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热点专题突破六 概率与统计的综合问题,典例1 (2015蚌埠质检)从某兴趣小组的7名女生,8名男生中,随机一次挑选出4名去参加体育达标测试. (1)若选出的4名同学是同一性别,求全为女生的概率; (2)若设选出男生的人数为X,求X的分布列和EX. 【解题思路】(1)利用组合计数基本事件,代入古典概型的概率公式求解;(2)利用二项分布的概率公式求解概率分布,最后利用期望的定义式求解.,【变式训练】 深圳市某校中学生篮球队假期集训,集训前共有6个篮球,其中3个是新球(即没有用过的球),3个是旧球(即至少用过一次的球).每次训练,都从中任意取出2个球,用完后放回. (1)设第一次训练时取到的新球个数为,求的分布列和数学期望; (2)求第二次训练时恰好取到一个新球的概率.,典例2 (2015梅州一模)某校从参加某次知识竞赛的同学中,选取60名同学将其成绩(百分制)(均为整数)分成6组后,得到部分频率分布直方图(如图),观察图形中的信息,回答下列问题.,(1)求分数在70,80)内的频率,并补全这个频率分布直方图; (2)从频率分布直方图中,估计本次考试的平均分; (3)若从60名学生中随机抽取2人,抽到的学生成绩在40,70)记0分,在70,100记1分,用X表示抽取结束后的总记分,求X的分布列和数学期望.,【参考答案】(1)设分数在70,80)内的频率为x,根据频率分布直方图,则有(0.010+0.0152+0.025+0.005)10+x=1,可得x=0.3, 所以频率分布直方图如图所示.,【变式训练】 在2015年教师节来临之际,某学校计划为教师颁发一定的奖励,该学校计划采用说课评价与讲课评价相结合的方式来决定教师获得奖励的等级.已知说课评价和讲课评价的成绩都分为1分,2分,3分,4分,5分,共5个等级.所有教师说课评价与讲课评价成绩的频率分布情况如下图所示(参加评价的每个教师两种评价都参加了),其中讲课评价成绩为5分的有12人.,(1)求该学校参加评价活动的教师总人数; (2)若在说课评价为2分的教师中,讲课评价也为2分的有4人,其余讲课评价均为3分.若从说课评价为2分的教师中选取2人进行座谈,求这2人说课评价与讲课评价总分的分布列及数学期望.,典例3 (2015陕西高考)设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T,T只与道路畅通状况有关,对其容量为100的样本进行统计,结果如下:,(1)求T的分布列与数学期望ET; (2)刘教授驾车从老校区出发,前往新校区做一个50分钟 的讲座,结束后立即返回老校区,求刘教授从离开老校区 到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率.,【解题思路】利用频数、频率、概率之间的关系求解,再利用互斥事件的概率计算. 【参考答案】(1)由统计结果可得T的频率分布为,以频率估计概率得T的分布列为,从而ET=250.2+300.3+350.4+400.1=32(分钟).,典例4 (2015西北师大附中诊断)某中学将100名高一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”,每班50人,吴老师采用A,B两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班进行教学实验.为了解教学效果,期末考试后,分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计,作出的茎叶图如下:记成绩不低于90分者为“成绩优秀”. (1)在乙班样本的20个个体中,从不低于80分的成绩中随机抽取2个,记 随机变量为抽到“成绩优秀”的个数,求的分布列及数学期望E; (2)由以上统计数据填写下面22列联表,通过计算并查下表判断有多 大把握认为“成绩优秀”与教学方式有关? 独立性检验临界表:,
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