2019-2020年高中数学 第四章《圆与方程》复习教案 新人教A版必修2.doc

2019-2020年高中数学 第四章圆与方程复习教案 新人教A版必修2 复习知识点： 一：圆的方程。（1）标准方程（几何式）： （圆心为A(a,b),半径为r） （2）圆的一般方程（代数式）：（） 圆心 半径 提示：求圆的方程的主要方法有两种：一是定义法，二是待定系数法。定义法是指用定义求出圆心坐标和半径长，从而得到圆的标准方程；待定系数法即列出关于的方程组，求而得到圆的一般方程，一般步骤为：(1)根据题意，设所求的圆的标准方程为(2)根据已知条件，建立关于的方程组；(3)解方程组。求出的值，并把它们代人所设的方程中去，就得到所求圆的一般方程二：点与圆的位置关系的判断方法，：若 ，则点P在圆上；若 ,则点P在圆外；若 ,则点P在圆内；三：直线与圆的位置关系判断方法：（1）几何法：由圆心到直线的距离d和圆r的半径的大小关系来判断。(1) 相交 （2）相切 （3）相离 适用于已知直线和圆的方程判断二者关系，也适用于其中有参数，对参数谈论的问题。利用这种方法，可以简单的算出直线与圆相交时的相交弦的长，以及当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最远、最近距离等。（2）代数法：由直线与圆的方程联立消元得到 ,然后由判别式来判断。(1) 相交 （2）相切 （3）相离 利用这种方法，可以很简单的求出直线与圆有交点时的交点坐标。四：圆与圆的位置关系判断方法：（1）几何法：两圆的连心线长为，圆的半径与圆的半径，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：1）当 时，圆与圆相离；2）当 时，圆与圆外切；3）当 时，圆与圆相交；4）当 时，圆与圆内切；5）当 时，圆与圆内含；（2）代数法：由两圆的方程联立得到关于x或y的一元二次方程, 然后由判别式来判断。=0为外切或内切，0为相交，0为相离或内含。若两圆相交，两圆方程相减得公共弦所在直线方程。五：直线与圆的方程的应用：利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系。 典型例题与练习： 类型一：求圆的方程例1：已知一圆经过点A（2，3）和B（2，5），且圆心C在直线l： 上，求此圆的标准方程（三种方法求解）。类型二：轨迹方程与切线方程例2：已知点P（10，0），Q为圆上一点动点，当Q在圆上运动时，求PQ的中点M的轨迹方程（参照课本例题求解，答案：）。例题3：求由下列条件所决定圆的圆的切线方程：(1)经过点，(2)经过点，(3)斜率为。（参照成才之路P85页）结论：已知圆的方程是x2+y2=r2,求经过圆上一点M(x0,y0)的切线方程（答案）。类型三：直线与圆、圆与圆的位置关系例题4：已知直线，直线以及上一点求圆心在上且与直线相切于点的圆的方程例题5：一圆与y轴相切，圆心在直线x3y=0上，且直线y=x截圆所得弦长为2，求此圆的方程.例6： 求经过两圆（x+3）2+y2=13和x2+（y+3）2=37的交点，且圆心在直线xy4=0上的圆的方程.例7： 已知圆C：（x1）2（y2）225，直线l：（2m+1）x+（m+1）y7m4=0（mR）.（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；（2）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程.类型四：弦长问题例8：已知圆C：内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A、B两点.(1)当l经过圆心C时，求直线l的方程；(2)当弦AB被点P平分时，写出直线l的方程；(3) 当直线l的倾斜角为45时，求弦AB的长.类型五：对称问题与距离最值问题例9：一束光线l自A（3，3）发出，射到x轴上，被x轴反射到C：x2y24x4y70上（1）求反射线通过圆心C时，光线l的方程；（2）求在x轴上，反射点M的范围例题10：已知实数x、y满足方程x2+y24x+1=0.求（1）的最大值和最小值；（2）yx的最小值；（3）x2+y2的最大值和最小值.精选精练：一、选择题1 圆：和圆：交于两点，则的垂直平分线的方程是（ ）A. B C D 2 方程表示的曲线是（ ）A一个圆 B 两个半圆 C两个圆 D 半圆3已知圆：及直线，当直线被截得的弦长为时，则（ ）A B C D4 圆的圆心到直线的距离是（ ）AB C D 5 直线截圆得的劣弧所对的圆心角为（ ）A B C D 6 圆上的点到直线的距离的最小值是（ ）A 6 B 4 C 5 D 1 7两圆和的位置关系是（ ）A 相离 B相交 C 内切 D外切8 直线与圆交于两点，则（是原点）的面积为（ ） 9 直线过点，与圆有两个交点时，斜率的取值范围是( )A B CD 10 已知圆C的半径为，圆心在轴的正半轴上，直线与圆C相切，则圆C的方程为（ ）A B C D 11 若过定点且斜率为的直线与圆在第一象限内的部分有交点，则的取值范围是（ ） A B C D 12设直线过点，且与圆相切，则的斜率是（）A BC D二、填空题1 若点在轴上，且，则点的坐标为 2若曲线与直线始终有交点，则的取值范围是_；若有一个交点，则的取值范围是_；若有两个交点，则的取值范围是_；3 已知圆的方程为，过点的直线与圆交于两点，若使最小，则直线的方程是_ 4 如果实数满足等式，那么的最大值是_ 5 过圆外一点，引圆的两条切线，切点为，则直线的方程为_ 6 直线被曲线所截得的弦长等于 7 圆：的外有一点，由点向圆引切线的长_ 8 对于任意实数，直线与圆的位置关系是 9 动圆的圆心的轨迹方程是 10 为圆上的动点，则点到直线的距离的最小值为_ 必修 第四章 圆与方程复习提纲答案例题1：解：因为A（2，3），B（2，5），所以线段AB的中点D的坐标为（0，4），又 ，所以线段AB的垂直平分线的方程是联立方程组，解得所以，圆心坐标为C（1，2），半径，所以，此圆的标准方程是例题4：解：设圆心为，半径为，依题意，.设直线的斜率，过两点的直线斜率，因，故，解得.所求圆的方程为.例题5：解：因圆与y轴相切，且圆心在直线x3y=0上，故设圆方程为（x3b）2+（yb）2=9b2.又因为直线y=x截圆得弦长为2，则有（）2+（）2=9b2，解得b=1.故所求圆方程为（x3）2+（y1）2=9或（x+3）2+（y+1）2=9.评述：在解决求圆的方程这类问题时，应当注意以下几点：（1）确定圆方程首先明确是标准方程还是一般方程；（2）根据几何关系（如本例的相切、弦长等）建立方程求得a、b、r或D、E、F（3）待定系数法的应用，解答中要尽量减少未知量的个数.例题6：剖析：根据已知，可通过解方程组得圆上两点，（x+3）2+y2=13，x2+（y+3）2=37 由圆心在直线xy4=0上，三个独立条件，用待定系数法求出圆的方程；也可根据已知，设所求圆的方程为（x+3）2+y213+x2+（y+3）237=0，再由圆心在直线xy4=0上，定出参数，得圆方程.解：因为所求的圆经过两圆（x+3）2+y2=13和x2+（y+3）2=37的交点，所以设所求圆的方程为（x+3）2+y213+x2+（y+3）237=0.展开、配方、整理，得（x+）2+（y+）2=+.圆心为（，），代入方程xy4=0，得=7.故所求圆的方程为（x+）2+（y+）2= .评述：圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0，圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0，若圆C1、C2相交，那么过两圆公共点的圆系方程为（x2+y2+D1x+E1y+F1）+（x2+y2+D2x+E2y+F2）=0（R且1）.它表示除圆C2以外的所有经过两圆C1、C2公共点的圆.特别提示 在过两圆公共点的图象方程中，若=1，可得两圆公共弦所在的直线方程.例题7：剖析：直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得.（1）证明：l的方程（x+y4）+m（2x+y7）=0.得mR， 2x+y7=0， x=3，x+y4=0， y=1，即l恒过定点A（3，1）.圆心C（1，2），AC5（半径），点A在圆C内，从而直线l恒与圆C相交于两点.（2）解：弦长最小时，lAC，由kAC，l的方程为2xy5=0.评述：若定点A在圆外，要使直线与圆相交则需要什么条件呢？例题8：解：(1)已知圆C：的圆心为C（1，0），因直线过点P、C，所以直线l的斜率为2， 直线l的方程为y=2(x-1),即 2x-y-20.(2)当弦AB被点P平分时，lPC, 直线l的方程为, 即 x+2y-6=0(3)当直线l的倾斜角为45时，斜率为1，直线l的方程为y-2=x-2 ,即 x-y=0圆心C到直线l的距离为，圆的半径为3，弦AB的长为例题9：解： C：(x2)2(y2)21（）C关于x轴的对称点C(2，2)，过A，C的方程：xy0为光线l的方程（）A关于x轴的对称点A(3，3)，设过A的直线为y3k(x3)，当该直线与C相切时，有或过A，C的两条切线为 令y0，得反射点M在x轴上的活动范围是例题10：解：（1）如图，方程x2+y24x+1=0表示以点（2，0）为圆心，以为半径的圆.设=k，即y=kx，由圆心（2，0）到y=kx的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值.由=，解得k2=3.所以kmax=，kmin=.（也可由平面几何知识，有OC=2，OP=，POC=60，直线OP的倾斜角为60，直线OP的倾斜角为120解之）（2）设yx=b，则y=x+b，仅当直线y=x+b与圆切于第四象限时，纵轴截距b取最小值.由点到直线的距离公式，得=，即b=2，故（yx）min=2.（3）x2+y2是圆上点与原点距离之平方，故连结OC，与圆交于B点，并延长交圆于C，则（x2+y2）max=OC=2+，（x2+y2）min=OB=2.精选精练一、选择题1 C 由平面几何知识知的垂直平分线就是连心线2B 对分类讨论得两种情况 3 C 4A 5 C 直线的倾斜角为，得等边三角形6B 7 B 8 D 弦长为，9 C ，相切时的斜率为10D 设圆心为11 A 圆与轴的正半轴交于12 D 得三角形的三边，得的角 二、填空题1 设则2 ； 曲线代表半圆3 当时，最小，4 设， 另可考虑斜率的几何意义来做5 设切点为，则的方程为的方程为，则6 ，78 相切或相交 ；另法：直线恒过，而在圆上9 圆心为，令 10