微分习题课ppt课件

,习题课,一、一阶微分方程求解,二、解微分方程应用问题,第七章,第七章 微分方程,1,基本概念,一阶方程,类 型 1.直接积分法 2.可分离变量 3.齐次方程 4.可化为齐次 方程 5.全微分方程 6.线性方程,7.伯努利方程,可降阶方程,线性方程 解的结构 定理1;定理2 定理3;定理4,欧拉方程,二阶常系数线性 方程解的结构,特征方程的根 及其对应项,f(x)的形式及其 特解形式,高阶方程,待定系数法,特征方程法,一、主要内容,2,微分方程解题思路,一阶方程,高阶方程,分离变量法,全微分方程,常数变易法,特征方程法,待定系数法,非全微分方程 非变量可分离,幂级数解法,降阶,作变换,作变换,积分因子,3,1、基本概念,微分方程 凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程,微分方程的阶 微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数称为微分方程的阶,微分方程的解 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解,4,通解 如果微分方程的解中含有任意常数，并且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解,特解 确定了通解中的任意常数以后得到的解，叫做微分方程的特解,初始条件 用来确定任意常数的条件.,初值问题 求微分方程满足初始条件的解的问题，叫初值问题,5,(1) 可分离变量的微分方程,解法,分离变量法,2、一阶微分方程的解法,(2) 齐次方程,解法,作变量代换,6,齐次方程,（其中h和k是待定的常数）,否则为非齐次方程,(3) 可化为齐次的方程,解法,化为齐次方程,7,(4) 一阶线性微分方程,上方程称为齐次的,上方程称为非齐次的.,齐次方程的通解为,（使用分离变量法）,解法,8,非齐次微分方程的通解为,（常数变易法）,(5) 伯努利(Bernoulli)方程,方程为线性微分方程.,方程为非线性微分方程.,9,解法 需经过变量代换化为线性微分方程,其中,形如,(6) 全微分方程,10,注意：,解法,应用曲线积分与路径无关., 用直接凑全微分的方法.,通解为,11,(7) 可化为全微分方程,形如,12,公式法:,观察法:,熟记常见函数的全微分表达式，通过观察直接找出积分因子,13,常见的全微分表达式,可选用积分因子,14,3、可降阶的高阶微分方程的解法,解法,特点,型,接连积分n次，得通解,型,解法,代入原方程, 得,15,特点,型,解法,代入原方程, 得,、线性微分方程解的结构,（1） 二阶齐次方程解的结构:,16,（2）二阶非齐次线性方程的解的结构:,17,18,、二阶常系数齐次线性方程解法,n阶常系数线性微分方程,二阶常系数齐次线性方程,二阶常系数非齐次线性方程,解法,由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.,19,特征方程为,20,特征方程为,推广： 阶常系数齐次线性方程解法,21,、二阶常系数非齐次线性微分方程解法,二阶常系数非齐次线性方程,解法 待定系数法.,22,23,7、欧拉方程,欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变量代换 可化为常系数微分方程.,的方程(其中,形如,叫欧拉方程.,为常数)，,24,当微分方程的解不能用初等函数或其积分表达时, 常用幂级数解法.,8、幂级数解法,25,二、典型例题,例1,解,原方程可化为,26,代入原方程得,分离变量,两边积分,所求通解为,27,例2. 求下列方程的通解,提示: (1),故为分离变量方程:,通解,28,方程两边同除以 x 即为齐次方程 ,令 y = u x ,化为分,离变量方程.,调换自变量与因变量的地位 ,用线性方程通解公式求解 .,化为,29,方法 1 这是一个齐次方程 .,方法 2 化为微分形式,故这是一个全微分方程 .,30,例3. 求下列方程的通解:,提示: (1),令 u = x y , 得,(2) 将方程改写为,(贝努里方程),(分离变量方程),原方程化为,31,令 y = u t,(齐次方程),令 t = x 1 , 则,可分离变量方程求解,化方程为,32,变方程为,两边乘积分因子,用凑微分法得通解:,33,例4,解,原式可化为,原式变为,对应齐方通解为,一阶线性非齐方程,伯努利方程,34,代入非齐方程得,原方程的通解为,利用常数变易法,35,例5,解,方程为全微分方程.,36,(1) 利用原函数法求解:,故方程的通解为,37,(2) 利用分项组合法求解:,原方程重新组合为,故方程的通解为,38,(3) 利用曲线积分求解:,故方程的通解为,39,例6,解,非全微分方程.,利用积分因子法:,原方程重新组合为,40,故方程的通解为,41,例7.,设F(x)f (x) g(x), 其中函数 f(x), g(x) 在(,+),内满足以下条件:,(1) 求F(x) 所满足的一阶微分方程 ;,(03考研),(2) 求出F(x) 的表达式 .,解: (1),所以F(x) 满足的一阶线性非齐次微分方程:,42,(2) 由一阶线性微分方程解的公式得,于是,43,例8. 设河边点 O 的正对岸为点 A , 河宽 OA = h,一鸭子从点 A 游向点,解微分方程应用问题,利用个性确定定解条件.,为平行直线,且鸭子游动方向始终朝着点O ,提示: 如图所示建立坐标系.,设时刻t 鸭子位于点P (x, y) ,设鸭子(在静水中)的游速大小为b,求鸭子游动的轨迹方程 .,O ,水流速度大小为 a ,两岸,则,关键问题是正确建立数学模型,要点:,44,定解条件,由此得微分方程,即,鸭子的实际运动速度为,( 齐次方程 ),45,例9,解,代入方程，得,故方程的通解为,46,特征根 :,例10. 求微分方程,提示:,故通解为,满足条件,解满足,处连续且可微的解.,设特解 :,代入方程定 A, B, 得,得,47,处的衔接条件可知,解满足,故所求解为,其通解:,定解问题的解:,48,例11.,且满足方程,提示:,则,问题化为解初值问题:,最后求得,49,思考: 设,提示: 对积分换元 ,则有,解初值问题:,答案:,50,的解.,例12.,设函数,内具有连续二阶导,(1) 试将 xx( y) 所满足的微分方程,变换为 yy(x) 所满足的微分方程 ;,(2) 求变换后的微分方程满足初始条件,数, 且,解:,上式两端对 x 求导, 得:,(1) 由反函数的导数公式知,(03考研),51,代入原微分方程得,(2) 方程的对应齐次方程的通解为,设的特解为,代入得 A0,从而得的通解:,52,由初始条件,得,故所求初值问题的解为,53,例13,解,特征方程,特征根,对应的齐次方程的通解为,设原方程的特解为,54,原方程的一个特解为,故原方程的通解为,55,解得,所以原方程满足初始条件的特解为,56,例14,解,特征方程,特征根,对应的齐方的通解为,设原方程的特解为,57,解得,58,故原方程的通解为,即,59,例15,解,（） 由题设可得：,解此方程组，得,60,（） 原方程为,由解的结构定理得方程的通解为,61,解,例16,这是一个欧拉方程,代入原方程得,(1),62,和(1)对应的齐次方程为,(2),(2)的特征方程为,特征根为,(2)的通解为,设(1)的特解为,63,得(1)的通解为,故原方程的通解为,64,例17.,解:,欲向宇宙发射一颗人造卫星,为使其摆脱地球,引力,初始速度应不小于第二宇宙速度,试计算此速度.,设人造地球卫星质量为 m , 地球质量为 M ,卫星,的质心到地心的距离为 h ,由牛顿第二定律得:,(G 为引力系数),则有初值问题:,又设卫星的初速度,65,代入原方程, 得,两边积分得,利用初始条件, 得,因此,注意到,66,为使,因为当h = R (在地面上) 时, 引力 = 重力,即,代入即得,这说明第二宇宙速度为,67,求质点的运动规,例18.,上的力 F 所作的功与经过的时间 t 成正比 ( 比例系数,提示:,两边对 s 求导得:,牛顿第二定律,为 k),开方如何定 + ?,已知一质量为 m 的质点作直线运动, 作用在质点,68,例19.一链条挂在一钉子上,启动时一端离钉子 8 m ,另一端离钉子 12 m , 如不计钉子对链条所产生的摩擦,力, 求链条滑下来所需的时间 .,解: 建立坐标系如图.,设在时刻 t , 链条较长一段,下垂 x m ,又设链条线密度为常数,此时链条受力,由牛顿第二定律, 得,69,由初始条件得,故定解问题的解为,解得,当 x = 20 m 时,(s),微分方程通解:,思考: 若摩擦力为链条 1 m 长的重量 , 定解问题的,数学模型是什么 ?,70,摩擦力为链条 1 m 长的重量 时的数学模型为,不考虑摩擦力时的数学模型为,此时链条滑下来 所需时间为,71,练习题,从船上向海中沉放某种探测仪器, 按探测,要求, 需确定仪器的下沉深度 y 与下沉速度 v 之间的函,数关系.,设仪器在重力作用下从海平面由静止开始下沉,在下沉过程中还受到阻力和浮力作用, 设仪器质量为 m,体积为B , 海水比重为 ,仪器所受阻力与下沉速度成正,比 , 比例系数为 k ( k 0 ) ,试建立 y 与 v 所满足的微分,方程, 并求出函数关系式 y = y (v) . ( 95考研 ),提示: 建立坐标系如图.,质量 m 体积 B,由牛顿第二定律,重力,浮力,阻力,注意:,72,初始条件为,用分离变量法解上述初值问题得,质量 m 体积 B,得,73,备用题,有特,而对应齐次方程有解,微分方程的通解 .,解:,故所给二阶非齐次方程为,方程化为,1. 设二阶非齐次方程,一阶线性非齐次方程,74,故,再积分得通解,复习: 一阶线性微分方程通解公式,75,2.,(1) 验证函数,满足微分方程,(2) 利用(1)的结果求幂级数,的和.,解: (1),(02考研),76,所以,(2) 由(1)的结果可知所给级数的和函数满足,其特征方程:,特征根:,齐次方程通解为,设非齐次方程特解为,代入原方程得,故非齐次方程通解为,77,代入初始条件可得,故所求级数的和,78,测 验 题,79,80,81,82,83,84,85,86,测验题答案,87,88,