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热点专题突破系列(一) 函数的综合应用,考点1 函数及其表示 【典例1】(1)(2014温州模拟)函数y= 的定义 域为 . (2)(2014宁波模拟)已知函数f(x)= 则f(9)+ f(0)= .,【解题视点】(1)根据解析式,构建使解析式有意义的不等式 组求解. (2)根据0,9所在的区间代入求值. 【规范解答】(1)根据已知得 解得,-1x1,所以函数的定义域为(-1,1). 答案:(-1,1) (2)f(9)+f(0)=log39+20=2+1=3. 答案:3,【互动探究】若本例题(2)中条件不变,而已知f(a)= , 则a的值如何? 【解析】当a0时,f(a)=log3a= ,得a= 当a0时,f(a)=2a= =2-2,得a=-2, 综上可知a=-2或 .,【规律方法】 1.根据函数解析式求定义域的关键 根据解析式构建使每个式子都有意义的不等式(组). 2.求函数值域的常用方法 (1)图象法.(2)单调性法.(3)基本不等式法.,3.确定函数值的方法 根据所给对应关系,代入求值. 4.应用函数值求参数的值或取值范围的方法 根据所给函数及性质构建待求参数的方程(组)或不等式(组)求解.,【变式训练】(2014嘉兴模拟)函数f(x)的定义域为D,若对任 意x1,x2D,当x1x2时都有f(x1)f(x2),则称函数f(x)在D上 为非减函数,设函数f(x)在0,1上为非减函数,且满足以下三 个条件:f(0)=0; f(1-x)=1-f(x).则 等于( ),【解析】选A.因为f(0)=0,f(1-x)=1-f(x), 所以f(1)=1. 又 所以 又f(1-x)=1-f(x),所以 因为 所以,而 所以 即 所以,【加固训练】(2014济南模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶 函数,且x0时,f(x)= ,函数f(x)的值域为集合A. (1)求f(-1)的值. (2)设函数g(x)= 的定义域为集合B,若AB, 求实数a的取值范围.,【解析】(1)因为函数f(x)是定义在R上的偶函数, 所以f(-1)=f(1)= (2)因为函数f(x)是定义在R上的偶函数, 所以函数f(x)的值域A即为x0时,f(x)的取值范围. 当x0时,0 1, 故函数f(x)的值域A=(0,1. 因为g(x)=,所以定义域B=x|-x2+(a-1)x+a0, 由-x2+(a-1)x+a0得 x2-(a-1)x-a0, 即(x-a)(x+1)0, 因为AB,所以B=-1,a,且a1, 所以实数a的取值范围是a|a1.,考点2 函数的图象与性质 【典例2】(1)(2014天津模拟)函数y= ,x(-,0) (0,)的图象可能是下列图象中的( ),(2)(2014绍兴模拟)已知定义域为R的函数f(x)=a+ 是奇函数. 求a的值; 判断f(x)的单调性并证明; 若对任意的tR,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)0恒成立, 求k的取值范围.,【解题视点】(1)根据函数的奇偶性,及函数值范围求解. (2)由f(x)+f(-x)=0求解或由f(0)=0求解. 根据函数单调性的定义证明. 先利用奇偶性将不等式变为f(a)f(b)的形式,再利用单调性转化为a与b的大小关系进而求解.,【规范解答】(1)选C.y= 是偶函数,故排除A, 又x(0,)时,xsinx,即 1,排除B,D,故选C. (2)方法一:函数f(x)的定义域为R, 因为f(x)是奇函数, 所以f(x)+f(-x)=0,方法二:由f(x)是R上的奇函数, 所以f(0)=0,故a= 再由f(x)= 通过验证f(x)+f(-x)=0来确定a= 的合理性.,由知f(x)= 易知f(x)在R上为减函数. 证明:由知f(x)= 设x1f(x2), 所以f(x)在R上为减函数.,因为f(x)是奇函数,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)-2t2+k, 即对一切tR有3t2-2t-k0, 从而=4+12k0,解得k,【规律方法】 1.知式选图的思路 (1)从定义域判断图象的左、右位置. (2)从值域判断图象的上、下位置. (3)从奇偶性,判断图象的对称性. (4)从单调性,判断图象的变化趋势. (5)从周期性,判断图象的循环往复. 提醒:当选项无法排除时,代特殊值或从某些量上寻找突破口.,2.图象的应用 根据函数的图象,可研究函数的性质(单调性、奇偶性、周期性、最值),比较函数值大小及求方程与不等式的解. 3.确定函数单调性的常用方法 (1)定义法.(2)图象法.(3)转化为基本初等函数法. 4.确定函数奇偶性的方法 (1)定义法.(2)图象观察法. 5.求函数最值的常用方法 (1)图象法.(2)单调性法.(3)基本不等式法.(4)换元法.,【变式训练】(2014舟山模拟)已知函数f(x)= (x-1),当x=a时，f(x)取得最小值，则在直角坐标系中，函数 g(x)= 的大致图象为( ),【解析】选B.y=x-4+ =x+1+ -5, 因为x-1, 所以x+10, 0, 所以由基本不等式得 y=x+1+ -5 当且仅当x+1= ,即(x+1)2=9, 即x+1=3,x=2时取等号,所以a=2，所以g(x)= 又 所以选B.,【加固训练】(2014苏州模拟)设函数f(x)是定义在R上以3 为周期的奇函数,若f(1)1,f(2)= ,则a的取值范围 是 . 【解析】因为f(x+3)=f(x),f(-x)=-f(x), 所以 =f(2)=f(-1)=-f(1)-1, 即 +10, 0,解得-1a . 答案:,考点3 函数与方程及其实际应用 【典例3】(1)(2014湖州模拟)已知函数f(x)= -sinx, 则f(x)在0,2上的零点个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4,(2)(2014宁波模拟)我国加入WTO时,根据达成的协议,若干年 内某产品市场供应量p与关税的关系近似满足p(x)= (其中t为关税的税率,且t ,x为市场价格,b,k为正常数), 当t= 时的市场供应量曲线如图所示.,根据图象,求b,k的值; 记市场需求量为a,它近似满足a(x)= ,当p=a时的市场价 格称为市场平衡价格,当市场平衡价格控制在不低于9元时,求 关税税率的最小值.,【解题视点】(1)转化为函数h(x)= 与g(x)=sinx在0,2 上的交点个数求解. (2)由已知构建b,k的方程组求解. 将p(x)表示为x的函数,再求其最值.,【规范解答】(1)选B.由 -sinx=0 =sinx,在同一坐标 系中作出h(x)= ,g(x)=sinx在0,2上的图象,可以看出 交点个数为2.,(2)由题图知，t= 时， 有 解得 当p=a时，得 解得t=,令m= 因为x9,所以m 所以t= (17m2-m-2), 所以对称轴为 且开口向下, 所以m= 时，t取得最小值 此时x=9,所以税率t的最小值为,【规律方法】 1.确定与应用函数零点个数的常用方法 (1)解方程法构建可解的方程求解. (2)数形结合法转化为两个熟悉的函数图象的交点问题求解.,2.利用函数模型解决实际问题的两大类型及解法. (1)利用所给函数模型解决实际问题,先由已知确定待定系数,再用此解决实际问题. (2)自建模型解决实际问题,根据已知条件,选择恰当的量为变量(注意限制其范围),并将相关量均用该变量表示,抓住题设中等量关系构建目标函数求解.,【变式训练】已知函数f(x)= 若关于x的方程 f(x)=k有两个不同的实根,则实数k的取值范围是 .,【解析】方程f(x)=k有两个不同的实根,则y=f(x)与y=k有两个不同交点.作出y=f(x)的图象,可知k(0,1). 答案:(0,1),【加固训练】(2014温州模拟)从今年的中秋、国庆假期开始 实施免收小型客车高速通行费后,10月3日温州有一个群名为 “天狼星”的自驾游车队,组织车友前往重庆游玩.该车队是由 31辆车身长都约为5m(以5m计算)的同一车型组成的,行驶中经 过一个长为2725m的隧道(通过该隧道的车速不能超过25m/s). 匀速通过该隧道时,设车队的速度为xm/s.根据安全和车流的需 要,当0x12时,相邻两车之间保持20m的距离;当12x25时, 相邻两车之间保持 的距离.自第1辆车头进入隧道 至第31辆车尾离开隧道所用的时间为y(s).,(1)将y表示为x的函数. (2)求该车队通过隧道时间y的最小值及此时车队的速度.,【解析】(1)当0x12时， 当12x25时， 所以,(2)当0250,所以当x=24m/s时,ymin=250s, 即该车队通过隧道时间y的最小值为250s,此时该车队的速度 为24m/s.,
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