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推理与证明,推理,证明,言之有理，论证有据！,第二章 推理与证明,一、探入与展示,推理,一、探入与展示,一、探入与展示,推理,一、推理定义 根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程就叫推理.,-归纳推理,据说歌德巴赫无意中观察到: 3+7=10,3+17=20,13+17=30 他有意把上面的式子改成: 10=3+7,20=3+17,30=13+17 其中 反映出这样一个规律: 偶数=奇质数+奇质数,二、探读与思考,引入1.数学皇冠上璀璨的明珠哥德巴赫猜想,12=5+7 14=7+7 16=5+11 1000=29+971 1002=139+863 ,歌德巴赫大胆的猜想: 任何一个不小于6的偶数都 等于奇质数的和,任何形如 的数都是质数这就是著名的“费马猜想“,观察到都是质数,进而猜想:,引入2 费马猜想,铜能导电 铝能导电 金能导电 银能导电,一切金属都能导电.,三角形内角和 为 凸四边形内角 和为 凸五边形内角 和为,凸n边形内角和为,部分 个别,蛇类是用肺呼吸的,鳄鱼是用肺呼吸的 海龟是用肺呼吸的 蜥蜴是用肺呼吸的,爬行动 物都是 用肺呼 吸的,整 体 一 般,引入3：,由某类事物的 具有某些特征, 推出该类事物的 都具有这些特征 的推理,或者由 概括出 的推理,称为归纳推理(简称归纳).,部分对象,全部对象,个别事实,一般结论,归纳推理,半个世纪后,三、探疑与点拨,归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分析的基础上，提出带有规律性的结论.所以结论未必可靠，仅仅是一种猜想。,费马猜想 任何形如 的数都是质数,宣布了费马的这个猜想不成立,它不能作为一个求质数的公式.以后,人们又陆续发现 不是质数.至今这样的反例共找到了46个,却还没有找到第6个正面的例子,也就是说目前只有n=0,1,2,3,4这5个情况下,Fn才是质数.,大胆猜想 小心求证,例题1: 观察下列的等式,你有什么猜想吗?,1+3=4=22 1+3+5=9=32 1+3+5+7=16=42 1+3+5+7+9=25=52 ,由此猜想:,让我们一起来归纳推理,例2:已知数列an的第1项a1=1，且 （n=1 , 2 , ),试归纳出这个数列的通项公式.,分别把n=1,2,3代入 得:,由此猜想（归纳）,小结：归纳推理的一般步骤:,(1)通过观察特例发现特例的某些共性;,(2)把这种共性推广为一个明确表达的一般性命题 (猜想).,（练习）教材P77练习 1 2,(创新方案P43） 例2 如图所示，在圆内画一条线段，将圆分成两部分；画两条线段，彼此最多分割成4条线段，将圆最多分割成4部分；画三条线段，彼此最多分割成9条线段，将圆最多分割成7部分；画四条线段，彼此最多分割成16条线段，将圆最多分割成11部分猜想：在圆内画n(n2)条线段，彼此最多分割成多少条线段？将圆最多分割成多少部分？,设圆内两两相交的n条线段，彼此最多分割成的线段为f(n)条，将圆最多分割为g(n)部分 (1) f(1)112， g(1)2； f(2)422， g(2)4； f (3)932， g(3)7； f(4)1642， g(4)11；,通一类,2 (05年广东)设平面内有n条直线(n2)，其中任意两条直线都不平行，任意三条直线不过同一点若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则当n2时，f(n)_ _.(用含n的数学表达式表示),（练习：创新方案P44）课堂强化 第1题,1我们把1,4,9,16,25，这些数称做正方形数，这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正方形(如图)则第n个正方形数是( ) An(n1) Bn(n1) Cn2 D(n1)2,2如图所示，着色的三角形的个数依次构成数列an的前4项，则这个数列的一个通项公式为( ) Aan3n1 Ban3n Can3n2n Dan3n12n3,（创新方案P44） 课堂强化 第2题,例4.如图所示，有三根针和套在一根针上的若干金属片.按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上. (1)每次只能移动1个金属片； (2)较大的金属片不能放在较小的金属片上面； 试推测：把n个金属片从1号针移到3号针，最少需要移动多少次？,1,2,3,四、引导与迁移,1,2,3,第1个圆环从1到3.,设 为把 个圆环从1号针移到3号针的最少次数，则,1时，,1,2时，,1,2,3,前1个圆环从1到2; 第2个圆环从1到3; 第1个圆环从2到3.,3,第1个圆环从1到3.,设 为把 个圆环从1号针移到3号针的最少次数，则,1时，,1,n3时，,前2个圆环从1到2; 第3个圆环从1到3; 前2个圆环从2到3.,7,2时，,前1个圆环从1到2; 第2个圆环从1到3; 第1个圆环从2到3.,3,第1个圆环从1到3.,设 为把 个圆环从1号针移到3号针的最少次数，则,1时，,1,1,2,3,当n=1时,a1=1,当n=2时,a2=,3,当n=3时,a3=,7,当n=4时,a4=,15,猜想 an=,2n -1,1,2,3,n3时，,前2个圆环从1到2; 第3个圆环从1到3; 前2个圆环从2到3.,7,设 为把 个圆环从1号针移到3号针的最少次数，则,1,2,3,n=2时,n=1时,n=3时,n=4时,n=3时,n=2时,n=1时,n=4时,n=3时,n=2时,n=1时,归纳:,例4.如图所示，有三根针和套在一根针上的若干金属片.按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上. (1)每次只能移动1个金属片； (2)较大的金属片不能放在较小的金属片上面； 把n个金属片从1号针移到3号针，最少需要移动多少次记为f(n), 试求f(n)：,1,2,3,五、引伸与评价,归纳推理的基础,归纳推理的作用,归纳推理,观察、分析,发现新事实、获得新结论,由部分到整体、 个别到一般的推理,注意,归纳推理的结论不一定成立,五、引伸与评价,作业P83习题A组1、2、3、4题，B组1题,五、引伸与评价,善于观察勤于思考敢于猜想的人,常常会冒出创造的灵感火花,
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