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2019/11/21,土建2004-12,1,点、直线、平面的投影,直线的投影 直角三角形法求线段实长及倾角 直线上的点 两直线的相对位置关系,2019/11/21,土建2004-12,2,11点的直角坐标和投影规律,a=aax=aaz=oy,Aa=aax=aay=oz,Aa=aaz=aay=ox,1点到投影面的距离等于相邻投影的投影到相对应的投影轴上的距离。,aaox,aaoz,aax=aaz=oy,2点的投影连线垂直于所对应的轴线。,2019/11/21,土建2004-12,3,根据两点相对于投影面的距离(坐标)不同，即可确定两点的相对位置。 图中A 点的横标小于B 点的横标，点A 在点B 的右方。 同样，可以判断点A 在点B上方；点A 在点B 前方(规定距 V 面远为前，距V 面近为后)。,1.2 两点的相对位置和重影点,1.3.1 两点的相对位置,2019/11/21,4,土建2004-12,例8：已知点A在点B之前5，之上9，之右8，求点A的投影。,直线的投影,两点决定一条直线。,分别将两点的同名（同面）投影用直线连接，就得到直线的投影。,直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。,直线对投影面的倾角： 对水平投影面的倾角 对正立投影面的倾角 对侧立投影面的倾角,直线在三投影面体系中分为：,各种位置直线的投影特性,投影面平行线,一般位置直线,投影面垂直线,2019/11/21,土建2004-12,7,水平线,侧平线,投影面平行线,投影面平行线的投影特性： 1、在其所平行的投影面上的投影，反映直线段的实长。该投影与投影轴的夹角，反映该直线与其它两投影面的倾角； 2、在其它两投影面上的投影，平行于相应的投影轴，且小于实长。,2019/11/21,土建2004-12,8,正垂线,侧垂线,投影面垂直线,垂直线的投影特性： 1、在其所垂直的投影面上的投影，积聚为一点； 2、在其它两个投影面上的投影，反映实长，且垂直于相应的投影轴。,投影特性： 三个投影都是缩短了的倾斜线段, 都不反映空间线段的实长及与三个投影面的倾角。,一般位置直线（投影面倾斜线）,各种位置直线的投影特性,2019/11/21,土建2004-12,10,例3: 过点A向右上方作一正平线AB,使其实长为2，与H面的倾角=30。,30,解题思路：熟悉正平线的投影特性，并从反映实长和的投影入手。,作图要点:做正平线的正面投影； 过点a做正平线的水平投影和侧面投影。,2019/11/21,土建2004-12,11,|zA-zB|,直角三角形法求线段实长及线段与投影面的倾角,求直线AB的实长及其对 水平投影面的倾角 角。,即：直角三角形的组成:斜边实长 直角边1投影,直角边2坐标差, 投影与实长的夹角倾角。,直角三角形法求线段实长 及线段与投影面的倾角,2019/11/21,土建2004-12,13,例5： 已知直线的一个投影ab及实长，求直线的投影ab。,X,O,a,b,a,解题思路及步骤 1.根据直角三角形的组成，利用ab及实长作直角三角形； 2 .求出Y坐标差； 3. 利用Y坐标差求ab投影。,AB,思考：若将已知条件实长换成=30，则如何解题？,直线上的点,从属性：若点在直线上，则点的投影必在直线的同面投影上，且符合点的投影规律。反之，亦然。,定比性：若点在直线上，则点的投影分割线段的同面投影之比与空间点分割线段之比相等。反之，亦然。 即AC/CB=ac/cb= ac / cb = ac : c b，利用这一特性，在不作侧面投影的情况下，可以在侧平线上找点或判断已知点是否在侧平线上。,直线上点的投影特性,2019/11/21,土建2004-12,15,例6：判断点C是否在线段AB上。,点C不在直线AB上,点C在直线AB上,O,X,O,X,2019/11/21,土建2004-12,16,例7：判断点K是否在线段AB上。,a,b,因k不在a b上， 故点K不在AB上。,方法二：应用定比定理,a,b,k,a,b,k,方法一：作出第三投影,因 ak/kb不等于ak/kb，故点K不在AB上。,O,X,YH,YW,Z,2019/11/21,土建2004-12,17,例8 已知线段AB的投影图，试将AB分成21两段， 求分点C的投影c、c 。,O,空间两直线的相对位置关系分为四种： 平行、相交、交叉、垂直。, 两直线平行,投影特性（判别方法）：,两直线的相对位置,1若空间两直线相互平行，则其各同面投影必相互平行；反之，若两直线的各同面投影相互平行，则此两直线在空间也一定相互平行。 2平行两线段之比等于其投影之比。,2019/11/21,土建2004-12,19,例9：判断图中两条直线是否平行。,对于一般位置直线，只要有两个同面投影互相平行，空间两直线就平行。,AB/CD,O,X, 两直线相交,若空间两直线相交，则其各同面投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影规律；反之，亦然。,两直线的相对位置,交点是两直线的共有点,投影特性（判别方法）：,3.两直线交叉：凡不满足平行和相交条件的直线为交叉两直线。,两直线的相对位置,1(2 ),3(4 ),投影特性（判别方法） ：, 同面投影可能相交，但 “交点”不符合空间一个点的投影规律。也可能有两对同面投影平行，但第三对决不会平行。, “交点”是两直线上的一 对重影点的投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。,、是面的重影点，、是H面的重影点。,为什么？,两直线相交吗？,O,X,例10：过直线CD外一点A，作正平线AB与CD相交。,c1,b1,X,O,例12 判断图中两条直线的空间位置。,对于特殊位置直线，只有两个特殊投影互相平行，空间直线不一定平行，必须在直线所平行的投影面内进行判断。,求出侧面投影后可知：,AB与CD不平行。,b,d,c,a,c,b,a,d,d,b,a,c,X,Z,O,YH,YW,2019/11/21,土建2004-12,24,例14： 求作水平线L，使其距H面的距离为15，且与直线AB、CD都相交。,a,b,a,b,c,d ,d,c,15,l,l,X,O,2019/11/21,土建2004-12,25,例8 已知线段AB的投影，试定出属于线段AB的点C的投影，使BC的实长等于已知长度L。,AB,zB-zA,ab,2019/11/21,土建2004-12,26,一、用几何元素表示平面 用几何元素表示平面有五种形式：不在一直线上的三个点；一直线和直线外一点；相交二直线；平行二直线；任意平面图形。 二、平面的迹线表示法 平面的迹线为平面与投影面的交线。特殊位置平面可以用在它们所垂直的投影面上的迹线来表示。,1.4.1 平面的表示法,2019/11/21,土建2004-12,27,不在同一直线上的三个点,直线及线外一点,两平行直线,两相交直线,平面图形,一、用几何元素表示平面,2019/11/21,土建2004-12,28,实形性,类似性,积聚性,一、 平面对一个投影面的投影特性,2.4.2 平面对投影面的相对位置,2019/11/21,土建2004-12,29,二、 各种位置平面的投影特性,（一）、投影面的垂直面 1铅垂面 2正垂面 3侧垂面 （二）、投影面的平行面 1水平面 2正平面 3侧平面 （三）、一般位置平面,2019/11/21,土建2004-12,30,1铅垂面,投影特性 (1) abc积聚为一条线 (2) abc、 abc为ABC的类似形 (3) abc与OX、 OY的夹角反映、角的真实大小,2019/11/21,土建2004-12,31,a,b,c,a,c,b,c,b,a,类似性,类似性,积聚性,铅垂面,投影面垂直面的投影特性：,在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。,另外两个投影面上的投影有类似性。,为什么？,小结：,2019/11/21,土建2004-12,32,1水平面,投影特性： (1) abc、 abc积聚为一条线，具有积聚性 (2) 水平投影 abc反映 BC实形,Pv,Pw,2019/11/21,土建2004-12,33,三、一般位置平面,投影特性 (1) abc 、 abc 、 abc 均为 ABC的类似形 (2) 不反映、 的真实角度,2019/11/21,土建2004-12,34,1.4.3 平面上的直线和点,一、 平面上取任意直线 二、 平面上取点 三、属于特殊位置平面的点和直线,在平面上取点、直线的作图，实质上就是在平面内作辅助线的问题。利用在平面上取点、直线的作图，可以解决三类问题： 1、判别已知点、线是否属于已知平面； 2、完成已知平面上的点和直线的投影； 3、完成多边形的投影。,2019/11/21,土建2004-12,35,1取属于平面的直线,取属于定平面的直线，要经过属于该平面的已知两点；或经过属于该平面的一已知点，且平行于属于该平面的一已知直线。,2019/11/21,土建2004-12,36,2取属于平面的点,取属于平面的点，要取自属于该平面的已知直线,2019/11/21,土建2004-12,37,例题1 已知 ABC给定一平面，试判断点D是否属于该平面。,e,e,不属于平面,2019/11/21,土建2004-12,38,k,b,例题3 ：已知AC为正平线，补全平行四边形ABCD的水平投影。,解法一,解法二,2019/11/21,土建2004-12,39,做平面四边形ABCD的投影。其中AD/BC,b,C,d,a,a,b,2019/11/21,土建2004-12,40,三、属于特殊位置平面的点和直线,1取属于投影面垂直面的点和直线 2过一般位置直线总可作投影面的垂直面 迹线表示法 3.属于平面的投影面平行线,2019/11/21,土建2004-12,41,2过一般位置直线总可作投影面的垂直面,过一般位置直线AB作铅垂面PH,过一般位置直线AB作正垂面SV,2019/11/21,土建2004-12,42,过一般位置直线作投影面的垂直面 (迹线表示法),b“,a“,SV,QW,PH,2019/11/21,土建2004-12,43,3.属于平面的投影面平行线,属于平面的水平线和正平线 例题4,2019/11/21,土建2004-12,44,例题4 已知 ABC给定一平面，试过点C作属于该平面的正平线，过点A作属于该平面 的水平线。,m,n,n,m,2019/11/21,土建2004-12,45,【基本作图五】一般线与一般面相交,m,n,QV,解题步骤： 1、 过EF作正垂面Q。 2、求Q平面与ABC的交线MN。 3、求交线MN与EF的交点K。 4、可见性判别,2019/11/21,土建2004-12,46,可见性判别方法,判别可见性的原理是利用重影点。,2019/11/21,土建2004-12,47,利用重影点判别可见性,f ,e,e,f,b,a,a,c,b,c,k,k,( ),( ),2019/11/21,土建2004-12,48,贯穿点直线与立体相交，表面的交点。,作图要点： 利用棱柱棱面及底面的积聚性，求特殊位置平面与直线的交点。,注意： 穿入立体内的直线不画出。,例1：求直线与棱柱的贯穿点。,解题思路：将求贯穿点转化成求直线与平面的交点。,2019/11/21,土建2004-12,49,作图要点： 1、求过直线的截平面与棱 锥的截交线； 2、求截交线与直线的交点。 3、判别直线的可见性。,用过直线的平面截棱锥，求截交线及其与直线的交点。,1,b,例5：求直线与棱锥的贯穿点,2019/11/21,土建2004-12,50, 更换一次投影面,A点的两个投影：a， a,A点的两个投影：a，a1, 新投影体系的建立,三、点的投影变换规律,2019/11/21,土建2004-12,51,ax1,V,H,X,P1,H,X1,a,a,a1,V,H,A,a,ax,X,a1,ax1, 新旧投影之间的关系, aa1 X1, a1ax1 = aax, 点的新投影到新投影轴的距离等于被代替的投影到原投影轴的距离。,ax,a,一般规律：, 点的新投影和与它有关的原投影的连线，必垂直于新投影轴。,.,2019/11/21,土建2004-12,52,更换H面, 求新投影的作图方法,V,H,X,a,a,ax,ax1,ax1,更换V面,作图规律:由点的不变投影向新投影轴作垂线，并在垂线上量取一段距离，使这段距离等于被代替的投影到原投影轴的距离(旧投影到旧投影轴的距离等于新投影到新投影轴的距离)。,(旧投影),(旧投影),(新投影),(新投影),(旧投影轴),(旧投影轴),(新投影轴),(新投影轴),2019/11/21,土建2004-12,53,四、换面法的六个基本问题,1. 把一般位置直线变换成投影面平行线,用P1面代替V面，在P1/H投影体系中，AB/P1。,空间分析：,不行！,作图：,新投影轴的位置？,与ab平行。,2019/11/21,土建2004-12,54,2 将投影面的平行线变换为投影面的垂直线,功用:一次换面后可用于求点与直线,两直线间的距离等。,问题的关键：新轴要垂直于反映实长的那个投影。,X1,一般位置直线变换为垂直线,2019/11/21,土建2004-12,55,3. 把一般位置直线变换成投影面垂直线,空间分析：,a,b,a,b,X,V,H,作图：,二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线。,X2轴的位置？,与a1b1垂直,一次换面把直线变成投影面平行线；,2019/11/21,土建2004-12,56,a,b,c,a,c,b,X,V,H,例：把三角形ABC变换成投影面垂直面。,作 图 过 程：, 在平面内取一条水平 线AD。, 将AD变换成新投影 面的垂直线。,反映平面对哪个投影面的夹角？,57,(2) 棱柱表面上取点,a,b,b,2019/11/21,土建2004-12,58,(1) 棱锥的投影,s,B,a,s,c,s,b,C,A,S,2019/11/21,土建2004-12,59,s,(c),s,a,a,c,b,b,c,s,b,a,r,(2) 棱锥表面上取点,2019/11/21,土建2004-12,60,平面与立体相交在立体表面产生交线称为截交线，该平面称为截平面。截交线是截平面和立体表面的共有线，截交线上的点是截平面与立体表面上的共有点，它既在截平面上又在立体表面上。由于任何立体都有一定的空间范围，所以截交线一定是封闭的线条，通常是一条平面曲线或者是由曲线和直线组成的平面图形或多边形。,截平面,截交线,截交线的概念,6.4.1平面立体的截交线,2019/11/21,土建2004-12,61,平面截切体的画图, 求截交线的两种方法：, 求各棱线与截平面的交点棱线法。, 求各棱面与截平面的交线棱面法。,关键是正确地画出截交线的投影。, 求截交线的步骤：, 截平面与体的相对位置, 截平面与投影面的相对位置,确定截交线 的投影特性,确定截交 线的形状, 空间及投影分析, 画出截交线的投影,分别求出截平面与棱面的交线，并连接成多边形。,2019/11/21,土建2004-12,62,1,2,3(4),1”,3”,4”,1,2,4,3,例2 求做立体被截切后的投影,2019/11/21,土建2004-12,63,例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。,3,2,1,(4), 空间分析,交线的形状？, 投影分析, 求截交线, 分析棱线的投影, 检查 尤其注意检查截 交线投影的类似性,2019/11/21,土建2004-12,64,同坡屋面的特性,当同坡屋顶各坡面的屋檐的高度相等时，同坡屋顶就具有以下特性： （1）两坡面的屋檐线相交时，其交线为斜脊线，它的水平投影必为这两屋檐线的夹角的分角线； （2）两坡面的屋檐线平行时，其交线为平脊线，它的水平投影必为与两屋檐等距离的平行线； （3）若屋面上的两条 脊线已相交于一点，则 过该点必然并且至少还 有第三条脊线。,2019/11/21,土建2004-12,65,例 已知同坡屋面的倾角和平面形状，求屋面的三面投影。,(1)划分矩形；,(3)画平脊线；,(5)整理轮廓。,(4)判别可见性；,(2)作凸角、凹角的分角线；,第一种解法：,解题步骤,1.画水平投影,2.画正面投影,3.画侧面投影,2019/11/21,土建2004-12,66,第二种解法：,分析：第一种解法屋面出现水平天沟，不利于排水，第二种解法则没有，因此第二种解法更佳。,2019/11/21,土建2004-12,67,7.2.1 轴间角和轴向伸缩系数,按实际轴向伸缩系数绘制,按简化轴向伸缩系数绘制,边长为L的正 方形的轴测图,轴间角,特 性,投影线与轴测投影面垂直,简化轴向伸缩系数,投影线方向,轴向伸缩系数,p1=q1=r1=0.82,p=q=r=1,2019/11/21,土建2004-12,68,7.2.2 正等测轴测图的基本作图方法,(1) 在视图上建立坐标系,(2) 画出正等测轴测轴,(3) 按坐标关系画出物体的轴测图,2019/11/21,土建2004-12,69,7.2.3 平面立体正等测轴测图的画法,2019/11/21,土建2004-12,70,
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