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最新考纲 1.了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点；2.了解反证法的思考过程和特点,第2讲 直接证明与间接证明,1直接证明,知 识 梳 理,成立,充分,2. 间接证明 间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法 (1)反证法的定义：假设原命题_(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明_的证明方法 (2)用反证法证明的一般步骤：反设假设命题的结论不成立；归谬根据假设进行推理，直到推出矛盾为止；结论断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立,不成立,原命题成立,1判断正误(在括号内打“”或“”) 精彩PPT展示 (1)综合法是直接证明，分析法是间接证明 ( ) (2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件 ( ) (3)用反证法证明结论“ab”时，应假设“ab” ( ) (4)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾 ( ),诊 断 自 测,2(2014山东卷)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3axb0至少有一个实根”时，要做的假设是 ( ) A方程x3axb0没有实根 B方程x3axb0至多有一个实根 C方程x3axb0至多有两个实根 D方程x3axb0恰好有两个实根 解析 因为“方程x3axb0至少有一个实根”等价于“方程x3axb0的实根的个数大于或等于1”，所以要做的假设是“方程x3axb0没有实根” 答案 A,3设alg 2lg 5，bex(xb Bab. 答案 A,4若a，b，c为实数，且aabb2 解析 a2aba(ab)， a0， a2ab. 又abb2b(ab)0，abb2， 由得a2abb2. 答案 B,5(人教A选修22P96例1改编)在ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，则ABC的形状为_ 答案 等边三角形,考点一 综合法的应用 【例1】 设a，b，c均为正数，且abc1，证明： 证明 (1)由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac得 a2b2c2abbcca. 由题设得(abc)21， 即a2b2c22ab2bc2ca1.,规律方法 用综合法证题是从已知条件出发，逐步推向结论，综合法的适用范围：(1)定义明确的问题，如证明函数的单调性、奇偶性，求证无条件的等式或不等式；(2)已知条件明确，并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型在使用综合法证明时，易出现的错误是因果关系不明确，逻辑表达混乱,考点二 分析法的应用 【例2】 已知ab0，求证：2a3b32ab2a2b. 证明 要证明2a3b32ab2a2b成立， 只需证：2a3b32ab2a2b0， 即2a(a2b2)b(a2b2)0， 即(ab)(ab)(2ab)0. ab0，ab0，ab0，2ab0， 从而(ab)(ab)(2ab)0成立， 2a3b32ab2a2b.,规律方法 (1)分析法采用逆向思维，当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中所需要用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，从正面不易推导时，常考虑用分析法(2)应用分析法的关键在于需保证分析过程的每一步都是可逆的，它的常用书面表达形式为“要证只需证”或用“”注意用分析法证明时，一定要严格按照格式书写,证明 m0，1m0.所以要证原不等式成立， 只需证(amb)2(1m)(a2mb2) 即证m(a22abb2)0，即证(ab)20， 而(ab)20显然成立，故原不等式得证,考点三 反证法的应用 【例3】 设an是公比为q的等比数列 (1)推导an的前n项和公式； (2)设q1，证明数列an1不是等比数列 (1)解 设an的前n项和为Sn， 当q1时，Sna1a1a1na1； 当q1时，Sna1a1qa1q2a1qn1. qSna1qa1q2a1qn， 得，(1q)Sna1a1qn，,规律方法 用反证法证明不等式要把握三点：(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面；(2)必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须依据这一条件进行推证；(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实矛盾等，且推导出的矛盾必须是明显的,【训练3】 已知a0，证明关于x的方程axb有且只有一个根 假设x1，x2是它的两个不同的根，即ax1b， ax2b， 由得a(x1x2)0， 因为x1x2，所以x1x20， 所以a0，这与已知矛盾，故假设错误 所以当a0时，方程axb有且只有一个根.,思想方法 1综合法的特点是：以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，实际上是寻找它的必要条件 分析法的特点是：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，逐步寻找结论成立的充分条件 2分析法和综合法各有优缺点分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来,3利用反证法证明数学问题时，要假设结论不成立，并用假设的命题进行推理，不用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的 易错防范 注意推理的严谨性，在证明过程中每一步推理都要有充分的依据，这些依据就是命题的已知条件和已经掌握了的数学结论，不可盲目使用正确性未知的自造结论在使用反证法证明数学命题时，反设必须恰当，如“都是”的否定是“不都是”“至少一个”的否定是“不存在”等.,
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