资源描述
第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布,第4节 随机事件的概率,1了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义及频率与概率的区别 2了解两个互斥事件的概率加法公式.,要点梳理 1事件的相关概念 (1)必然事件：在一定条件下，_发生的事件 (2)不可能事件：在一定条件下，_发生的事件 (3)随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件,一定会,一定不会,频数,(2)概率 对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率，简称为A的概率 质疑探究1：概率与频率有什么关系？ 提示：频率随着试验次数的变化而变化，概率却是一个常数，它是频率的科学抽象当试验次数越来越多时，频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就近似地当作随机事件的概率,3事件的关系与运算,BA,不可能,不可能,质疑探究2：互斥事件和对立事件有什么区别和联系？ 提示：互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的在一次试验中，两个互斥的事件有可能都不发生，也可能有一个发生；而两个对立的事件则必有一个发生，但不可能同时发生所以，两个事件互斥，它们未必对立；反之，两个事件对立，它们一定互斥也就是说，两事件对立是两事件互斥的一种特殊情况,4概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围：_. (2)必然事件的概率P(E)1. (3)不可能事件的概率P(F)0. (4)互斥事件概率的加法公式 如果事件A与事件B互斥，则P(AB)_ 若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)1P(B),0P(A)1,P(A)P(B),基础自测 1在下列事件中，随机事件是( ) A物体在只受重力作用下会自由下落 B若x是实数，则|x|0 C若ab，则ab0 D函数yax(a0，且a1)是R上的增函数,解析 选项A中的事件为必然事件；选项B中的事件为不可能事件；选项C中的事件为不可能事件；选项D中的事件当a1时，发生；0a1时，不发生，为随机事件 答案 D,2从装有红球和绿球的口袋内任取2球(已知口袋中的红球、绿球数都大于2)，那么互斥而不对立的两个事件是( ) A至少有一个是红球，至少有一个是绿球 B恰有一个红球，恰有两个绿球 C至少有一个红球，都是红球 D至少有一个红球，都是绿球 解析 选项A、C中两事件可以同时发生，故不是互斥事件；选项B中两事件不可能同时发生，因此是互斥的，但两事件不对立；选项D中的两事件是对立事件 答案 B,答案 A,4若A、B为互斥事件，P(A)0.4，P(AB)0.7，则P(B)_. 解析 因为A、B为互斥事件，所以P(AB)P(A)P(B)，故P(B)P(AB)P(A)0.70.40.3. 答案 0.3,5一个袋子中有红球5个，黑球4个，现从中任取5个球，则至少有1个红球的概率为_ 解析 “从中任取5个球，至少有1个红球”是必然事件，必然事件发生的概率为1. 答案 1,典例透析 考向一 随机事件的频率与概率 例1 某企业生产的乒乓球被奥运会指定为乒乓球比赛专用球，有关部门对某批产品进行了抽样检测，检查结果如表所示：,(1)计算表中乒乓球优等品的频率； (2)从这批乒乓球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率是多少？(结果保留到小数点后三位) 思路点拨 可以利用公式计算频率，在试验次数很大时，用频率来估计概率 解 (1)表中乒乓球优等品的频率依次为0.900,0.920,0.970,0.940,0.954,0.951. (2)把这批乒乓球的数量看成很大的数，则这批乒乓球的优等品的频率就可看成是任取一个乒乓球为优等品的概率，约为0.950.,拓展提高 (1)概率与频率的关系 频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值 (2)随机事件概率的求法 利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率,活学活用1 如图所示，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：,(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率； (2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率； (3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽量大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径 解 (1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有121216444人，故用频率估计相应的概率为0.44.,(2)选择L1的有60人，选择L2的有40人， 故由调查结果得频率为：,(3)设A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站由(2)知P(A1)0.10.20.30.6，,P(A2)0.10.40.5，P(A1)P(A2)，甲应选择L1， P(B1)0.10.20.30.20.8， P(B2)0.10.40.40.9，P(B2)P(B1)， 乙应选择L2.,考向二 互斥事件与对立事件的判断 例2 从6件正品与3件次品中任取3件，观察正品件数与次品件数，判断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件 (1)“恰好有1件次品”和“恰好有2件次品”； (2)“至少有1件次品”和“全是次品”； (3)“至少有2件次品”和“至多有1件次品” 思路点拨 判断事件之间的关系可以紧扣事件的分类，结合互斥事件，对立事件的定义进行分析,解 从6件正品与3件次品中任取3件，共有4种情况：3件全是正品，2件正品1件次品；1件正品2件次品；全是次品 (1)“恰好有1件次品”即“2件正品1件次品”；“恰好有2件次品”即“1件正品2件次品”，它们是互斥事件但不是对立事件 (2)“至少有1件次品”包括“2件正品1件次品”“1件正品2件次品”“全是次品”3种情况，它与“全是次品”既不是互斥事件也不是对立事件,(3)“至少有2件次品”包括“1件正品2件次品”“全是次品”2种情况；“至多有1件次品”包括“2件正品1件次品”“全是正品”2种情况，它们既是互斥事件也是对立事件 拓展提高 判断是否为互斥事件的关键是看两个事件能否同时发生；两个事件为对立事件的前提是两事件互斥，且必有一个事件发生具体应用时，可把试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从而判断所给两事件之间的关系,活学活用2 袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则恰有1个白球和全是白球；至少有1个白球和全是黑球；至少有1个白球和至少有2个白球；至少有1个白球和至少有1个黑球在上述事件中，是对立事件的为( ) A B C D,解析 结合互斥事件与对立事件的定义进行判断从3个白球，4个黑球的袋中任取3个球共有全是白球、2白1黑、1白2黑、全黑四种情况中恰有1个白球，即1白2黑与3球全是白球互斥而不对立；中至少有1个白球，即1白2黑、2白1黑、3白与3球全是黑球是对立事件；至少有1个白球，即1白2黑、2白1黑、3白与至少有2个白球，即2白1黑、3白既不互斥又不对立；中至少有1个白球，即1白2黑、2白1黑、3白与至少有1个黑球，即1黑2白、2黑1白、3黑也既不互斥又不对立 答案 B,考向三 互斥事件与对立事件的概率 例3 (2015青岛市模拟)2014年某省实施通过竞选选拔高校校长，省委组织部拟选拔4位校长，相关单位通过组织提名、领导干部个人提名、群众联合提名、自荐提名四种方式，确定初步人选为4位男竞选者和2位女竞选者，每位竞选者当选校长的机会是相同的 (1)求选拔的4位校长中恰有1位女竞选者的概率； (2)求选拔的4位校长中至少有3位男竞选者的概率 思路点拨 从6位竞选者选4位，总结果一一列举找出符合题意的情况，至少3个男的包括4男和3男1女两类是互斥事件,解 (1)将4位男竞选者和2位女竞选者分别编号为1,2,3,4,5,6(其中1,2,3,4是男竞选者，5,6是女竞选者)，从6位竞选者中选拔4位的情况有(1,2,3,4)，(1,2,3,5)，(1,2,3,6)，(1,2,4,5)，(1,2,4,6)，(1,2,5,6)，(1,3,4,5)，(1,3,4,6)，(1,3,5,6)，(1,4,5,6)，(2,3,4,5)，(2,3,4,6)，(2,3,5,6)，(2,4,5,6)，(3,4,5,6)，共15种 选拔的4位校长中恰有1位女竞选者的情况有(1,2,3,5)，(1,2,4,5)，(1,3,4,5)，(1,2,3,6)，(1,2,4,6)，(1,3,4,6)，(2,3,4,5)，(2,3,4,6)，共8种,拓展提高 求概率的关键是分清所求事件是由哪些事件组成的，求解时通常有两种方法： (1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件，利用概率加法公式求解概率； (2)若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”,活学活用3 某医院一天派出医生下乡医疗，派出医生人数及其概率如下：,(1)若派出医生不超过2人的概率为0.56，求x的值； (2)若派出医生最多4人的概率为0.96，最少3人的概率为0.44，求y、z的值,解 (1)由派出医生不超过2人的概率为0.56， 得0.10.16x0.56，x0.3. (2)由派出医生最多4人的概率为0.96，得 096z1， z0.04. 由派出医生最少3人的概率为0.44，得 y0.20.040.44， y0.440.20.040.2.,易错分析：没有分析透整个事件的分类应有三种：甲胜、和棋、乙胜，彼此互斥，乙获胜的对立事件是“乙不胜”，但不等于“乙输”，错选为C的较多 防范措施 对立事件和互斥事件都不可能同时发生，但对立事件必有一个要发生，而互斥事件可能都不发生所以两个事件对立，则两个事件必是互斥事件；反之，两事件是互斥事件，但未必是对立事件,思维升华 【方法与技巧】,1对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A) 2从集合角度理解互斥和对立事件 从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集,【失误与防范】,1正确认识互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件 2需准确理解题意，特别留心“至多”，“至少”，“不少于”等语句的含义,
展开阅读全文