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成才之路 数学,路漫漫其修远兮 吾将上下而求索,北师大版 选修2-1,常用逻辑用语,第一章,章 末 归 纳 总 结,第一章,1学习命题，首先根据能否判断语句的真假看是否是命题，掌握四种命题的组成及互为逆否命题的等价性 2由于原命题和它的逆否命题是等价的，所以当一个命题的真假不易判断时，往往可以转而判断它的逆否命题的真假；有的命题不易直接证明时，就可以改证它的逆否命题成立，反证法的实质就是证明“原命题的逆否命题成立”，所以教材在阐述了四种命题后安排了用反证法的例题，可以加深对命题等价性理解,3充要条件的判断是通过判断命题“若p则q”的真假来判断的因此，充要条件与命题的四种形式之间的关系密切，可相互转化 充分、必要条件问题涉及的知识面广，要深刻理解充分、必要条件的概念，而且要熟知问题中所涉及到的知识 4准确区分全称命题和特称命题的差异，能用简洁、自然的语言表述含有一个量词的命题的否定 5准确理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义，熟练判断“p且q”、“p或q”、“p”形式的命题的真假,6要注意：否命题与命题的否定是不同的，如果原命题是“若p则q”，那么这个原命题的否命题是“若非p，则非q”，而这个命题的否定是“若p，则非q”，可见：否命题既否定条件又否定结论，而命题的否定只否定结论，例如，原命题“若AB，则ab”的否命题是“若AB，则ab”，而原命题的否定是“若AB，则ab”,在空间，下列命题正确的是( ) A平行直线的平行投影重合 B平行于同一直线的两个平面平行 C垂直于同一平面的两个平面平行 D垂直于同一平面的两条直线平行,解析 对于选项A，平行直线的平行投影也可能平行，故A错误； 对于选项B，平行于同一直线的两个平面也可能相交，故B错误； 对于选项C，垂直于同一平面的两个平面也可能相交，故C错误；而选项D正确 答案 D,已知两个不同的平面、和两条不重合的直线m、n，有下列四个命题： 若mn，m，则n； 若m，m，则； 若m，mn，n，则； 若m，n，则mn. 其中正确命题的个数是( ) A0 B1 C2 D3,答案 D 解析 由线面垂直的判定知正确；由面面平行的判定知正确；由面面垂直的判定知正确；因为m不一定在内，故不一定正确，正确命题个数为3.,证明：对任意非正数c，若有abc成立，则aB 分析 将“对任意非正数c，若有abc成立，则ab”视为原命题要证明原命题为真命题，可以考虑证明它的逆否命题“对任意非正数c，若ab，则有abc成立”为真命题 证明 若ab，由c0，bbc，abC 即“若ab对于任意非正数c，则abc”是真命题 对任意非正数c，若有abc成立，则aB (互为逆否命题具有相同的真假性),总结反思 当一个命题的真假性不便于证明时，可证明其逆否命题的真假性一定要正确写出原命题的逆否命题,判断下列命题的逆命题、否命题、逆否命题的真假 若ab0，则a0或b0. 分析 要判断一个命题的其他三种命题的真假，可以分别写出其逆命题、否命题、逆否命题，再判断其真假；也可以利用它们之间的等价关系，由一个命题的真假推断出另一个命题的真假 解析 逆命题“若a0或b0，则ab0”为假命题，否命题与逆命题等价；逆否命题“若a0且b0，则ab0”为真命题所以逆命题与否命题为假，而逆否命题为真,(1)设集合M1,2，Na2，则“a1”是“NM”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分又不必要条件,(2)对于函数yf(x)，xR，“y|f(x)|的图像关于y轴对称”是“yf(x)的奇函数”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 (3)(2015四川理，8)设a、b都是不等于1的正数，则“3a3b3”是“loga3logb3”的( ) A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件,(1)a0是方程ax22x10至少有一个负数根的( ) A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件,(2)“a1”是“直线xy0和直线xay0互相垂直”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案 (1)B (2)C,(2)本题考查两条直线垂直的充要条件 当a1时，直线xay0化为直线xy0，直线xy0与直线xy0垂直； 当直线xy0和直线xay0互相垂直时，有1a0， a1，故选C,已知函数f(x)4x22(p2)x2p2p1在区间1,1上至少存在一个实数c，使得f(c)0.求实数p的取值范围,总结反思 通常对于“至多”、“至少”的命题，应采用逆向思维的方法处理，先考虑命题的否定，求出相应的集合，再求集合的补集，可避免繁杂的运算,若xR，f(x)(a21)x是单调减函数，则a的取值范围是_,答案 D,总结反思 正确理解逻辑联结词“且”“或”“非”的含义是解题的关键，应根据组成各个复合命题的语句中所出现的逻辑联结词进行命题结构与真假的判断，其步骤为：(1)确定复合命题的构成形式；(2)判断其中简单命题的真假；(3)根据其真值表判断复合命题的真假,已知两个命题：r(x)：sinxcosxm，s(x)：x2mx10.如果对任意xR，r(x)且s(x)为假命题，r(x)或s(x)为真命题，求实数m的取值范围,总结反思 本题主要体现在四种命题间的相互关系与集合之间关系的等价转化、原命题与其逆否命题之间的等价转化等，即以充要条件为基础，把同一种数学意义的内容从一种数学语言形式等价转化为另一种数学语言形式，从而使复杂问题简单化、具体化,一、选择题 1bc0是二次函数yax2bxc的图像经过原点的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案 A 解析 若bc0，则二次函数yax2bxcax2经过原点，若二次函数yax2bxc过原点，则c0，故选A,2下列命题中错误的是( ) A如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面 B如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面 C如果平面平面，平面平面，l，那么l平面 D如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面 答案 D,解析 本题主要考查空间中的线面、面面关系等基础知识 对于A、内存在直线平行于与的交线，故内必存在直线平行于，正确；对于B，由于不垂直于，内一定不存在直线垂直于，否则，正确；对于C，由平面与平面垂直的性质知正确，故D不正确，选D,3(2014辽宁师大附中期中)下列命题错误的是( ) A命题“若x23x20，则x1”的逆否命题为“若x1，则x23x20” B若p且q为假命题，则p、q均为假命题 C命题p：存在x0R，使得xx012”是“x23x20”的充分不必要条件 答案 B,解析 由逆否命题“条件的否定作结论，结论的否定为条件”知A为真命题；p且q为假命题时，p假或q假，故B错误；由“非”命题的定义知C正确；x2时，x23x20成立，x23x20时，x2，D正确,二、填空题 4已知p(x)：x22xm0，如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围是_ 答案 3m8,5若数列an满足(an1an)2p(p为正常数，nN*)，则称an为“等差方数列”甲：数列an是等差方数列；乙：数列an是等差数列，则甲是乙的_条件 答案 必要不充分 解析 对于乙：an是等差数列，公差为d，即an1and(an1an)2d2. 甲命题成立；反之，数列an是等差方数列， 即(an1an)2q2an1anq，相邻两项之差不一定为常数，则命题乙不成立,
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