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成才之路 数学,路漫漫其修远兮 吾将上下而求索,北师大版 选修2-1,空间向量与立体几何,第二章,2.4 用向量讨论垂直与平行,第二章,1垂直问题 (1)直线与直线垂直：只要两直线的_垂直，两直线必垂直 (2)直线与平面垂直：直线的_若与平面的_平行，则直线与平面垂直；反之亦成立 (3)平面与平面垂直：平面与平面垂直的充要条件是：_,方向向量,方向向量,法向量,两平面的法向量互相垂直,2平行问题 (1)直线与直线平行：只要两条直线的_ (2)直线与平面平行：直线的_若与平面的_垂直(直线不在平面内)，则直线与平面平行 (3)平面与平面平行：当两平面的_(两平面不重合)时两平面平行,方向向量平行且这两条直线不共线即可,方向向量,法向量,法向量平行,3三垂线定理 (1)三垂线定理：若平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线在该平面上的_，则这两条直线垂直 (2)三垂线定理的逆定理：若平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线，则这条直线也垂直于直线在该平面内的_,投影,投影,2确定平面的法向量 平面的法向量就是平面法线的方向向量，因此可以先确定平面的法线，再取它的方向向量也可以直接判定向量与平面内的两条相交直线垂直，而得到平面的法向量确定平面的法向量通常有两种方法：(1)几何体中已经给出有向线段，只需证明线面垂直；(2)几何体中没有具体的直线，此时可以采用待定系数法求解平面的法向量,3对于空间中平行关系的向量表示的三点说明 (1)直线与直线平行：关键看直线的方向向量是否共线 (2)直线与平面平行：关键看直线的方向向量与平面的法向量是否垂直；或者看直线的方向向量与平面内的两条相交直线的方向向量是否共面 (3)平面与平面平行：关键看两平面的法向量是否共线,4关于三垂线定理的理解 (1)三垂线定理叙述的是平面内直线a与平面的斜线b，及斜线b在平面内的投影c三者之间的垂直关系 (2)这里a与b可以相交，可以异面 (3)三垂线定理是判断或证明空间中线线垂直的主要依据，三垂线定理跨越了线面垂直，直接由线线垂直到线线垂直，为解决线线垂直提供了一条捷径,5直线的方向向量与平面法向量在确定直线、平面的平行关系中的应用 (1)若两直线l1，l2的方向向量分别是u1，u2，则l1l2u1u2. (2)若两平面，的一个法向量分别是n1，n2，则n1n2. (3)若直线l的方向向量是u，平面的一个法向量是n，则lunun0.,6判定空间线、面垂直关系时，直线的方向向量与平面的法向量的确定方法 在实际解题过程中，需要确定直线的方向向量和平面的法向量，通常是先确定直线上两点的坐标，从而求出直线的方向向量；平面的法向量则通常需要确定平面内不共线的三个点的坐标，然后确定平面内两条直线的方向向量，最后用待定系数法求出平面法向量,1设两条直线所成角为(为锐角)，则直线的方向向量的夹角与( ) A相等 B互补 C互余 D相等或互补 答案 D,4在空间直角坐标系中，平面xOz的一个法向量是( ) A(1,0,0) B(0,1,0) C(0,0,1) D(0,1,1) 答案 B 5若直线l的方向向量为a(1,0,2)，平面的法向量为u(2,0，4)，则( ) Al Bl Cl Dl与斜交 答案 B 解析 u2a，au.u为平面的法向量，l.,如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点求证：MN平面A1BD,线面平行,如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AB5，AA14，点D是AB的中点 (1)求证：ACBC1； (2)求证：AC1平面CDB1.,如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H，M，N分别是正方体六个面的中心求证：平面EFG平面HMN.,面面平行,分析 用向量证明面面平行有两个途径：利用面面平行的判定定理，即证明一个平面内的两个不共线向量都平行于另一个平面；证明两个平面的法向量平行,总结反思 证明面面平行的向量方法有两种：第一种是分别求出两平面的法向量，再证明两法向量平行；第二种是证明一个平面有两不共线向量平行于另一平面，转化为线面平行的问题,在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G分别为C1D1、B1C1、CC1的中点 求证：平面A1DB平面EFG. 证明 以D为原点，直线DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是BB1，D1B1的中点 求证：EF平面B1AC 分析 可以从纯几何的角度和向量运算的角度进行证明,线面垂直,解析 证法一：如图，取A1B1的中点G，连接EG，FG，A1B，则FGA1D1，EGA1B,总结反思 用向量法证明线面垂直的方法与步骤 (1)基向量法 确定基向量作为空间的一个基底，用基向量表示有关直线的方向向量； 找出平面内两条相交直线的方向向量，并分别用基向量表示； 分别计算有关直线的方向向量与平面相交直线的方向向量的数量积，根据数量积为0，证得线线垂直，然后由线面垂直的判定定理得出结论,(2)坐标法 方法一：建立空间直角坐标系； 将直线的方向向量用坐标表示； 找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量； 分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0. 方法二：建立空间直角坐标系； 将直线的方向向量用坐标表示； 求出平面的法向量； 判断直线的方向向量与平面的法向量平行,在正三棱锥PABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是PAB的重心，E、F分别为BC、PB上的点，且BEECPFFB12. 求证：平面GEF平面PBC,面面垂直,证明 证法1：如图，以三棱锥的顶点P为原点，以PA、PB、PC所在直线分别作为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,证明 FA平面ABCD，FAAD，FAAB，又ADAB，AF、AD、AB两两垂直如图，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，设AB1，,如图，在棱长ABAD2，AA13的长方体AC1中，点E是平面BCC1B1上的一个动点，点F是CD的中点试确定点E的位置，使D1E平面AB1F.,探索性问题,在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的棱BC，DD1上是否分别存在点E，F，使得B1E平面ABF，若存在，请证明你的结论，并求出E，F满足的条件；若不存在，说明理由 误解 若在建系不恰当，则会导致运算烦琐，甚至出错，致使结论错误；若不知如何把线面的位置关系转化为向量之间的关系，则本例无法继续求解,正解 建立如图空间直角坐标系，,总结反思 1.准确确定点的坐标 认真审题，分清题设条件，建立适当的空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标及合理设出待定点的坐标，本例中E，F要在正方体的棱上，其坐标必需满足条件h，m0,1 2合理转化已知条件 根据题设条件，将几何关系转化为向量关系，准确运用向量运算解答例如本例中处的转化,
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