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成才之路 数学,路漫漫其修远兮 吾将上下而求索,北师大版 选修2-1,圆锥曲线与方程,第三章,3.4 曲线与方程 第1课时 曲线与方程、圆锥曲线的共同特征,第三章,一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系： (1)_； (2) _ 那么，这条曲线叫作_，这个方程叫作_,曲线上点的坐标都是这个方程的解,以这个方程的解为坐标的点都在曲线上,方程的曲线,曲线的方程,1圆锥曲线的共同特征 圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离之比为定值e. 当_时，圆锥曲线是椭圆；当_时，圆锥曲线是双曲线；当_时，圆锥曲线是抛物线 2圆锥曲线的统一定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离的比等于常数e的点的集合叫作圆锥曲线 这个定点F叫作圆锥曲线的焦点，这条定直线l叫作圆锥曲线的准线，常数e叫作圆锥曲线的离心率,0e1,e1,e1,1平面直角坐标系的选取原则 (1)以已知定点为原点 (2)以已知定直线为坐标轴(x轴或y轴) (3)以已知线段所在直线为坐标轴(x轴或y轴)，以已知线段的中点为原点 (4)以已知互相垂直的两定直线为坐标轴 (5)如果曲线(或轨迹)有对称中心，通常以对称中心为原点,(6)如果曲线(或轨迹)有对称轴，通常以对称轴为坐标轴(x轴或y轴) (7)尽可能使曲线上的关键点在坐标轴上，或者让尽量多的点在坐标轴上,2对求曲线方程的五个步骤的四点说明 (1)在第一步中，如果原题中没有确定坐标系，首先要建立适当的坐标系，坐标系建立得当，可使运算过程简单，所得的方程也较简单 (2)第二步是求方程的重要一环要仔细分析曲线的特征，注意揭示隐含条件，抓住与曲线上任意一点M有关的等量关系，列出几何等式此步骤也可以省略，而直接将几何条件用动点的坐标表示,(3)在化简的过程中，注意运算的合理性与准确性，尽量避免“失解”或“增解” (4)第五步的说明可以省略不写，如有特殊情况，可以适当说明如某些点虽然其坐标满足方程，但不在曲线上，可以通过限定方程中x(或y)的取值范围予以剔除,3对求曲线方程的三点说明 (1)求曲线方程时，由于建系的方法不同，求得的方程也不同 (2)一般地，求哪个点的运动轨迹方程，就设哪个点的坐标是(x，y)，而不设成(x0，y0)或(x1，y1) (3)化简方程时，一般将方程f(x，y)0化成关于x、y的整式形式，并且要保证化简过程的恒等性 4通过方程研究曲线性质的方法 借助于曲线方程研究曲线的性质时，首先应把方程通过配方、因式分解、分离变量等方法化为我们熟悉的形式，然后结合图形，研究其性质,5过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数，当椭圆的焦点落在y轴上时，焦半径公式为：|PF1|aey1，|PF2|aey1. 6如果遇到有动点到两定点距离的问题，应自然联想到椭圆、双曲线的定义,3下列四个图形中，图形下面的方程是图形中曲线的方程的是( ) 答案 D,4已知方程ya|x|和yxa(a0)所确定的两条曲线有两个交点，则a的取值范围是( ) Aa1 B0a1 C0a1或a1 Da 答案 A 5动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x20的距离相等，则点P的轨迹方程为_ 答案 y28x 解析 本题考查了抛物线的定义及p的几何意义 由抛物线的定义知p4，方程为：y28x.,如果曲线l上的点的坐标满足方程F(x，y)0，则以下说法正确的是( ) A曲线l的方程是F(x，y)0 B方程F(x，y)0的曲线是l C坐标不满足方程F(x，y)0的点不在曲线l上 D坐标满足方程F(x，y)0的点在曲线l上 答案C 分析 从“曲线的方程”和“方程的曲线”两方面判断,曲线与方程的概念,解析 直接法：原说法写成命题形式即“若点M(x，y)是曲线l上的点，则M点的坐标适合方程F(x，y)0”，其逆否命题即“若M点的坐标不适合方程F(x，y)0，则M点不在曲线l上”，此即说法C 特值方法：作如图所示的曲线l，考查l与方程F(x，y)x210的关系，显然A、B、D中的说法全不正确 选C,总结反思 本例给出了判定方程和曲线对应关系的两种方法等价转换和特值方法其中特值方法应引起重视，它的使用依据即“方程的曲线上的点的纯粹性和完备性”，简言之，即“多一点不行，少一点不可”,判断下列结论的正误，并说明理由 (1)过点A(3,0)且垂直于x轴的直线的方程为x0； (2)到x轴距离为2的点的直线方程为y2； (3)到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程为xy1； (4)ABC的顶点A(0，3)、B(1,0)、C(1,0)，D为BC中点，则中线AD的方程为x0.,解析 (1)过点A(3,0)且垂直于x轴的直线方程为x3. 结论错误 (2)因到x轴距离为2的点的直线方程还有一个y2，即不具备完备性 结论错误 (3)到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程应为|x|y|1，即xy1. 所给问题不具备完备性结论错误 (4)中线AD是一条线段，而不是直线，应为x0(3y0)， 所给问题不具备纯粹性结论错误,已知RtABC，|AB|2a(a0)，求直角顶点C满足的方程 解析 以AB所在直线为x轴，AB中点为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，则有A(a,0)，B(a,0)，设顶点C(x，y),求曲线的方程,总结反思 坐标系的选取，一般将定点或定直线选在坐标轴上，原点有时选在定点处较为方便，有时也要考虑“对称”性(如此例),过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1、l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程,直译法求曲线的方程,分析 设动点坐标寻求几何条件将几何条件坐标化(解析法)求轨迹方程,总结反思 求曲线方程的基本方法是：建系设点、列等式、代换、化简、证明“五步法”在解题时，根据题意，正确列出方程是关键，还要注意最后一步，如果有不符合题意的特殊点要加以说明一般情况下，求出曲线方程后的证明可以省去,已知圆C1：(x3)2y21和圆C2：(x3)2y29，动圆M同时与圆C1与圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程,定义法求曲线方程,总结反思 (1)本题是用定义法求动点的轨迹方程，当判断出动点的轨迹是双曲线的一支，且可求出a、b时，直接根据定义写出其标准方程，而无需用距离公式写出方程，再通过复杂的运算进行化简 (2)由于动点M到两定点C2、C1的距离的差为常数，而不是差的绝对值为常数，因此，其轨迹只能是双曲线的一支这一点要特别注意！,已知动圆M与圆C1：(x4)2y22外切，与圆C2：(x4)2y22内切，求动圆圆心M的轨迹方程,设圆C：(x1)2y21，过原点O作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程,参数法求曲线方程,过抛物线y22px(p0)的顶点O作两条互相垂直的弦OA、OB，再以OA、OB为邻边作矩形AOBM，求点M的轨迹方程,等腰三角形的顶点是A(4,2)，底边的一个端点是B(3,5)，求另一端点C的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么,迷津点拨 上述求得的轨迹方程忽视了A，B，C不共线这个隐含条件，因为A，B，C为三角形的顶点，所以A，B，C三点不共线，即B，C不能重合，且B，C不能为圆A的一直径的两个端点,点M与已知点P(2,2)连线的斜率是它与点Q(2,0)连线的斜率的2倍，求点M的轨迹方程,迷津点拨 因为直线PM和直线MQ的斜率都存在，所以在中，x2，但在中却有x2，此时点P(2,2)和Q(2,0)在方程的曲线上，其原因是从到是非等价变形，使x的范围扩大了,
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