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,第七节 常系数齐次线性微分方程,基本思路:,求解常系数线性齐次微分方程,求特征方程(代数方程)之根,转化,一、定义,n阶常系数线性微分方程的标准形式,二阶常系数齐次线性方程的标准形式,二阶常系数非齐次线性方程的标准形式,二阶常系数齐次线性微分方程,二、二阶常系数齐次线性方程解法,-特征方程法,将其代入上方程, 得,故有,特征方程,特点,未知函数与其各阶导数的线性组合等于0,即函数和其各阶导数只相差常数因子,猜想,有特解,由此可见 只要r满足代数方程r2prq0 函数yerx就是 微分方程的解,有两个不相等的实根,特征根为,两个线性无关的特解,得齐次方程的通解为,1. 当,2. 当,时, 特征方程有两个相等实根,则微分方程有一个特解,设另一特解,( u (x) 待定),代入方程得:,是特征方程的重根,取 u = x , 则得,因此原方程的通解为,3. 当,时, 特征方程有一对共轭复根,这时原方程有两个复数解:,利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解:,因此原方程的通解为,小结:,特征方程:,实根,以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .,若特征方程含 k 重复根,若特征方程含 k 重实根 r , 则其通解中必含对应项,则其通解中必含,对应项,特征方程:,推广:,例1.,的通解.,解: 特征方程,特征根:,因此原方程的通解为,例2. 求解初值问题,解: 特征方程,有重根,因此原方程的通解为,利用初始条件得,于是所求初值问题的解为,例3.,解:,由第七节例1 (P293) 知, 位移满足,质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,在无外力作用下做自由运动,初始,求物体的运动规律,立坐标系如图,设 t = 0 时物体的位置为,取其平衡位置为原点建,因此定解问题为,自由振动方程 ,方程:,特征方程:,特征根:,利用初始条件得:,故所求特解:,方程通解:,1) 无阻尼自由振动情况 ( n = 0 ),解的特征:,简谐振动,A: 振幅, : 初相,周期:,固有频率,(仅由系统特性确定),方程:,特征方程:,特征根:,小阻尼: n k,这时需分如下三种情况进行讨论:,2) 有阻尼自由振动情况,大阻尼: n k,临界阻尼: n = k,( n k ),小阻尼自由振动解的特征 :,由初始条件确定任意常数后变形,运动周期:,振幅:,衰减很快,随时间 t 的增大物体 趋于平衡位置.,( n k ),大阻尼解的特征:,1) 无振荡现象;,此图参数:,2) 对任何初始条件,即随时间 t 的增大物体总趋于平衡位置.,( n = k ),临界阻尼解的特征 :,任意常数由初始条件定,最多只与 t 轴交于一点;,即随时间 t 的增大物体总趋于平衡位置.,2) 无振荡现象 ;,例4.,的通解.,解: 特征方程,特征根:,因此原方程通解为,例5.,解: 特征方程:,特征根 :,原方程通解:,(不难看出, 原方程有特解,例6.,解: 特征方程:,即,其根为,方程通解 :,例7.,解: 特征方程:,特征根为,则方程通解 :,作业：P- 340习题7-7 1 (3) , (6) , (10) ; 2 (2) , (3) , (6) ; 3,
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