 答案:A 解析:由x,3x+3,6x+6成等比数列,得(3x+3)2=x(6x+6),解得:x=-3或x=-1(不合题意,舍去).则该等比数列的前三项为-3,-6,-12.可得第四项为-24,故选A.,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,4.在2和30之间插入两个正数,使前3个数成等比数列,后三个数成等差数列,则插入的两数依次是 、 . 答案:6 18 解析:设插入的两个数依次为a,b,2,3,4,5,1,5.在数列an中,an=73n,求证:数列an是等比数列.,
展开阅读全文