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第 13 讲,导数的意义及运算,1了解导数概念的实际背景 2理解导数的几何意义,4能利用给出的 8 个基本初等函数的导数公式和导数的四,则运算法则求简单函数的导数,1函数导数的定义,2导数的几何意义和物理意义,(1)导数的几何意义：函数 yf(x)在点 x0 处的导数 f (x0) 的几何意义，就是曲线 yf(x)在点 P(x0，f(x0)处的切线的斜率 相应地，切线方程为 yf(x0)f (x0)(xx0),(2)导数的物理意义：在物理学中，如果物体运动的规律 是 ss(t)，那么该物体在时刻 t0 的瞬时速度为 vs(t0)如 果物体运动的速度随时间变化的规律是 vv(t)，则该物体在时 刻 t0 的瞬时加速度为 av(t0),3基本初等函数的导数公式表,0,sinx,ex,1 x,4.运算法则,u(x)v(x)u(x)_v(x)； u(x)v(x)_；,u(x)v(x)u(x)v(x),),C,1已知函数 f(x)42x2，则 f (x)( A4x C82x,2已知函数 f(x)ax2c，且 f (1)2，则 a(,),D16x,B8x,A,A,4(2014年广东)曲线y5ex3在点(0，2)处的切线方程为_.,5xy20,5(2015年广东广州)已知e为自然对数的底数，则曲线y2ex在点(1,2e)处的切线斜率为_.,2e,考点 1,导数的概念,例1：设f(x)在 x0 处可导,下列式子中与 f (x0)相等的是(,),C,D,A,B,所以正确故选 B.,答案：B,【互动探究】,A1,B2,C1,D.,1 2,A,考点2,导数的计算,例2：(1)函数 f(x)sinxa2 的导函数 f (x)_；,解析：函数f(x)sinxa2 的自变量为x，a 为常量， f (x)cosx. 答案：cosx,(3)(2013 年辽宁大连期末)已知 f(x)xlnx，若f (x0)2，,),则 x0( Ae2,BE,C.,ln2 2,Dln2,解析：f (x)1lnx，f (x0)1lnx02.lnx01. x0e.故选 B. 答案：B,【规律方法】求函数的导数时，要准确地把函数分割为基 本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数，对于不具 备求导法则的结构形式要进行适当的恒等变形.注意求函数的 导数(尤其是对含有多个字母的函数)时，一定要清楚函数的自 变量是什么，对谁求导，如f(x)x2sin的自变量为x，而f() x2sin的自变量为.,【互动探究】 2设函数f(x)在(0，)内可导，且f(ex)xex，则 f (1),_.,2,考点3,曲线的几何意义,例3：(2014 年广东)曲线 ye-5x3 在点(0，2)处的切 线方程为_ 解析：y|x05e-5x|x05，即斜率为k5，所以切 线的方程为y25x，即5xy20. 答案：5xy20,【规律方法】求曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处(该点为切点) 的切线方程，其方法如下： 求出函数yf(x)在xx0 处的导数f (x0)，即函数 yf(x) 在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率； 切点为P(x0，f(x0)，切线方程为yf(x0)f (x0)(xx0).,【互动探究】 3(2013 年广东)若曲线 yax2lnx 在点(1，a)处的切线平,行于 x 轴，则 a_.,3,易错、易混、易漏 过点求切线方程应注意该点是否为切点 例题：已知函数 f(x)ax3bx23x 在 x1 处取得极值， 若 过 点 A(0,16) 作 曲 线 y f(x) 的 切 线 ， 则 切 线 方 程 为 _,曲线方程为yx33x，点 A(0,16)不在曲线上,正解：f (x)3ax22bx3， 由题意 x1 是方程f (x)0 的根，,答案：9xy160,【失误与防范】(1)通过例题的学习，要彻底改变“切线与 曲线有且只有一个公共点”“直线与曲线只有一个公共点，则 该直线就是切线”这一传统误区，如“直线 y1 与 ysinx 相 切，却有无数个公共点”，而“直线x1 与yx2 只有一个公 共点，显然直线 x1 不是切线”,(2)求曲线 yf(x)在点P(x0，f(x0)处(该点为切点)的切线方,程，其方法如下：,求出函数yf(x)在xx0 处的导数f (x0)，即函数yf(x),在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率；,切点为P(x0，f(x0)，切线方程为yf(x0)f (x0)(xx0) (3)求曲线yf(x)外点 P(x0，f(x0)(该点不一定为切点)的切 线方程，其方法如下： 设切点 A(xA，xB)，求切线的斜率kf (xA)；,
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