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第四节 直接证明与间接证明,总纲目录,教材研读,1.直接证明,考点突破,2.间接证明,考点二 分析法的应用,考点一 综合法的应用,考点三 反证法的应用,1.直接证明,教材研读,2.间接证明 间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法,反证法是一种常用的间 接证明方法. (1)反证法的定义:假设原命题 不成立 (即在原命题的条件下,结论 不成立),经过正确的推理,最后得出 矛盾 ,因此说明假设错误,从 而证明 原命题成立 的证明方法. (2)用反证法证明的一般步骤:(i)反设假设命题的结论不成立;(ii)归 谬根据假设进行推理,直到推出矛盾为止;(iii)结论断言假设不 成立,从而肯定原命题的结论成立.,1.命题“对任意角,cos4-sin4=cos 2”的证明:“cos4-sin4=(cos2- sin2)(cos2+sin2)=cos2-sin2=cos 2”过程应用了 ( ) A.分析法 B.综合法 C.综合法、分析法综合使用 D.间接证明法,答案 B 因为证明过程是“从左往右”,即由条件结论,故选B.,B,2.用分析法证明时出现:欲使AB,只需CD,这里是的 ( ) A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,答案 B 由题意可知,应用,故是的必要条件.,B,3.用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大于60度”,假设 正确的是 ( ) A.假设三个内角都不大于60度 B.假设三个内角都大于60度 C.假设三个内角至多有一个大于60度 D.假设三个内角至多有两个大于60度,答案 B 根据反证法的定义,假设是对原命题结论的否定,故假设三个 内角都大于60度.故选B.,B,4.下列条件:ab0,ab0,b0,a0,b0,其中能使 + 2成 立的条件的个数是 .,3,5.已知点An(n,an)为函数y= 图象上的点,Bn(n,bn)为函数y=x图象上的 点,其中nN*,设cn=an-bn,则cn与cn+1的大小关系为 .,cncn+1,考点突破,解析 (1)f(x)的定义域为(0,+), 当=0时, f(x)=ln x-x+1. 则f (x)= -1,令f (x)=0,解得x=1. 当00,f(x)在(0,1)上是增函数; 当x1时, f (x)0,且x1).,当00. 当x1时, f(x)=ln x+(xln x-x+1)=ln x-x 0, 0. 综上可知, 0.,方法技巧 用综合法证题是从已知条件出发,逐步推向结论,综合法的适用范围:(1) 定义明确的问题,如判定函数的单调性、奇偶性;(2)已知条件明确,并且 容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型,在使用综合法证明时, 易出现的错误是因果关系不明确,逻辑表达混乱.,1-1 设f(x)=ax2+bx+c(a0),若函数f(x+1)与f(x)的图象关于y轴对称,求 证:f 为偶函数. 证明 由函数f(x+1)与f(x)的图象关于y轴对称,可知f(x+1)=f(-x).将x换成 x- 代入上式可得f =f ,即f =f ,由偶函数 的定义可知f 为偶函数.,典例2 已知函数f(x)=3x-2x,求证:对于任意的x1,x2R,均有 f . 证明 要证明 f , 即证明 -2 , 因此只要证明 -(x1+x2) -(x1+x2), 即证明 ,因此只要证明 , 由于x1,x2R,所以 0, 0, 由基本不等式知 成立,故原结论成立.,考点二 分析法的应用,方法技巧 (1)分析法采用逆向思维,当已知条件与结论之间的联系不够明显、直 接,或证明过程中所需要用的知识不太明确、具体时,往往采用分析法, 特别是含有根号、绝对值的等式或不等式,从正面不易推导时,常考虑 用分析法.(2)应用分析法的关键在于需保证分析过程的每一步都是可 逆的,它的常用书面表达形式为“要证只需要证”或“ ”.注意用分析法证明时,一定要严格按照格式书写.,2-1 已知m0,a,bR,求证: . 证明 m0,1+m0, 要证原不等式成立, 只需证明(a+mb)2(1+m)(a2+mb2),即证m(a2-2ab+b2)0,即证(a-b)20, 而(a-b)20显然成立, 故原不等式得证.,典例3 设an是公比为q的等比数列. (1)推导an的前n项和公式; (2)设q1,求证:数列an+1不是等比数列.,考点三 反证法的应用,q0,q2-2q+1=0, q=1,这与已知矛盾. 假设不成立,故an+1不是等比数列.,易错警示 用反证法证明不等式要把握三点:(1)必须先否定结论,即肯定结论的反 面;(2)必须从结论的反面出发进行推理,即应把结论的反面作为条件,且 必须依据这一条件进行推证;(3)推导出的矛盾可能多种多样,有的与已 知条件矛盾,有的与假设矛盾,有的与基本事实矛盾等,且推导出的矛盾 必须是明显的.,3-1 已知数列an的前n项和为Sn,且满足an+Sn=2. (1)求数列an的通项公式; (2)求证:数列an中不存在三项按原来顺序成等差数列.,解析 (1)n=1时,a1+S1=2a1=2,则a1=1. 又an+Sn=2, 所以an+1+Sn+1=2, 两式相减得an+1= an, 所以an是首项为1,公比为 的等比数列, 所以an= . (2)证明:假设数列an中存在三项按原来顺序成等差数列,记为ap+1,aq+1,ar +1(pqr,且p,q,rN*), 则2 = + , 所以22r-q=2r-p+1. (*),又因为pqr,p,q,rN*, 所以r-q,r-pN*, 所以(*)式左边是偶数,右边是奇数,等式不成立. 所以假设不成立,原命题得证.,
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