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第一章 集合与常用逻辑用语,1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,思想方法 感悟提高,练出高分,高频小考点,基础知识 自主学习,1.命题pq，pq，p的真假判断,真,假,真,真,知识梳理,1,答案,2.全称量词和存在量词,答案,3.全称命题和存在性命题,xM，p(x),xM，p(x),答案,4.含有一个量词的命题的否定,xM，p(x),xM，p(x),答案,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)命题pq为假命题，则命题p、q都是假命题.( ) (2)命题p和p不可能都是真命题.( ) (3)若命题p、q至少有一个是真命题，则pq是真命题.( ) (4)全称命题一定含有全称量词，存在性命题一定含有存在量词.( ) (5)写存在性命题的否定时，存在量词变为全称量词.( ) (6)x0M，p(x0)与xM，p(x)的真假性相反.( ),答案,思考辨析,1.设命题p：函数ysin 2x的最小正周期为 ；命题q：函数ycos x的图象关于直线x 对称，则下列判断正确的是_. p为真； q为假； pq为假； pq为真.,故pq为假.正确.,考点自测,2,解析答案,1,2,3,4,5,2.已知命题p：对任意xR，总有|x|0；q：x1是方程x20的根.则下列命题为真命题的是_.(填序号) p(q); (p)q； (p)(q); pq. 解析 由题意知，命题p为真命题，命题q为假命题， 故q为真命题， 所以p(q)为真命题.,解析答案,1,2,3,4,5,3.(2015浙江改编)命题“nN*，f(n)N*且f(n)n”的否定形式是_. 解析 写全称命题的否定时， 要把量词改为，并且否定结论， 注意把“且”改为“或”.,n0N*，f(n0)N*或f(n0)n0,解析答案,1,2,3,4,5,依题意，mymax，即m1. m的最小值为1.,1,解析答案,1,2,3,4,5,答案,1,2,3,4,5,返回,题型分类 深度剖析,题型一 含有逻辑联结词的命题的真假判断,解析答案,解析 对于命题p1：令f(x)yln(1x)(1 x)， 由(1x)(1x)0得1x1， 函数f(x)的定义域为(1,1)，关于原点对称， f(x)ln(1 x)(1 x)f(x)， f(x)为偶函数，命题p1为真命题；,易知g(x)的定义域为(1,1)，关于原点对称，,g(x)为奇函数，命题p2为真命题， 故p1(p2)为假命题.,答案 ,(2)已知命题p：若xy，则xy，则x2y2.在命题pq；pq；p(q)；(p)q中，真命题是_. 解析 当xy时，xy时，x2y2不一定成立， 故命题q为假命题，从而q为真命题. 由真值表知：pq为假命题；pq为真命题；p(q)为真命题；(p)q为假命题.,解析答案,思维升华,思维升华,“pq”“pq”“p”等形式命题真假的判断步骤： (1)确定命题的构成形式； (2)判断其中命题p、q的真假； (3)确定“pq”“pq”“p”等形式命题的真假.,(1)已知命题p：对任意xR，总有2x0；q：“x1”是“x2”的充分不必要条件，则下列命题pq；(p)(q)；(p)q； p(q)中，为真命题的是_. 解析 p为真命题，q为假命题， 故p为假命题，q为真命题. 从而pq为假，(p)(q)为假，(p)q为假，p(q)为真，正确.,跟踪训练1,解析答案,解析 依题意可知命题p和q都是假命题， 所以“pq”为假，“pq”为假，“ p”为真，“q”为真.,p、q,(2)若命题p：关于x的不等式axb0的解集是x|x ，命题q：关于x的不等式(xa)(xb)0的解集是x|axb，则在命题“pq”“pq”“p” “q”中，是真命题的有_.,解析答案,题型二 含有一个量词的命题,命题点1 全称命题、存在性命题的真假,解析 xR，x20，故正确； xR，1sin x1，故错； xR,2x0，故错，故正确.,解析答案,(2)下列四个命题 p1：x0(0，)， p2：x0(0,1)， p3：x(0，)，,其中真命题是_.,解析答案,故命题p1是假命题；,解析答案,故p2，p4为真命题 答案 p2，p4,命题点2 含一个量词的命题的否定,例3 (1)命题“存在实数x，使x1”的否定是_. 解析 利用存在性命题的否定是全称命题求解， “存在实数x，使x1”的否定是“对任意实数x，都有x1”.,对任意实数x，都有x1,解析答案,(2)设xZ，集合A是奇数集，集合B是偶数集.若命题p：xA,2xB，则p为_. 解析 命题p：xA,2xB是一个全称命题， 其命题的否定应为存在性命题. p：xA,2xB.,xA,2xB,解析答案,思维升华,思维升华,(1)判定全称命题“xM，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少找到一个xx0，使p(x0)成立. (2)对全称命题、存在性命题进行否定的方法 找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词. 对原命题的结论进行否定.,q：至少存在一个正方形不是矩形，假命题.,r：xR，x22x20，真命题. s：xR，x310，假命题.,(1)写出下列命题的否定，并判断其真假：,跟踪训练2,解析答案,(2)(2015课标全国改编)设命题p：nN，n22n，则p为_. 解析 将命题p的量词“”改为“”，“n22n”改为“n22n”.,nN，n22n,解析答案,题型三 由命题的真假求参数的取值范围,例4 已知p：xR，mx210，q：xR，x2mx10，若pq为假命题，则实数m的取值范围为_. 解析 依题意知p，q均为假命题， 当p是假命题时，mx210恒成立，则有m0； 当q是真命题时，则有m240，2m2. 因此由p，q均为假命题得,m2,解析答案,1.本例条件不变，若pq为真，则实数m的取值范围为_. 解析 依题意，当p是真命题时，有m0； 当q是真命题时，有2m2，,(2,0),解析答案,引申探究,2.本例条件不变，若pq为假，pq为真，则实数m的取值范围为_. 解析 若pq为假，pq为真，则p、q一真一假.,(，20,2),m2；,0m2. m的取值范围是(，20,2).,解析答案,3.本例中的条件q变为q：xR，x2mx10， m2或m2.,0,2,m的取值范围是0,2.,解析答案,思维升华,思维升华,根据命题真假求参数的方法步骤 (1)先根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)； (2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围； (3)最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围.,(1)已知命题p：“x1,2，x2a0”，命题q：“xR，使x22ax2a0”，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是_. 解析 “p且q”为真命题， p、q均为真命题， p：a1，q：a2或a1， a2或a1.,a|a2或a1,跟踪训练3,解析答案,即(a1)(a3)0，解得1a3.,(1,3),返回,解析答案,高频小考点,一、命题的真假判断,典例 已知命题p：xR，x212x；命题q：若mx2mx10恒成立，则4m0，那么下列说法判断正确的是_. “p”是假命题； q是假命题； “p或q”为假命题； “p且q”为真命题.,高频小考点,1.常用逻辑用语及其应用,解析答案,温馨提醒,解析 由于x22x1(x1)20， 即x212x，所以p为假命题； 对于命题q，当m0时，有10，恒成立， 所以命题q为假命题. 综上可知：p为真命题，p且q为假命题，p或q为假命题. 答案 ,温馨提醒,温馨提醒,判断与一元二次不等式有关命题的真假，首先要分清是要求解一元二次不等式，还是要求一元二次不等式恒成立(有解、无解)，然后再利用逻辑用语进行判断.,二、求参数的取值范围,典例 已知命题p：“x0,1，aex”；命题q：“xR，使得x24xa0”.若命题“pq”是真命题，则实数a的取值范围是_. 解析 若命题“pq”是真命题， 那么命题p，q都是真命题. 由x0,1，aex，得ae； 由xR，使x24xa0，知164a0，a4， 因此ea4.,e,4,解析答案,温馨提醒,温馨提醒,含逻辑联结词的命题的真假要转化为简单命题的真假，解题时要首先考虑简单命题为真时参数的范围.,三、利用逻辑推理解决实际问题,典例 (1)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市； 乙说：我没去过C城市； 丙说：我们三人去过同一城市. 由此可判断乙去过的城市为_. 解析 由题意可推断：甲没去过B城市，但比乙去的城市多， 而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过A，C城市， 而乙“没去过C城市”，说明乙去过城市A， 由此可知，乙去过的城市为A.,A,解析答案,(2)对于中国足球参与的某次大型赛事，有三名观众对结果作如下猜测： 甲：中国非第一名，也非第二名； 乙：中国非第一名，而是第三名； 丙：中国非第三名，而是第一名. 竞赛结束后发现，一人全猜对，一人猜对一半，一人全猜错，则中国足球队得了第_名. 解析 由上可知：甲、乙、丙均为“p且q”形式， 所以猜对一半者也说了错误“命题”， 即只有一个为真， 所以可知丙是真命题，因此中国足球队得了第一名.,一,返回,解析答案,温馨提醒,温馨提醒,返回,在一些逻辑问题中，当字面上并未出现 “或”“且”“非”字样时，应从语句的陈述中搞清含义，并根据题目进行逻辑分析，找出各个命题之间的内在联系，从而解决问题.,思想方法 感悟提高,1.把握含逻辑联结词的命题的形式，特别是字面上未出现“或”、“且”时，要结合语句的含义理解. 2.要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是存在性命题，再对照否定结构去写，并注意与否命题区别；否定的规律是“改量词，否结论”.,方法与技巧,1.pq为真命题，只需p、q有一个为真即可；pq为真命题，必须p、q同时为真. 2.两种形式命题的否定 p或q的否定：非p且非q；p且q的否定：非p或非q. 3.命题的否定与否命题 “否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论.,失误与防范,返回,练出高分,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,1.已知命题p：所有有理数都是实数；命题q：正数的对数都是负数，则下列命题(p)q；pq；(p)(q)；(p)(q)中，为真命题的是_. 解析 不难判断命题p为真命题，命题q为假命题， 从而上述叙述中只有(p)(q)为真命题.,15,16,17,18,解析答案,2.已知命题p，q，“p为真”是“pq为假”的_条件. 解析 由“p为真”可得p为假，故pq为假； 反之不成立.,充分不必要,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解析答案,解析 由已知得命题p是假命题，命题q是真命题， 因此正确.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解析答案,中，当xR时，tan xR，,答案 ,解析 中，xR， x1R，由指数函数性质得2x10； 中，xN*， 当x1时，(x1)20与(x1)20矛盾；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,5.已知命题p：若a1，则axlogax恒成立；命题q：在等差数列an中，mnpq是anamapaq的充分不必要条件(m，n，p，qN*).则下面为真命题的是_(填序号). (p)(q); (p)(q)； p(q); pq.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解析答案,解析 当a1.1，x2时， ax1.121.21，logaxlog1.12log1.11.212， 此时，axlogax，故p为假命题. 命题q，由等差数列的性质， 当mnpq时，anamapaq成立， 当公差d0时，由amanapaq不能推出mnpq成立， 故q是真命题. 故p是真命题，q是假命题， 所以pq为假命题，p(q)为假命题，(p)(q)为假命题，(p)(q)为真命题. 答案 ,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,6.命题p：xR，sin x1；命题q：xR，cos x1，则下面为真命题的是_. (填序号) pq; (p)q； p(q); (p)(q). 解析 p是假命题，q是真命题， 所以正确.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解析答案,解析 “”的否定为“”，“”的否定为“”.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解析答案,8.已知命题p：mR，m10，命题q：xR，x2mx10.若“pq”为假命题，则实数m的取值范围是_. 解析 若“pq”为假命题，则p，q中至少有一个是假命题， 若命题p为真命题，则m1， 若q为真命题，则m241.,(，2(1，),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解析答案,答案 9，),p：Ax|x10或x0)，得1mx1m (m0)， q：Bx|x1m或x0. p是q的必要而不充分条件，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,所以(a1)240， 即a22a30， 解得a3.,(，1)(3，),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解析答案,所以x的取值范围是x3或1x2或x3.,(，3)(1,23，),得20，解得x1或x3，,解析 因为“(q)p”为真，即q假p真，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解析答案,12.下列结论： 若命题p：xR，tan x1；命题q：xR，x2x10.则命题“p(q)”是假命题； 已知直线l1：ax3y10，l2：xby10，则l1l2的充要条件是 3； 命题“若x23x20，则x1”的逆否命题：“若x1，则x23x20”.其中正确结论的序号为_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解析答案,解析 中命题p为真命题，命题q为真命题， 所以p(q)为假命题，故正确； 当ba0时，有l1l2，故不正确； 正确，所以正确结论的序号为. 答案 ,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,13.若命题p：xR，ax24xa2x21是假命题，则实数a的取值范围是_. 解析 若命题p：xR，ax24xa2x21是假命题， 则p：xR，ax24xa2x21是真命题， 即(2a)x24xa10恒成立， 当a2时不成立，舍去，,a2,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解析答案,14.四个命题：xR，x23x20恒成立；xQ，x22；xR，x210；xR,4x22x13x2.其中真命题的个数为_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解析答案,解析 x23x20，(3)2420， 当x2或x0才成立，为假命题.,不存在xQ，使得x22， 为假命题. 对xR，x210， 为假命题.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解析答案,4x2(2x13x2)x22x1(x1)20， 即当x1时，4x22x13x2成立， 为假命题. 均为假命题. 答案 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,15.下列结论正确的是_. 若p：xR，x2x10，则p：xR，x2x10； 若pq为真命题，则pq也为真命题； “函数f(x)为奇函数”是“f(0)0”的充分不必要条件； 命题“若x23x20，则x1”的否命题为真命题. 解析 x2x10的否定是x2x10， 错；若pq为真命题，则p、q中至少有一个为真， 错；f(x)为奇函数，但f(0)不一定有意义， 错；命题“若x23x20则x1”的否命题为“若x23x20，则x1”，是真命题，对.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解析答案,16.已知命题p：“xR，mR,4x2x1m0”，若命题p是假命题，则实数m的取值范围是_. 解析 若p是假命题，则p是真命题， 即关于x的方程4x22xm0有实数解， 由于m(4x22x)(2x1)211， m1.,(，1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解析答案,17.设p：方程x22mx10有两个不相等的正根；q：方程x22(m2)x3m100无实根.则使pq为真，pq为假的实数m的取值范围是_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解析答案,解析 设方程x22mx10的两根分别为x1，x2，,所以命题p为真时，m1. 由方程x22(m2)x3m100无实根，,可知24(m2)24(3m10)0，得2m3， 所以命题q为真时，2m3. 由pq为真，pq为假，可知命题p，q一真一假，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解析答案,此时m2；,所以所求实数m的取值范围是m2或1m3. 答案 (，21,3),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,已知命题p：对任意的xR，都有sin x1，则p：存在x0R，使得sin x01； 在ABC中，若3sin A4cos B6,4sin B3cos A1，则角C等于30或150. 其中的真命题是_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解析答案,返回,对于，根据全称命题的否定，很明显是对的； 对于，由3sin A4cos B6,4sin B3cos A1，两式平方后相加得,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解析答案,而3sin A4cos B643sin A，,答案 ,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,返回,
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