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第九单元 圆,第29课时 圆的有关性质,A2C B4B C4A DBC,小题热身,图291,A,22014台州从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是 ( ) 32015杭州圆内接四边形ABCD中，已知A70，则C ( ) A20 B30 C70 D110,B,D,42015长沙如图292，AB是O的直径， 点C是O上的一点，若BC6，AB10， ODBC于点D，则OD的长为 _,图292,4,一、必知8 知识点 1圆的有关概念 定义：在同一平面内，线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点P所经过的封闭曲线叫做圆，定点O叫做_，线段OP叫做_ 圆的集合定义：圆是到定点的距离等于_的点的集合 圆的有关概念：连结圆上任意两点的线段叫做_；经过圆心的弦叫做_；圆上任意两点间的部分叫做_；大于半圆的弧叫做_；小于半圆的弧叫做_；圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做_,考点管理,圆心,圆的半径,定长,弦,直径,弧,优弧,劣弧,半圆,2点和圆的位置关系 如果圆的半径是r，点到圆心的距离为d，那么： (1)点在圆外_； (2)点在圆上 _； (3)点在圆内 _. 3确定圆的条件 确定圆的条件：不在同一条直线上的三个点确定_个圆 三角形的外接圆：经过三角形各个顶点的圆； 三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形叫圆的内接三角形,dr,dr,dr,一,【智慧锦囊】 三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，锐角三角形的 外心在三角形的_，直角三角形的外心是_ _，钝角三角形的外心在三角形的_,内部,直角三角形,外部,斜边的中点,4圆的对称性 圆既是一个轴对称图形又是一个_对称图形，圆还具有旋转不变性 5垂径定理及其推论 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的_ 推论：(1)平分弦(非直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； (2)平分弧的直径垂直平分弧所对的弦,中心,弧,【智慧锦囊】 用垂径定理进行计算或证明时，常常连结半径或作出弦心 距，构造直角三角形求解,6圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧_，所对的弦_； 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等 7圆周角 圆周角：顶点在圆上，它的两边都和圆相交的角； 圆周角定理：圆周角的度数等于它所对的弧上圆心角度数的_,相等,相等,一半,推论：(1)半圆(或直径)所对的圆周角是_角； (2)90的圆周角所对的弦是_； (3)在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧_ 8圆内接四边形 圆内接四边形：如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆 性质：圆内接四边形的对角互补,直,直径,相等,二、必会2 方法 1添加辅助线 (1)有关弦的问题，常作其弦心距，构造直角三角形，如图293； (2)有关直径的问题，常作直径所对的圆周角，如图294.,图293,图294,2分类讨论 在圆中，常涉及到分类讨论，如一条弦所对的弧有优弧和劣弧两种，则其所对的圆周角不一定相等；另外，有关于弦的问题也需要分类讨论，如有两条弦时，需要分在同侧还是异侧等此类问题是中考的热点考题,三、必明3 易错点 1弦和弧的两个端点都在圆上，但弦是线段，弧是曲线； 2直径是圆中最长的弦，半径不是弦；半圆不是直径 3应用圆心角、弦、弧、弦心距的关系时，前提条件是“在同圆或等圆中”，它提供了圆心角、弧、弦、弦心距之间的转化方法如果没有“在同圆或等圆中”这个前提条件，在应用时推出的结论是错误的,类型之一 点与圆的位置关系 如图295，在RtABC中，C 90，AC3，BC4，CP，CM分别是 AB上的高和中线，如果圆A是以点A为圆 心，半径长为2的圆，那么下列判断正确 的是 ( ) A点P，M均在圆A内 B点P，M均在圆A外 C点P在圆A内，点M在圆A外 D点P在圆A外，点M在圆A内,C,图295,【解析】 在RtABC中，C90，AC3，BC4， AP1.82， 点P在圆A内，点M在圆A外 【点悟】 点与圆的位置关系的判定，根据点与圆心之间的距离和圆的半径的大小作出判断,2015杭州模拟在一个三角形中，已知ABAC6 cm，BC8 cm，D是BC的中点，以D为圆心作一个半径为5 cm的圆，则下列说法正确的是 ( ) A点A在D外 B点B在D上 C点C在D内 D无法确定 【解析】 BC8 cm，D是BC的中点， D的半径r5 cm，且54， 点C在D内,C,类型之二 圆心角、弧、弦之间的关系 2014黄石如图296，A，B是圆 O上的两点，AOB120，C是弧AB 的中点 (1)求证：AB平分OAC； (2)延长OA至P使得OAAP，连结PC， 若圆O的半径R1，求PC的长 【解析】 (1)求出等边三角形AOC和等边三角形OBC，推出OAOBBCAC； (2)求出ACOAAP，求出PCO90，P30.,图296,解：(1)证明：连结OC， AOB120，C是弧AB的中点， AOCBOC60， OAOC，ACO是等边三角形， OAAC，同理OBBC， OAACBCOB， 四边形AOBC是菱形， AB平分OAC； (2)由(1)知OAAC，又OAAP，APAC，PAC180OAC120， APCACP30，,例2答图,【点悟】 (1)在同圆(或等圆)中，圆心角(或圆周角)、弧、弦中只要有一组量相等，则其他对应的各组量也分别相等利用这个性质可以将问题互相转化，达到求解或证明的目的；(2)注意圆中的隐含条件：半径相等；(3)注意分类讨论思想的应用,20,图297,变式跟进答图,类型之三 垂径定理及其推论 2015六盘水赵州桥是我国建筑史上 的一大创举，它距今约1 400年，历经无 数次洪水冲击和8次地震却安然无恙如 图298，若桥跨度AB约为40 m，主拱高 CD约10 m，则桥弧AB所在圆的半径R_m. 根据勾股定理， 得R2202(R10)2， 解得R25(m) 所以圆的半径为25 m.,图298,25,12015衢州一条排水管的截面如图299所示，已知排水管的半径OA1 m，水面宽AB1.2 m，某天下雨后，水管水面上升了0.2 m，则此时排水管水面宽CD等于_m.,1.6,图299,【解析】 连结OC，作OEAB，垂足为E， 与CD交于F点，OA1 m，EA0.6 m根据 勾股定理得OE0.8 m，EF0.2 m，则 OF0.6 m， 在RtOCF中，OF0.6 m，OC1 m， 得CF0.8 m， 因此CD1.6 m，故答案为1.6 m.,变式跟进1答图,22014绍兴把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其主视图如图2910所示，O与矩形ABCD的边BC，AD分别相切和相交(E，F是交点)已知EFCD8，则O的半径为_,图2910,5,【解析】 由题意，O与BC相切，记切 点为G，作直线OG，分别交AD，劣弧EF 于点H，I，再连结OF， 在矩形ABCD中，ADBC，IGBC， IGAD， 设O的半径为r，则OH8r， 在RtOFH中，r2(8r)242， 解得r5.,变式跟进2答图,【点悟】 在已知直径与弦垂直的问题中，常连结半径构造直角三角形，其中斜边为圆的半径，两直角边是弦长的一半和圆心到弦的距离，进而运用勾股定理来计算,类型之四 圆周角定理及其推论 2015德州改编如图2911，O的半径为1，A，P，B，C是O上的四个点，APCCPB60. (1)判断ABC的形状，并说明理由； (2)试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论,图2911,备用图,【解析】 (1)利用圆周角定理可得BACCPB，ABCAPC，而APCCPB60，所以BACABC60，从而可判断ABC的形状； (2)在PC上截取PDAP，则APD是等边三角形，然后证明APBADC，从而BPCD. 解：(1)ABC是等边三角形 理由如下：在O中，,BACCPB，ABCAPC， 又APCCPB60， ABCBAC60， ABC为等边三角形； (2)PCPAPB， 证明：在PC上截取PDAP，如答图所示， 又APC60， APD是等边三角形， ADAPPD，ADP60， 即ADC120. 又APBAPCBPC120，,例4答图,ADCAPB， 在APB和ADC中， APBADC(AAS)，BPCD， 又PDAP，CPCDPDBPAP. 即PCPAPB.,12015深圳如图2912，AB为O直径， 已知DCB20，则DBA为( ) A50 B20 C60 D70 【解析】 AB为O直径， ACB90， ACD90DCB902070， DBAACD70.,D,图2912,图2913,变式跟进2答图,变式跟进2答图,(2)如答图，连结OP，BC，OP交于BC于D点，连结PB， P是BC的中点， OPBC于D，BDCD，,【点悟】 (1)由圆周角与圆心角的关系可知：圆周角定理是建立在圆心角的基础上的，有了圆周角定理，就多了一种证明角相等关系或倍分关系的方法 (2)直径所对圆周角为直角，反之亦成立，在圆的有关证明和计算中要创造条件，灵活运用，使问题简单化,圆的计算中谨防漏解 (襄阳中考)圆的半径为13 cm，两弦ABCD，AB24 cm，CD 10 cm，则两弦AB，CD的距离是 ( ) A7 cm B17 cm C12 cm D7 cm或17 cm 【错解】如答图，作OECD，交AB于F， CD于E，连结OB，OD.已知CD10 cm， DE5 cm.OD13 cm， 利用勾股定理可得OE12 cm. 同理可求OF5 cm，EF7 cm.选择A.,易错警示答图,【错因】当已知条件中没有明确图时，要注意分类讨论，错解 忽略这一点，造成丢解此题可以分两种情况，即两弦在圆心 的一侧时和在两侧时，所以此题的答案有两个 【正解】第一种情况：两弦在圆心的一侧时， 即错解结论；第二种情况：如答图，两弦在 圆心的不同侧，此时EFOEOF17 cm.其 他和第一种一样故选D.,易错警示答图,
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