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第十一章 复数、算法、推理与证明,第4节 直接证明与间接证明,1了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点 2了解反证法的思考过程和特点,要点梳理 1直接证明,已知条件,待证结论,原因,结果,待证结论,充分条件,结果,产生这一,结果的原因,已知,可知,未知,必要条件,未知,需知,已知,充分条件,质疑探究：综合法和分析法有什么区别与联系？ 提示：(1)分析法的特点是：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是寻求它成立的充分条件(2)综合法的特点是：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，实际上是寻找它成立的必要条件(3)分析法易于探索解题思路，综合法易于过程表述，在应用中视具体情况择优选之,2间接证明,Q不成立,解析 因为a2b21a2b20(a21)(b21)0. 答案 D,3(2014山东高考)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2axb0至少有一个实根”时，要做的假设是( ) A方程x2axb0没有实根 B方程x2axb0至多有一个实根 C方程x2axb0至多有两个实根 D方程x2axb0恰好有两个实根 解析 “方程x2axb0至少有一个实根”等价于“方程x2axb0有一个实根或两个实根”，所以该命题的否定是“方程x2axb0没有实根” 答案 A,答案 3,答案 b,思路点拨 (1)取特殊值代入计算即可证明； (2)对照新定义中的3个条件，逐一代入验证，只有满足所有条件，才能得出“是理想函数”的结论，否则得出“不是理想函数”的结论,拓展提高 用综合法证题是从已知条件出发，逐步推向结论，综合法的适用范围： (1)定义明确的问题，如证明函数的单调性、奇偶性，求证无条件的等式或不等式 (2)已知条件明确，并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型在使用综合法证明时，易出现的错误是因果关系不明确，逻辑表达混乱,思路点拨 本题若使用综合法，不易寻求证题思路可考虑使用分析法 证明 m0，1m0. 所以要证原不等式成立， 只需证(amb)2(1m)(a2mb2)， 即证m(a22abb2)0， 即证(ab)20， 而(ab)20显然成立，故原不等式得证,拓展提高 分析法的特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”或本身已经成立的定理、性质或已经证明成立的结论等，运用分析法必须考虑条件的必要性是否成立通常采用“欲证只需证已知”的格式，在表达中要注意叙述形式的规范性,拓展提高 当一个命题的结论是以“至多”，“至少”、“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证，反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是：与已知条件矛盾；与假设矛盾；与定义、公理、定理矛盾；与事实矛盾等方面，反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具，是数学证明中的一件有力武器,规范答题11 反证法证明题的规范答题 典例 (2013陕西高考)(本小题满分12分)设an是公比为q的等比数列 (1)推导an的前n项和公式； (2)设q1，证明：数列an1 不是等比数列 审题视角 (1)利用等比数列的概念及通项公式推导前n项和公式；(2)利用反证法证明要证的结论 满分展示,提醒：(1)推导Sn时，不可漏掉q1. (2)假设an1是等比数列时，不可用a11，a21与a31建立关系来说明矛盾 【答题模板】 第1步：当q1时，求Sn. 第2步：当q1时，构造qSn. 第3步：错位相减 第4步：假设结论、构造等式 第5步：转化为关于q的方程，得出矛盾 第6步：得出正确结论,思维升华 【方法与技巧】,1分析法的特点：从未知看需知，逐步靠拢已知 2综合法的特点：从已知看可知，逐步推出未知 3分析法和综合法各有优缺点分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来,【失误与防范】,1用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)”“即要证”“就要证”等分析到一个明显成立的结论 2利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的,
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