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第一章 集合与常用逻辑用语,1.1 集合的概念与运算,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,易错警示系列,思想方法 感悟提高,练出高分,基础知识 自主学习,1.集合与元素 (1)集合中元素的三个特征： 、 、 . (2)元素与集合的关系是 或 两种，用符号 或 表示. (3)集合的表示法： 、 、 . (4)常见数集的记法,确定性,互异性,无序性,属于,不属于,列举法,描述法,图示法,N,N*(或N),Z,Q,R,知识梳理,1,答案,2.集合间的基本关系,AB (或BA),A B (或BA),AB,答案,3.集合的运算,x|xA,或xB,x|xA,且xB,x|xU，,且xA,答案,4.集合关系与运算的常用结论 (1)若有限集A中有n个元素，则A的子集个数为 个，非空子集个数为 个，真子集有 个. (2)ABAB AB .,2n,2n1,2n1,A,B,答案,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)x|yx21y|yx21(x，y)|yx21.( ) (2)若x2,10,1，则x0,1.( ) (3)x|x1t|t1.( ) (4)对于任意两个集合A，B，关系(AB)(AB)恒成立.( ) (5)若ABAC，则BC.( ) (6)含有n个元素的集合有2n个真子集.( ),答案,思考辨析,1.(2015四川)设集合Ax|1x2，集合Bx|1x3，则AB_. 解析 借助数轴知ABx|1x3.,(1,3),考点自测,2,解析答案,2.已知Ax|x23x20，Bx|1xa，若AB，则实数a的取值范围是_. 解析 因为Ax|x23x20x|1x2B， 所以a2.,a2,解析答案,3.(2015陕西改编)设集合Mx|x2x，Nx|lg x0，则MN_. 解析 由题意得M0,1，N(0,1，故MN0,1.,0,1,解析答案,4.(教材改编)已知集合Ax|3x7，Bx|2x10，则R(AB)_. 解析 ABx|2x10， R(AB)x|x2或x10.,x|x2或x10,解析答案,5.已知集合A(x，y)| x，yR，且x2y21，B(x，y)|x，yR，且yx，则AB的元素的个数为_. 解析 集合A表示圆心在原点的单位圆， 集合B表示直线yx， 易知直线yx和圆x2y21相交，且有2个交点， 故AB中有2个元素.,2,解析答案,返回,题型分类 深度剖析,例1 (1)已知集合A0,1,2，则集合Bxy|xA，yA中元素的个数是_.,题型一 集合的含义,解析答案,解析 当x0，y0时，xy0； 当x0，y1时，xy1； 当x0，y2时，xy2； 当x1，y0时，xy1； 当x1，y1时，xy0； 当x1，y2时，xy1； 当x2，y0时，xy2； 当x2，y1时， xy1； 当x2，y2时，xy0. 根据集合中元素的互异性知，B中元素有0，1，2,1,2，共5个. 答案 5,(2)已知集合Am2,2m2m，若3A，则m的值为_. 解析 由题意得m23或2m2m3，,当m1时， m23且2m2m3， 根据集合中元素的互异性可知不满足题意；,解析答案,思维升华,思维升华,(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合；(2)集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意.分类讨论的思想方法常用于解决集合问题.,(1)设集合A1,2,3，B4,5，Mx|xab，aA，bB，则M中的元素个数为_. 解析 因为集合M中的元素xab，aA，bB， 所以当b4时，a1,2,3，此时x5,6,7. 当b5时，a1,2,3，此时x6,7,8. 所以根据集合元素的互异性可知，x5,6,7,8. 即M5,6,7,8，共有4个元素.,4,跟踪训练1,解析答案,所以a1，b1， 所以ba2.,2,解析答案,题型二 集合间的基本关系,例2 (1)已知集合Ax|x23x20，xR，Bx|0x5，xN，则满足条件ACB的集合C的个数为_. 解析 由x23x20 得x1或x2， A1,2. 由题意知B1,2,3,4. 满足ACB的集合C可以是1,2，1,2,3，1,2,4，1,2,3,4共4个.,4,解析答案,(2)已知集合Ax|x22 017x2 0160，Bx|xa，若AB，则实数a的取值范围是_. 解析 由x22 017x2 0160， 解得1x2 016， 故Ax|1x2 016，又Bx|xa，AB如图所示，,得a2 016.,2 016，),解析答案,思维升华,(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解；(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系.常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题.,思维升华,(1)已知集合Ax|yln(x3)，Bx|x2，则集合A，B之间的关系是_.,跟踪训练2,解析答案,解得x2.由AB，得xB，所以m2.,2,解析答案,题型三 集合的基本运算,2,4,命题点1 集合的运算,例3 (1)设全集UxN*|x6，集合A1,3，B3,5，则U(AB)_. 解析 由题意可知U1,2,3,4,5，AB1,3,5， 所以U(AB)2,4.,解析答案,(2)已知集合Ax|x20，Bx|0log2x2，则R(AB)_. 解析 Ax|x2，Bx|1x4， ABx|x2x|1x4x|2x4，R(AB)x|x2或x4.,x|x2或x4,解析答案,命题点2 利用集合运算求参数,解析 由ABA得BA，有mA，,即m3或m1或m0， 又由集合中元素的互异性知m1.,0或3,解析答案,(2)设集合A0,1，集合Bx|xa，若AB，则实数a的取值范围是_. 解析 由AB可得，0B,1B， 则a1.,a1,解析答案,思维升华,思维升华,(1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况.(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化.,(1)(2015天津)已知全集U1,2,3,4,5,6,7,8，集合A2,3,5,6，集合B1,3,4,6,7，则集合A(UB)_. 解析 由题意知，UB2,5,8， 则A(UB)2,5.,2,5,跟踪训练3,解析答案,(2)已知集合Ax|x2或x2或x1，ABR，ABx|2x4， 可得Bx|1x4， 则a1，b4，故 4.,4,解析答案,题型四 集合的新定义问题,解析答案,思维升华,解析 (1)集合B不是“好集”，假设集合B是“好集”， 因为1B,1B， 所以112B，这与2B矛盾. (2)有理数集Q是“好集”， 因为0Q,1Q，对任意的xQ，yQ，有xyQ，且x0时， Q， 所以有理数集Q是“好集”. (3)因为集合A是“好集”，所以0A， 若xA，yA， 则0yA，即yA， 所以x(y)A，即xyA. 答案 2,思维升华,思维升华,解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义.首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；(2)用好集合的性质.解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质.,已知全集Ua1，a2，a3，a4，集合A是集合U的恰有两个元素的子集，且满足下列三个条件：若a1A，则a2A；若a3A，则a2A；若a3A，则a4A.则集合A_.(用列举法表示) 解析 假设a1A，则a2A，则由若a3A， 则a2A可知，a3A，与题意不符， 假设不成立；假设a4A，则a3A，则a2A，且a1A，与题意不符， 假设不成立，故集合Aa2，a3(经检验知符合题意).,a2，a3,跟踪训练4,解析答案,返回,易错警示系列,典例 设集合A0，4，Bx|x22(a1)xa210，xR.若BA，则实数a的取值范围是_.,易错警示系列,1.遗忘空集致误,易错分析 集合B为方程x22(a1)xa210的实数根所构成的集合，由BA，可知集合B中的元素都在集合A中，在解题中容易忽视方程无解，即B的情况，导致漏解.,易错分析,解析答案,返回,温馨提醒,解析 因为A0，4， 所以BA分以下三种情况：,当BA时，B0，4， 由此知0和4是方程x22(a1)xa210的两个根，,解析答案,温馨提醒,解得a1；,当B且BA时，B0或B4， 并且4(a1)24(a21)0， 解得a1，此时B0满足题意；,当B时，4(a1)24(a21)0， 解得a1. 综上所述，所求实数a的取值范围是a1或a1. 答案 (，11,温馨提醒,温馨提醒,返回,(1)根据集合间的关系求参数是高考的一个重点内容.解答此类问题的关键是抓住集合间的关系以及集合元素的特征.(2)已知集合B，若已知AB或AB，则考生很容易忽视A而造成漏解.在解题过程中应根据集合A分三种情况进行讨论.,思想方法 感悟提高,1.集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到.解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化. 2.对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号能否取到. 3.对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图.这是数形结合思想的又一体现.,方法与技巧,1.解题中要明确集合中元素的特征，关注集合的代表元素(集合是点集、数集还是图形集).对可以化简的集合要先化简再研究其关系运算. 2.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解. 3.解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系. 4.Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心.,失误与防范,返回,练出高分,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,1.已知Aa2，(a1)2，a23a3，若1A，则实数a_.,15,16,17,18,解析答案,解析 若a21，则a1， 此时(a1)20，a23a31，与集合元素的互异性矛盾； 若(a1)21，则a0或2. 当a0时，a22，a23a33，A1,2,3； 当a2时，a20，a23a31，与集合元素的互异性矛盾； 若a23a31，则a1或a2. 当a1时，a21，与集合元素的互异性矛盾， 当a2时，a20，(a1)21，与集合元素的互异性矛盾. 综上可知，只有a0符合要求. 答案 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,2.设集合A1,2,4，集合Bx|xab，aA，bA，则集合B中的元素个数为_. 解析 aA，bA，xab， x2,3,4,5,6,8. B中共有6个元素.,6,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解析答案,3.(2015课标全国)已知集合Ax|x3n2，nN，B6,8,10,12,14，则集合AB中元素的个数为_. 解析 A，5,8,11,14,17，B6,8,10,12,14， 故集合AB中有两个元素.,2,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解析答案,所以A3，1，2，B2，1,3，符合条件. 故x2y212225.,5,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解析答案,5.已知集合A，B均为全集U1,2,3,4的子集，且U(AB)4，B1,2，则A(UB)_. 解析 U1,2,3,4，U(AB)4， AB1,2,3. 又B1,2， 3A1,2,3， 又UB3,4， A(UB)3.,3,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解析答案,6.设集合A3，x2，Bx，y，若AB2，则y的值为_个. 解析 由AB2得x22，,2,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解析答案,7.已知集合M0,1,2,3,4，N1,3,5，PMN，则P的子集共有_个. 解析 M0,1,2,3,4，N1,3,5， MN1,3. MN的子集共有224个.,4,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解析答案,8.已知集合Ax|1x0，Bx|xa，若AB，则a的取值范围为_. 解析 用数轴表示集合A，B(如图)，,0，),由AB得a0.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解析答案,9.已知集合Ax|x22xa0，且1A，则实数a的取值范围是_. 解析 1x|x22xa0， 1x|x22xa0， 即12a0， a1.,(，1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解析答案,10.已知UR，集合Ax|x2x20，Bx|mx10，B(UA)，则m的可能取值组成的集合为_.,解析 A1,2，B时，m0； B1时，m1；B2时，m .,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解析答案,11.已知集合A(0,1)，(1,1)，(1,2)，B(x，y)|xy10，x，yZ，则AB_. 解析 A、B都表示点集， AB即是由A中在直线xy10上的所有点组成的集合， 代入验证即可.,(0,1)，(1,2),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解析答案,12.已知集合AxR|x2|3，集合BxR|(xm)(x2)0，且AB(1，n)，则m_，n_. 解析 AxR|x2|3xR|5x1， 由AB(1，n)可知m1， 则Bx|mx2， 画出数轴，可得m1，n1.,1,1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解析答案,13.已知集合A(x，y)|ylog2x，B(x，y)|yx22x，则AB的元素有_个. 解析 在同一直角坐标系下画出函数ylog2x与yx22x的图象，如图所示： 由图可知ylog2x与yx22x图象有两个交点， 则AB的元素有2个.,2,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解析答案,14.全集UR，集合Ax|x23x20，Bx|xa0，若UBA，则实数a的取值范围是_. 解析 Ax|x23x20(，1)(2，)，Bx|xa， 则UB(a，). (a，)(，1)(2，)， a2.,2，),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解析答案,由于在3,3上，x50， 所以x1a0，即ax1在3，3上恒成立， 所以a4.,4，),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解析答案,当n0时，x2；n1时不合题意； n2时，x2；n3时，x1；n4时，xZ；n1时，x1； n2时，xZ. 故A2,2,1，1， 又U2，1,0,1,2，所以UA0.,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解析答案,17.已知集合Ax|1x5，Cx|axa3.若CAC，则a的取值范围是_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解析答案,解析 因为CAC，所以CA. 当C时，满足CA，,当C时，要使CA，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,答案 (，1,综上，a的取值范围是(，1.,18.已知集合A(x，y)|ya，B(x，y)|ybx1，b0，b1，若集合AB只有一个真子集，则实数a的取值范围是_. 解析 由于集合B中的元素是指数函数ybx的图象向上平移一个单位长度后得到的函数图象上的所有点， 要使集合AB只有一个真子集， 那么ybx1(b0，b1)与ya的图象只能有一个交点， 所以实数a的取值范围是(1，).,(1，),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解析答案,返回,
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