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第六节 直接证明与间接证明,最新考纲展示 1了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点 2.了解间接证明的一种基本方法反证法；了解反证法的思考过程、特点,一、直接证明,二、间接证明 假设原命题 (即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出 ，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫反证法,不成立,矛盾,1综合法与分析法是直接证明的两种基本方法，综合法的特点是从已知看可知，逐步推出未知在使用综合法证明时，易出现的错误是因果关系不明确，逻辑表达混乱分析法是从未知看须知，逐步靠拢已知当命题的条件与结论之间的联系不够明显、直接，证明中需要用哪些知识不太明确具体时，往往采用从结论出发，结合已知条件，逐步反推，寻求使当前命题成立的充分条件，把证明转化为判定这些条件是否具备的问题,2应用反证法证题时必须先否定结论，把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推理，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法所谓矛盾主要是指： (1)与已知条件矛盾 (2)与假设矛盾 (3)与定义、公理、定理矛盾 (4)与公认的简单事实矛盾 (5)自相矛盾,一、直接证明 1命题“对于任意角，cos4sin4cos 2”的证明过程：“cos4 sin4 (cos2 sin2 )(cos2 sin2 )cos2 sin2 cos 2”，此过程应用了( ) A分析法 B综合法 C综合法、分析法综合使用 D间接证明法 解析：结合推理及分析法和综合法的定义可知，B正确 答案：B,解析：a2b21a2b20(a21)(b21)0. 答案：D,二、间接证明 3(2014年东营模拟)用反证法证明命题“若a，bN，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应该是( ) Aa，b都能被5整除 Ba，b都不能被5整除 Ca，b不都能被5整除 Da能被5整除 解析：至少有一个的反面应是一个都没有 答案：B,答案：C,综合法的应用(师生共研),解析 (1)证明：取x1x20，则x1x201， f(00)f(0)f(0)，f(0)0. 又对任意的x0,1，总有f(x)0， f(0)0.于是f(0)0. (2)对于f(x)2x，x0,1，f(1)2不满足新定义中的条件， f(x)2x，(x0,1)不是理想函数 对于f(x)x2，x0,1，显然f(x)0，且f(1)1. 任意的x1，x20,1，x1x21， f(x1x2)f(x1)f(x2) (x1x2)2xx2x1x20， 即f(x1)f(x2)f(x1x2),规律方法 用综合法证题是从已知条件出发，逐步推向结论，综合法的适用范围： (1)定义明确的问题，如证明函数的单调性、奇偶性，求证无条件的等式或不等式 (2)已知条件明确，并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型在使用综合法证明时，易出现的错误是因果关系不明确，逻辑表达混乱,1定义：若数列An满足An1A，则称数列An为“平方递推数列”已知数列an中，a12，点(an，an1)在函数f(x)2x22x的图象上，其中n为正整数，证明：数列2an1是“平方递推数列” 证明：点(an，an1)在函数f(x)2x22x的图象上， an12a2an， 2an114a4an1(2an1)2， 2an1是“平方递推数列”,证明 m0，1m0. 所以要证原不等式成立， 只需证(amb)2(1m)(a2mb2)， 即证m(a22abb2)0， 即证(ab)20，而(ab)20显然成立， 故原不等式得证,分析法的应用(师生共研),规律方法 分析法的特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“须知”，逐步靠拢“已知”或本身已经成立的定理、性质或已经证明成立的结论等，运用分析法必须考虑条件的必要性是否成立通常采用“欲证只需证已知”的格式，在表达中要注意叙述形式的规范,例3 已知数列an的前n项和为Sn，且满足anSn2. (1)求数列an的通项公式； (2)求证：数列an中不存在三项按原来顺序成等差数列,反证法的应用(师生共研),规律方法 (1)当一个命题的结论是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出现时，可用反证法来证，反证法关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等 (2)用反证法证明不等式要把握三点： 必须否定结论 必须从否定结论进行推理 推导出的矛盾必须是明显的,3在ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c三边的倒数成等差数列，求证：Ba，bc.,
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