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2.4 抛 物 线 2.4.1 抛物线及其标准方程,一、抛物线的定义,定点F,定直线l,相等,思考:定义中为什么加上条件“l不经过F”? 提示:若点F在直线l上,满足条件的动点P的轨迹是过点F且垂直于l的直线,而不是抛物线.,二、抛物线的标准方程,(- ,0),x=,(0, ),y=,(0, ),y=,判断:(正确的打“”,错误的打“”) (1)抛物线的方程都是二次函数.( ) (2)抛物线的焦点到准线的距离是p.( ) (3)抛物线的开口方向由一次项确定.( ),提示:(1)错误.抛物线的方程不都是二次函数,如开口向右的抛物线的方程为y2=2px(p0),对任一个x的值,y的值不唯一,所以不是二次函数. (2)正确.在抛物线标准方程中,p0,焦点到准线的距离为p. (3)正确.一次项是x项时,p0开口向右,p0开口向上,p0开口向下. 答案:(1) (2) (3),【知识点拨】 1.对抛物线定义的理解 (1)定义条件:直线l不经过定点F. (2)一动三定: “一动”,即动点P; “三定”,即定点F,定直线l和定值,也就是P到定点F与到定直线的距离的比值是定值1.,2.抛物线标准方程的特点 (1)方程特点:抛物线的标准方程是关于x,y的二元二次方程,等号的左边是其中一个变量的平方,另一边是另一个变量的一次项. (2)参数p:在抛物线的方程中只有一个参数p,它的几何意义是焦点到准线的距离,因此p0,p越大,抛物线开口越开阔,反之越扁狭.,(3)四种标准方程的位置的相同点: 原点在抛物线上; 焦点在坐标轴上; 准线与焦点在原点两侧,且准线与其中一条坐标轴垂直.,3.抛物线的焦点及开口方向,4.抛物线与二次函数的关系 二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a0),当b,c为0时,y=ax2 表示焦点在y轴上的抛物线,标准方程为x2= y,a0时抛物线 开口向上,a0时,抛物线开口向下,当抛物线的开口方向向 左或向右时,方程为y2=2px,这是一条曲线,不能称为函数.,类型 一 根据方程求焦点和准线方程 【典型例题】 1.(2013南昌高二检测)抛物线x=-2y2的准线方程是( ) A.y= B.y= C.x= D.x= 2.指出下列抛物线的焦点坐标和准线方程. (1)y= x2. (2)x=ay2(a0).,【解题探究】1.求抛物线的焦点坐标和准线方程时,首先要做什么? 2.当抛物线方程中含参数时,如何求焦点和准线? 探究提示: 1.求抛物线的焦点坐标和准线方程时,首先应把所给方程化成标准形式,然后找出开口方向再求性质. 2.如果抛物线方程中含参数,要先把其化成标准方程,对参数应分类讨论.,【解析】1.选D.方程x=-2y2的标准形式是y2=- x, 抛物线开口向左且p= ,准线方程为x= . 2.(1)抛物线y= x2的标准形式为x2=4y, p=2,焦点坐标是(0,1),准线方程是y=-1. (2)抛物线x=ay2(a0)的标准形式为y2= x, 2p= .,当a0时, 抛物线开口向右, 焦点坐标是( ,0),准线方程是x=- ; 当a0时, 抛物线开口向左, 焦点坐标是( ,0),准线方程是x=- . 综上所述,当a0时,抛物线x=ay2的焦点坐标为( ,0), 准线方程为x=- .,【互动探究】题2(2)中,把方程改为x2=ay(a0),结果如何? 【解析】方程x2=ay是抛物线的标准形式,由方程知,其焦点 在y轴上,其焦点坐标为(0, ),准线方程为y=- .,【拓展提升】 1.求焦点坐标和准线方程的步骤,2.判断焦点位置及开口方向的记忆口诀 焦点要看一次项,符号确定开口方向, 如果y是一次项,负时向下,正向上, 如果x是一次项,负时向左,正向右.,【变式训练】(2013亳州高二检测)若抛物线y2=2px的焦点 与椭圆 的右焦点重合,则p的值为 . 【解题指南】求出抛物线的焦点和椭圆的右焦点,建立方程求解. 【解析】抛物线的焦点是( ,0),椭圆 中, c2=6-2=4,右焦点为(2,0),由 =2得p=4. 答案:4,类型 二 求抛物线的标准方程 【典型例题】 1.(2013安阳高二检测)设抛物线的顶点在原点,准线方程为x=-2,则抛物线的方程是( ) A.y2=-8x B.y2=8x C.y2=-4x D.y2=4x 2.根据下列条件,求抛物线的标准方程: (1)焦点到准线的距离是4. (2)过点(1,2).,【解题探究】1.求抛物线的标准方程的关键是什么? 2.已知抛物线上一点时,如何确定开口方向? 探究提示: 1.求抛物线的标准方程的关键是首先明确抛物线焦点的位置. 2.若点在第一象限时,抛物线的开口向右或向上; 若点在第二象限时,抛物线的开口向上或向左; 若点在第三象限时,抛物线的开口向左或向下; 若点在第四象限时,抛物线的开口向下或向右.,【解析】1.选B.准线方程为x=-2,焦点坐标为(2,0), 故所求方程为y2=8x. 2.(1)p=4,抛物线的方程有四种形式: y2=8x,y2=-8x,x2=8y,x2=-8y.,(2)方法一:点(1,2)在第一象限,要分两种情形:当抛物线的 焦点在x轴上时,设抛物线的方程为y2=2px(p0),则22=2p1, 解得p=2,抛物线方程为y2=4x;当抛物线的焦点在y轴上时, 设抛物线的方程为x2=2py(p0),则12=2p2,解得p= , 抛物线方程为x2= y. 方法二:设所求抛物线的标准方程为y2=mx或x2=ny,将点(1,2) 代入,得m=4,n= .故所求的方程为y2=4x或x2= y.,【拓展提升】 1.用待定系数法求抛物线标准方程的步骤,2.求抛物线的标准方程时需注意的三个问题 (1)把握开口方向与方程间的对应关系. (2)当抛物线的类型没有确定时,可设方程为y2=mx或x2=ny,这样可以减少讨论情况的个数. (3)注意p与 的几何意义.,【变式训练】(2013新课标全国卷)设抛物线C:y2=2px (p0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5,若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为( ) A.y2=4x或y2=8x B.y2=2x或y2=8x C.y2=4x或y2=16x D.y2=2x或y2=16x,【解析】选C.由题意知： 准线方程为x= 则由抛物 线的定义知，xM=5- 设以为直径的圆的圆心为 所以圆方程为 又因为过点(0,2)，所以 yM=4，又因为点在上，所以16= 解得p=2或p=8， 所以抛物线的方程为y2=4x或y2=16x.,类型 三 抛物线的实际应用 【典型例题】 1.汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分,灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直,灯泡位于抛物线焦点处,已知灯口的直径是24cm,灯深10cm,那么灯泡与反射镜顶点(即截得抛物线顶点)间的距离是 . 2.一辆卡车高3m,宽1.6m,欲通过断面为抛物线形的隧道,已知拱口AB宽恰好是拱高CD的4倍,若拱宽为am,求能使卡车通过的a的最小整数值.,【解题探究】1.对于实际问题的抛物线模型,建系有什么原则? 2.解答实际问题应注意什么? 探究提示: 1.一般地,遇抛物线模型的实际问题时,要注意把抛物线建在标准位置,即顶点在坐标原点,焦点建在坐标轴上. 2.解答本类题时,一要合理画出图形;二要建立恰当的直角坐标系;三要关注点的坐标和图形中线段的对应关系.,【解析】1.取反射镜的轴即抛物线的对称轴为x轴,抛物线的顶点为坐标原点,建立直角坐标系xOy,如图所示. 因灯口直径|AB|=24,灯深|OP|=10, 所以点A的坐标是(10,12). 设抛物线的方程为y2=2px(p0),由点A(10,12)在抛物线上,得122=2p10,所以p=7.2. 所以抛物线的焦点F的坐标为(3.6,0).因此灯泡与反射镜顶点间的距离是3.6cm. 答案:3.6cm,2.以拱顶为原点,拱高所在直线为y轴, 建立如图所示的直角坐标系. 设抛物线方程为x2=-2py(p0), 则点B的坐标为( ),由点B在抛物线上, ( )2=-2p(- ),p= , 抛物线方程为x2=-ay.,将点E(0.8,y)代入抛物线方程,得y=- 点E到拱底AB的距离为 解得a12.21,a取整数, a的最小整数值为13.,【拓展提升】求解抛物线实际应用题的五个步骤,【变式训练】某隧道横断面由抛物线及矩 形的三边组成,尺寸如图所示,某卡车空车 时能通过此隧道,现载一集装箱,箱宽3m, 车与箱共高4.5m,问此车能否通过该隧道? 说明理由.,【解析】在以抛物线的顶点为坐标原点,以过顶点的水平直线为x轴建立的直角坐标系中,点A的坐标为(3,-3), 设抛物线方程为x2=-2py, 抛物线方程为x2=-3y. 如果此车能通过隧道,卡车和集装箱应处于以y轴为对称轴的对称位置, 把点(x,-0.5)代入x2=-3y得x2=-3(-0.5), x1.22. 因此,高度为4.5m处,允许的宽度约为21.22=2.443, 此车不能通过该隧道.,与抛物线有关的轨迹问题 【典型例题】 1.(2013唐山高二检测)已知定点A(0,1),直线l1:y=-1,记过点A且与直线l1相切的圆的圆心为点C.则动点C的轨迹E的方程为 . 2.(2013瑞金高二检测)点M到点F( ,0)的距离比到直线 x=- 的距离小1,求点M满足的方程.,【解析】1.根据条件可知,动圆的圆心C到点(0,1)的距离与 到直线y=-1的距离相等,所以满足抛物线的定义,这里 =1, 焦点为(0,1),所以动点C的轨迹方程为x2=4y. 答案:x2=4y,2.点M到点F( ,0)的距离比到直线x=- 的距离小1, 点M到点F( ,0)的距离与到直线x=- 的距离相等, 点M轨迹为以F( ,0)为焦点,x=- 为准线的抛物线, 设抛物线方程为y2=2px(p0),则由题意知:p=3, 所求抛物线的方程为:y2=6x.,【拓展提升】定义法求抛物线方程的关键 抛物线的轨迹问题,既可以用轨迹法直接求解,也可以转化为抛物线的定义求解.后者的关键是找到条件满足动点到定点的距离等于到定直线的距离,有时需要依据条件进行转化.,【易错误区】求抛物线焦点和弦长时的误区 【典例】(2013南昌高二检测)从抛物线y2=4x上一点P引抛物线准线的垂线,垂足为M,且|PM|=5,设抛物线的焦点为F,则MPF的面积为 .,【解析】抛物线方程为y2=4x,则准线方程为x=-1. 令P点坐标为P(x0,y0),由图可知, |PM|=x0+1=5.x0=4.把x0=4代入y2=4x,解得y0=4, MPF的面积为 |PM|y0|= 54=10. 答案:10,【误区警示】,【防范措施】 1.准确记住抛物线的焦点和准线 在抛物线方程中,一次项系数与焦点的横或纵坐标间是“4倍关系”,要牢记公式,不能失误,如本例中准线方程为x=-1.,2.加强图形之间的联系与直观性 在解析几何的解题中,要加强图形的直观,对结论性的知识应利用图形加强记忆,避免运算中使用错误结论,如本例中PM的长可表示为x0+1=5. 3.注意抛物线定义的应用 抛物线的定义比较灵活,要注意灵活应用,往往是“看到焦点,想到准线;看到准线,想到焦点”,这有利于问题的解决.,【类题试解】(2013新课标全国卷)O为坐标原点，F为抛 物线C：y2= 的焦点，P为C上一点，若|PF|= 则 POF的面积为( ) 【解析】选C.设P(x1,y1)，则|PF|= 解 得 因为P为C上一点，则 得|y1|= 所以SPOF=,1.抛物线x=4y2的准线方程是( ) A.y= B.y=-1 C.x=- D.x= 【解析】选C.抛物线的标准方程是y2= x,这里p= , 所以准线方程为x=- .,2.抛物线y2=8x的焦点到准线的距离是( ) A.1 B.2 C.4 D.8 【解析】选C.抛物线y2=8x的焦点坐标为(2,0),准线方程为x=-2,所以焦点到准线的距离为4.,3.点P为抛物线y2=2px上任一点,F为焦点,则以P为圆心,以|PF|为半径的圆与准线l( ) A.相交 B.相切 C.相离 D.位置由F确定 【解析】选B.根据抛物线的定义,|PF|等于点P到准线l的距离,即圆心P到直线l的距离等于半径|PF|,所以半径为|PF|的圆P与准线l相切.,4.设抛物线y2=4x上一点P到y轴的距离是2,则点P到该抛物线焦点的距离是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】选C.由y2=4x可知,点P在y轴的右侧,且准线方程为x=-1,P到y轴的距离为2,P到准线的距离为3,根据定义可知,P到焦点的距离是3.,5.若直线ax-y+1=0经过抛物线y2=4x的焦点,则实数a= . 【解析】把y2=4x的焦点坐标(1,0)代入ax-y+1=0得a+1=0,即a=-1. 答案:-1,6.已知抛物线的顶点在原点,对称轴是x轴,抛物线上的点 M(-3,m)到焦点的距离等于5,求抛物线的方程和m的值. 【解析】设抛物线方程为y2=-2px(p0), 则焦点F(- ,0),由题意可得 解得 或 故所求的抛物线方程为 y2=-8x.m的值为2 .,
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