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第六节 幂函数与二次函数,【知识梳理】 1.必会知识 教材回扣 填一填 (1)幂函数: 定义:一般地,函数_叫做幂函数,其中_是自变量,_为常数.,y=x,x,幂函数的图象比较:,(2)二次函数: 解析式: 一般式:f(x)=_; 顶点式:f(x)=a(x-h)2+k(a0);顶点坐标为_. 两根式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a0).,ax2+bx+c(a0),(h,k),图象与性质:,b=0,2.必备结论 教材提炼 记一记 (1)f(x)=ax2+bx+c(a0)的图象与x轴交点的横坐标是方程 _的实根. (2)若x1,x2为f(x)=0的实根,则f(x)在x轴上截得的线段长应为 |x1-x2|=_.,ax2+bx+c=0,(3)当_时,恒有f(x)0;当_时,恒有f(x)0. (4)幂函数图象的性质 幂函数的图象一定会出现在第一象限内,一定不会出现在第四象限,至于是否出现在第二、三象限内,要看函数的奇偶性. 幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内. 如果幂函数图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.,3.必用技法 核心总结 看一看 (1)常用方法:配方法、待定系数法. (2)数学思想:数形结合,分类讨论. (3)记忆口诀:幂函数在第一象限的图象 “正抛负双,大竖小横” 说明:0且1时图象是抛物线型;1时图象是竖直抛物线型;01时图象是横卧抛物线型.,【小题快练】 1.思考辨析 静心思考 判一判 (1)函数y= 是幂函数.( ) (2)如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.( ) (3)当n0时,幂函数y=xn是定义域上的减函数.( ) (4)二次函数y=ax2+bx+c,xm,n的最值一定是 ( ),【解析】(1)错误,不符合幂函数的定义. (2)正确,因若相交,则x=0得y=0,若y=0,则得x=0. (3)错误,幂函数y=x-1在定义域上不单调. (4)错误,当 m,n时,二次函数的最值,在区间端点达到,而非 答案:(1) (2) (3) (4),2.教材改编 链接教材 练一练 (1)(必修1P82A组T10改编)已知点M( ,3)在幂函数f(x)的图象上, 则f(x)的表达式为( ) A.f(x)=x2 B.f(x)=x-2 C.f(x)= D.f(x)= 【解析】选B.设幂函数的解析式为y=x,则3= ,所以=-2. 即y=x-2.,(2)(必修1P79T1改编)设-1,1, ,3,则使函数y=x的定义域 为R且为奇函数的所有值为( ) A.1,3 B.-1,1 C.-1,3 D.-1,1,3 【解析】选A.在函数y=x-1,y=x,y= ,y=x3中,只有函数y=x和y=x3 的定义域是R,且是奇函数,故=1,3.,3.真题小试 感悟考题 试一试 (1)(2015长沙模拟)函数y= 的图象是( ),【解析】选B.因为函数y= 是幂函数,幂函数在第一象限内恒过点 (1,1),排除A,D.当x1,01时,y=x在直线y=x下方,排除C.,(2)(2014上海高考)若f(x)= ,则满足f(x)0),若满足f(x)0, 即 ,所以 因为y= 是增函数,所以 1的解集为(0,1), 即x的取值范围是(0,1). 答案:(0,1),(3)(2015蚌埠模拟)函数y=3- 的值域是 . 【解析】因为2-2x+x2=(x-1)2+11, 所以 1.所以y2. 答案:(-,2,考点1 幂函数的图象及性质 【典例1】(1)(2015长春模拟)若 则a,b,c 的大小关系是( ) A.abc B.cab C.bca D.bac (2)已知函数f(x)=(m2-m-1)xm2+m-3是幂函数,且x(0,+)时,f(x) 是增函数,则m的值为( ) A.-1 B.2 C.-1或2 D.3,【解题提示】(1)利用幂函数与指数函数的单调性比较. (2)先利用幂函数的定义确定出m的取值范围,再利用f(x)在(0,+)上是增函数确定m的具体值.,【规范解答】(1)选D.因为y= 在第一象限内是增函数, 所以 ,因为y= 是减函数, 所以 ,所以bac.,(2)选B.因为f(x)是幂函数, 所以m2-m-1=1,解得m=-1或m=2, 当m=-1时,m2+m-3=-3, 当m=2时,m2+m-3=3, f(x)=x-3或f(x)=x3, 而易知f(x)=x3在(0,+)上为增函数, f(x)=x-3= 在(0,+)上为减函数, 所以m的值为2.,【易错警示】解答本例题(2)有三点容易出错 (1)对幂函数的定义不明确,不能确定m2-m-1=1. (2)对幂函数的图象不理解,不清楚x(0,+)时函数递增的含义. (3)在求得m后没有进行检验.,【互动探究】本例(2)已知变为“幂函数f(x)=(t3-t+1) (tN)是偶函数”,则实数t的值如何? 【解析】因为函数是幂函数,所以t3-t+1=1, 解得t=0或1或-1. 当t=0时, ,函数是奇函数; 当t=1时, ,函数是偶函数; 当t=-1时, ,函数是偶函数, 故实数t的值为-1或1.,【规律方法】 1.利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧 在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,转化为同指数幂,再选择适当的函数,借助其单调性进行比较. 2.幂函数的指数与图象特征的关系 当0,1时,幂函数y=x在第一象限的图象特征:,【变式训练】1.(2015南昌模拟)幂函数y=f(x)的图象过点(4,2),则幂函数y=f(x)的图象是( ),【解析】选C.设幂函数的解析式为y=x,因为幂函数y=f(x)的图象 过点(4,2), 所以2=4,解得= .所以y= ,其定义域为0,+),且是增函数, 当0x1时,其图象在直线y=x的上方,对照选项,故选C.,2.已知f(x)= ,若0ab1,则下列各式正确的是( ),【解析】选C.因为0ab1,所以0ab1 又函数f(x)= 为增函数, 所以f(a)f(b),【加固训练】1.(2015珠海模拟)已知幂函数y=f(x)的图象过点 ,则log4f(2)的值为( ) A. B.- C.2 D.-2 【解析】选A.设f(x)=x,由图象过点 ,得,2.幂函数y=x-1及直线y=x,y=1,x=1将平面直角坐标系的第一象限分成 八个“卦限”:,(如图所示),那么幂函数y= 的图象经过的“卦限”是( ) A. B. C. D.,【解析】选D.由0x,x1时,y= x知,y= 的图象 经过“卦限”.故选D.,3.当0g(x)f(x). 答案:h(x)g(x)f(x),考点2 求二次函数的解析式 【典例2】(1)已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,则此二次函数的解析式为 . (2)(2015长沙模拟)已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f(x)-2x的解集为(1,3).若方程f(x)+6a=0有两个相等的根,则f(x)的单调递增区间为 .,【解题提示】(1)根据条件,利用二次函数一般式、顶点式或零点式求 解. (2)先求出函数解析式,然后根据二次函数的图象确定其单调递增区间. 【规范解答】(1)设f(x)=ax2+bx+c(a0). 由题意得 解得 所以所求二次函数为f(x)=-4x2+4x+7.,【一题多解】解答本题，你知道几种解法？ 解答本题，还有以下 解法： 方法一：(利用顶点式)： 设f(x)a(x-m)2n. 因为f(2)f(-1)， 所以抛物线的对称轴为x,所以m .又根据题意函数有最大值8，所以n8. 所以yf(x) 因为f(2)-1，所以 8-1，解得a-4， 所以f(x) 8-4x24x7.,方法二(利用零点式): 由已知f(x)+1=0两根为x1=2,x2=-1, 故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1), 即f(x)=ax2-ax-2a-1. 又函数有最大值ymax=8,即 =8. 解得a=-4. 所以所求函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7.,答案:f(x)=-4x2+4x+7 (2)因为f(x)+2x0的解集为(1,3), 设f(x)+2x=a(x-1)(x-3),且a0, 所以f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax2-(2+4a)x+3a. 由方程f(x)+6a=0得ax2-(2+4a)x+9a=0. 因为方程有两个相等的根, 所以=-(2+4a)2-4a9a=0,解得a=1或a=- .由于a0,舍去a=1. 将a=- 代入式得 f(x)= 所以函数f(x)的单调增区间是(-,-3. 答案:(-,-3,【规律方法】求二次函数解析式的方法,【变式训练】1.(2015合肥模拟)已知二次函数f(x)=ax2+bx+1 (a,bR),xR.若函数f(x)的最小值为f(-1)=0,则f(x)= . 【解析】由题意知 解得 所以f(x)=x2+2x+1. 答案:x2+2x+1,2.(2015武汉模拟)若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数a,bR)是偶函数,且它的值域为(-,4,则该函数的解析式f(x)= . 【解析】f(x)=bx2+(ab+2a)x+2a2, 由已知条件ab+2a=0,又f(x)的值域为(-,4, 则 因此f(x)=-2x2+4. 答案:-2x2+4,【加固训练】1.若二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)满足f(x+1)-f(x) =2x,且f(0)=1.则f(x)的解析式为 . 【解析】由f(0)=1,得c=1.所以f(x)=ax2+bx+1. 又f(x+1)-f(x)=2x, 所以a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x, 即2ax+a+b=2x,所以 所以 因此,f(x)=x2-x+1. 答案:f(x)=x2-x+1,2.(2015绵阳模拟)如图直角梯形OABC位于平面直角坐标系中,其中 OC=1,BC=1,OA=2,动点P从C出发沿折线段CBA运动到A(包括端点),设 点P的横坐标为x,函数f(x)= (1)求函数y=f(x)的解析式. (2)作出函数y=f(x)的草图,并求f(x)的单调递增区间.,【解析】(1)由已知C(0,1),A(2,0),B(1,1), 当点P位于线段BC上,即0x1时,点P(x,1), 于是 =(x,1), =(2-x,-1), y= =x(2-x)-1=-x2+2x-1, 当点P位于BA上,即1x2时,点P(x,2-x), 于是 =(x,2-x), =(2-x,x-2), y= =x(2-x)+(2-x)(x-2)=-2x2+6x-4. 于是函数f(x)=,(2)f(x)= 的图象如图所示: 由图象知,f(x)的单调增区间为,考点3 二次函数的图象和性质 知考情 高考对二次函数图象与性质进行单独考查的频率较低.常与一元二次方程、一元二次不等式等知识交汇命题是高考的热点,以选择题、填空题的形式出现,考查二次函数的图象与性质的应用.,明角度 命题角度1:二次函数的最值问题 【典例3】(2015长沙模拟)已知函数y=-x2+ax- 在区间0,1 上的最大值是2,实数a的值为 . 【解题提示】先求出二次函数的对称轴,然后讨论对称轴与0,1的 关系,从而确定a的值.,【规范解答】y=-(x- (a2-a+2),其图象的对称轴为x= 当0 1,即0a2时, ymax= (a2-a+2),由 (a2-a+2)=2, 得a=3或a=-2,与0a2矛盾,舍去; 当 0,即a0时,y在0,1上单调递减, 有ymax=f(0),由f(0)=2得 =2解得a=-6.,当 1,即a2时,y在0,1上单调递增, 有ymax=f(1),由f(1)=2得-1+a =2, 解得a= 综上,得a=-6或a= 答案:-6或,命题角度2:求解一元二次不等式恒成立问题 【典例4】(2015石家庄模拟)设函数f(x)=ax2-2x+2,对于满足 10,则实数a的取值范围为 . 【解题提示】思路一:分a0,a=0,a0求解. 思路二:分离参数a得a ,然后求g(x)= 的最大值即可.,【规范解答】方法一：当a0时，f(x) 由f(x)0，x(1,4)得：,所以a1或 a1或，即a ， 当a0时， 解得a； 当a0时，f(x)-2x2，f(1)0，f(4)-6，所以不合题意. 综上可得，实数a的取值范围是a 答案：,方法二：由f(x)0，即ax2-2x20，x(1,4)， 得a 在(1,4)上恒成立. 令g(x) 所以g(x)maxg(2) 所以要使f(x)0在(1,4)上恒成立，只要a 即可. 答案：,悟技法 1.二次函数最值问题的类型及处理思路 (1)类型:对称轴、区间都是给定的;对称轴动、区间固定;对称轴定、区间变动. (2)解决这类问题的思路:抓住“三点一轴”数形结合,三点是指区间两个端点和中点,一轴指的是对称轴,结合配方法,根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成.,2.由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键 (1)一般有两个解题思路:一是分离参数;二是不分离参数. (2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值,至于用哪种方法,关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据是:af(x)af(x)max, af(x)af(x)min.,通一类 1.(2015贵阳模拟)函数y=ax2+bx与y= (ab0,|a|b|)在 同一直角坐标系中的图象可能是( ),【解析】选D.对A，yax2bx满足 得|b|a|，即 1，此时y 在(0，)上单调递减，不符合；同理B，C 也不符合；对D，yax2bx满足 得|b|a|，即 1，此时y 在(0，)上单调递减，故选D.,2.(2015中山模拟)如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A(-3,0),对称轴为x=-1.给出下面四个结论:b24ac;2a-b=1;a-b+c=0;5ab.其中正确的是( ) A. B. C. D.,【解析】选B.因为图象与x轴交于两点,所以b2-4ac0,即b24ac,正 确;对称轴为x=-1,即 =-1,2a-b=0,错误;结合图象,当x=-1时, y0,即a-b+c0,错误;由对称轴为x=-1知,b=2a.又函数图象开口向 下,所以a0,所以5a2a,即5ab,正确.,3.(2015焦作模拟)已知函数y=x2-2x+3在闭区间0,m上有最大值3,最小值2,则m的取值范围为 . 【解析】y=x2-2x+3的对称轴为x=1. 当m1时,y=f(x)在0,m上为减函数. 所以ymax=f(0)=3,ymin=f(m)=m2-2m+3=2. 所以m=1,无解.,当1m2时,ymin=f(1)=12-21+3=2, ymax=f(0)=3. 当m2时,ymax=f(m)=m2-2m+3=3,不满足题意. 答案:1,2,4.(2015衡水模拟)已知函数f(x)=x2-2x,g(x)=ax+2(a0),对任意 的x1-1,2都存在x0-1,2,使得g(x1)=f(x0),则实数a的取值范 围是 . 【解析】当x0-1,2时,由f(x)=x2-2x得f(x0)-1,3,又对任意 的x1-1,2都存在x0-1,2,使得g(x1)=f(x0),所以当x1-1,2 时,g(x1)-1,3.当a0时, 解得a .综上所述,实数 a的取值范围是(0, . 答案:(0, ,巧思妙解2 数形结合思想在解决二次函数问题中的妙用 【典例】(2015中山模拟)设函数f(x)= ,g(x)=-x2+bx(bR). 若y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点 A(x1,y1),B(x2,y2),则下列判断正确的是( ) A.当a0 B.当a0,y1+y20时,x1+x20时,x1+x20,y1+y20,【常规解法】选B.设F(x)=x3-bx2+1,则方程F(x)=0与f(x)=g(x)同解, 故其有且仅有两个不同零点x1,x2.由F(x)=0,得x=0或x= .这样, 必须且只需F(0)=0或 =0,因为F(0)=1,故必有 =0由此得 b= .不妨设x10, 由此知y1+y2=,【巧妙解法】选B.在同一坐标系内画出f(x)= 及g(x)=-x2+bx的草 图如图所示,其中点A(x1,y1)关于原点的对称点C也在函数y= 的图象上,坐标为 (-x1,-y1),而点B的坐标(x2,y2)在图象上也明显的显示出来.由图象 可知,x1+x20,y1+y20.,【方法指导】(1)利用二次函数图象可以较直观形象地解决以下几方面问题: 二次函数的单调区间; 二次函数在给定区间上的最值; 借助二次函数求参数的范围; 与二次函数相关的图象交点个数问题. (2)二次函数问题利用数形结合的关键:准确作出二次函数的图象,结合图象求解.,【类题试解】(2015杭州模拟)已知函数f(x)=x2-2(a+2)x+a2, g(x)=-x2+2(a-2)x-a2+8. 设H1(x)=maxf(x),g(x),H2(x)=minf(x),g(x)(maxp,q表示p,q中的较大值,minp,q表示p,q中的较小值).记H1(x)的最小值为A,H2(x)的最大值为B,则A-B=( ) A.16 B.-16 C.a2-2a-16 D.a2+2a-16,【常规解法】选B.由f(x)=g(x),得(x-a)2=4, 所以当x=a-2和x=a+2时,两函数值相等.f(x)图象为开口向上的抛物 线,g(x)图象为开口向下的抛物线,两图象在x=a-2和x=a+2处相交,则 所以A=H1(x)min=f(a+2)=-4a-4,B=H2(x)max=g(a-2)=-4a+12, 所以A-B=-16.,【巧妙解法】选B.f(x)顶点坐标为(a+2,-4a-4),g(x)顶点坐标(a-2,-4a+12),并且f(x)与g(x)的顶点都在对方的图象上,图象如图, 由题意知,A,B分别为两个二次函数顶点的纵坐标, 所以A-B=(-4a-4)-(-4a+12)=-16.,
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