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2018北京师大附中高二(上)期中数 学一、选择题,本大题共10小题,共40分,从列出的四个选项中,选出符合要求的一项。1.在数列中,且,则等于A. 8B. 6C. 9D. 72.在三棱锥中,D为BC的中点,则A. B. C. D. 3.在等比数列中,且,则这个数列的公比为A. 3B. C. 9D. 4.在正方体中,向量和的夹角是A. B. 60C. 45D. 1355.某种农产品前n年的总产量与n之间的关系满足:,若前m年的年平均产量最小,则m值为A. 5B. 4C. 3D. 26.若数列是公比为q的递增等比数列,则A. B. C. D. 7.在棱长为1的正四面体ABCD中,E, F分别是 BC, AD的中点,则( )A. 0B. C. D. 8.已知平面ABC,点O是空间任意一点,点M满足条件,则A. 直线AM与平面ABC平行B. 直线AM是平面ABC的斜线C. 直线AM是平面ABC的垂线D. 直线AM在平面ABC内9.已知两个不共线的向量,与平面共面,向量v是直线l的一个方向向量,则“存在两个实数x,y,使”是“l/”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件10.如图,棱长为2的正方体中,M是棱的中点,点P在侧面内,若垂直于CM,则的面积的最小值为A. B. C. D. 1二、填空题,本大题共6小题,共30分。11.与共线且满足的向量b=_。12.已知数列满足:,则数列的前2n项和_。13.如图,在正四面体VABC中,直线VA与BC所成角的大小为_;二面角VBCA的余弦值为_。14.设数列满足“,”,则的通项公式可以为_。15.已知等比数列的前n项和为,则常数C=_16.有一条珍珠项链,上面共有33颗珍珠,最下面中央的那颗珍珠最大,也最有价值,由这颗珍珠往右,越往上的珍珠越小,且价值依次递减100元;同样的,由这颗珍珠往左,越往上方的珍珠也越小,且价值依次递减150元,假设整条珍珠项链的总价值是65000元,则最大的那颗珍珠的价值是_元。三、解答题:共6个小题,共80分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。17.已知空间中三点A(2,0,2),B(1,1,2),C(3,0,4),设,(I)若,且,求向量c;(II)已知向量与互相垂直,求k的值;(III)求的面积。18.如图,在直三棱柱中,点D是的中点。(I)求证平面;(II)求二面角的余弦值。19.已知公差不为零的等差数列中,且,成等比数列。 (I)求数列的通项公式;(II)设数列满足:,求的前n项之和;(III)设数列满足:,为的前n项和,求证:。20.如图,在三棱锥中,底面ABC,H为PC的中点,M为AH的中点,PA=AC=2,BC=1 (I)求证:;(II)求PM与平面AHB所成的角的正弦值;(III)设点N在线段PB上,且,MN/平面ABC,试写出实数的值(不必证明)。21.应届毕业生小李收到了两家公司的录用通知,录用的岗位相同,两家公司均提供税后年薪,且要求签约10年,A公司第一年的年薪为10万元,以后每年上涨20%;B公司第一年的年薪为20万元,以后每年上涨5%。 (I)如果只考虑收入水平,不考虑其他因素,你建议小李选择哪家公司?说明理由。(II)十年内A公司提供的该岗位年薪能否超过B公司,若能,请指出从第几年开始,若不能,说明理由。(参考数据:),22.如果数列满足“对任意正整数i,j,都存在正整数k,使得”则称数列具有“性质P”,已知数列是无穷项的等差数列,公差为d(I)试写出一个具有“性质P”的等差数列;(II)若,公差d=3,判断数列是否具有“性质P”,并说明理由。(III)若数列具有“性质P”,求证:且2018北京师大附中高二(上)期中数学参考答案一、选择题,本大题共10小题,共40分,从列出的四个选项中,选出符合要求的一项。1.【答案】D【解析】【分析】根据递推关系得出数列为等差数列,且求得公差,由此计算得的值.【详解】由于,故数列是首项为,公差为的等差数列,故,故选D.【点睛】本小题主要考查等差数列的识别,考查等差数列项的计算,属于基础题.2.【答案】A【解析】【分析】根据向量加法和减法的运算,将转化到三个方向上,由此求得正确选项.【详解】依题意得,故选A.【点睛】本小题主要考查向量加法和减法的运算,属于基础题,要注意的是向量减法,箭头是指向被减数.3.【答案】B【解析】【分析】根据等比数列项与项的关系,化简已知条件,解方程求得数列的公比.【详解】由于数列为等比数列,故,解得.故选B.【点睛】本小题主要考查等比数列的通项公式,考查方程的思想,属于基础题.4.【答案】B【解析】【分析】将两个向量平移到一起,然后解三角形求得两个向量的夹角.【详解】画出图像如下图所示,连接,根据正方体的性质可知,故是题目所求两个向量的夹角.由于是等边三角形,故.【点睛】本小题主要考查空间两个向量的夹角,考查空间异面直线所成的角,主要的解法是利用平行,作出它们所成的角,解三角形求得这角的大小.5.【答案】C【解析】【分析】通过计算,其中使得结果最大的即为所求.【详解】依题意,故当时,取得最小值.故选C.【点睛】本小题主要考查数列的实际应用.由于题目是选择题,故可将选项代入验算,得出正确选项,属于基础题.6.【答案】B【解析】【分析】根据题意构造特殊的数列,然后对选项的正误逐一进行判断,由此得出正确选项.【详解】依题意,不妨设,数列是递增的等比数列,由此判断C,D选项错误.设,数列是递增的等比数列,由此判断A选项不正确.故正确的选项为B.所以本题选B.【点睛】本小题主要考查等比数列的单调性.由于题目是选择题,故可采用特殊值和排除法来得出选项,属于基础题.7.【答案】D【解析】=.故答案为:D。8.【答案】D【解析】【分析】根据向量减法的运算,将化简后,可得其空间位置.【详解】依题意,故直线在平面内.故意选D.【点睛】本小题主要考查向量的减法运算,将题目所求直线对应的向量利用减法运算化简后可得出结果,属于基础题.9.【答案】B【解析】【分析】先根据向量基底的概念证明必要性,然后举出反例说明“不充分”,由此得出正确选项.【详解】当时,由于时不共线的向量,故可用作为基底表示出来,所以“必要性”成立.当时,直线可能在平面内,故“充分性”不成立.所以是必要不充分条件,所以选B.【点睛】本小题主要考查向量基底的概念,考查直线和平面平行的知识,考查充要条件的判断,属于基础题.10.【答案】A【解析】【分析】建立空间直角坐标系,设出点的坐标,利用求得点坐标间的相互关系,写出三角形面积的表达式,利用二次函数的对称轴,求得面积的最小值.【详解】以分别为轴建立空间直角坐标系,依题意有,由于,故,解得.根据正方体的性质可知,故三角形为直角三角形,而,故,三角形的面积为,当时,面积取得最小值为,故选A.【点睛】本小题主要考查空间两条直线相互垂直的坐标表示,考查三角形面积的最小值的求法,还考查了划归与转化的数学思想.属于中档题.空间两条直线相互垂直,那么两条直线的方向向量的数量积为零.对于两个参数求最值,可利用方程将其中一个参数转化为另一个参数,再结合函数最值相应的求法来求最值.二、填空题,本大题共6小题,共30分。11.【答案】【解析】【分析】首先利用共线设出的坐标,再利用数量积为的条件求出向量.【详解】依题意设,所以,解得.故.【点睛】本小题主要考查空间两个向量共线的表示,考查空间向量数量积的计算,属于基础题.12.【答案】【解析】【分析】根据题目将数列前项的和分成奇数项和偶数项的和,分别用等比数列和等差数列的前项和公式求和,然后相加可求得的值.【详解】根据题意可知,数列的奇数项是首项为,公比为的等比数列;数列的偶数项是首项为,公差为的等差数列.故.【点睛】本小题主要考查等差数列、等比数列的识别,考查等差数列、等比数列的前项和公式,考查分组求和法.如果一个数列满足,那么这个数列是等差数列,如果一个非零数列满足,则数列为等比数列.如果一个数列的项分成两类,那么可以考虑分组求和法求得前项和.13.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】设的中点为,连接,利用线面垂直的判定定理,证得平面,由此求得所成的角,同时根据平面可知是二面角的平面角,用余弦定理求得其余弦值.【详解】设的中点为,连接,根据正四面体的性质可知,故平面,所以,即两条异面直线所成的角为.同时,由于平面,,故是二面角的平面角,设正四面体的边长为,则,由余弦定理的.【点睛】本小题主要考查空间两条异面直线所成的角,考查线面垂直的证明,考查二面角的平面角的余弦值的几何求法.要求两条异面直线所成的角,一种方法是将两条异面直线平移到一起,另一种方法就是通过线面垂直,证得两条一面直线是垂直的,也就是异面直线所成的角为.14.【答案】(答案不唯一)【解析】【分析】根据题目所给数列的单调性,结合先减后增函数,写出数列的一个通项公式.【详解】依题意可知,数列前两项是递减的,从第二项起,后面的项是递增的,故可以考虑,符合题意.也可以是.【点睛】本小题主要考查数列的单调性,属于基础题.数列前两项递减,后面的项递增,故在第二项取得最小值,根据这个特征易得结论,属于基础题.15.【答案】【解析】【分析】根据等比数列前项和公式,进行对比,可求得的值.【详解】由于等比数列前项和公式为,即的系数和常数项互为相反数.而题目中,故,解得.【点睛】本小题主要考查等比数列前项和公式的函数特点,通过比较系数列方程,解方程可求得常数的值.对于等比数列前项和公式,可以通过转化化简为,可观察到的系数和常数项互为相反数.等差数列前项和公式,与二次函数也有点类似.16.【答案】【解析】【分析】根据题意可知项链左侧和右侧是公差不同的等差数列,根据等差数列前项和公式,列方程,可求得最大的那颗珍珠的价值.【详解】设最大珍珠的价值为,依题意,项链左边是首项为,公差为,一共有项的等差数列;项链右边是首项为,公差为,一共有项的等差数列,故全部珍珠的价值为,解得.【点睛】本小题主要考查等差数列在实际生活中的应用,考查等差数列的识别,考查等差数列前项和公式以及分组求和法.已知数列的首项和公差,可根据等差数列前项和公式求得数列的前项和,如果所要求和的数列明显分成两组,可考虑用分组求和法求得它的前项和.属于基础题.三、解答题:共6个小题,共80分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。17.【答案】(I)或;(II);(III)【解析】【分析】(I)利用设出的坐标,利用列方程,解方程求得的坐标.(II)利用两个向量垂直,则它们的数量积为零,列方程,解方程可求得的值.(III)利用两点间的距离公式计算的长度,利用余弦定理求得某一个角的余弦值,然后求得其正弦值,再由三角形的面积公式求得三角形的面积.【详解】(I),由于,故可设,故,解得,故为或.(II),由于与垂直,则.(III)依题意,故由余弦定理得,所以.故三角形面积为.【点睛】本小题主要考查空间两个向量平行的坐标表示,考查空间向量模的运算,考查空间两个向量垂直的坐标表示,以及考查空间三角形面积的求法.已知空间中三个点的坐标,要求这个这三个点围成三角形的面积,可利用两点间的距离公式求得三条边的长,利用余弦定理求得某一个角的余弦值,然后求得其正弦值,再由三角形的面积公式求得三角形的面积.18.【答案】(I)详见解析 (II)【解析】【分析】以分别为轴建立空间直角坐标系.(I)利用直线的方向向量和平面的内的两条相交直线垂直,证得平面.(II)利用平面和平面的法向量计算二面角的余弦值.【详解】以分别为轴建立空间直角坐标系.故,,.(I)由于,所以,因为,故平面.(II)由(I)知是平面的法向量.设,由于,故是平面的法向量.设是二面角的平面角,由图可知为锐角,故.【点睛】本小题主要考查利用空间向量法证明线面垂直,考查利用空间向量的方法求二面角的余弦值,属于中档题.要证明直线和平面垂直,除了利用几何法来证明外,还可以用向量法来证明,即证明直线对应的方向向量,和平面内两条相交直线的方向向量的数量积为零,即可证得直线和平面垂直.19.【答案】(I);(II);(III)详见解析.【解析】【分析】(I)根据等比中项的性质列方程,转化为的形式,解方程求得的值,进而求得通项公式.(II)利用错位相减求和法求得数列的前项和.(III)利用裂项求和法求得的值,由此证得.【详解】()由于,成等比数列,所以,故,由于,解得,所以.(II)由(I)得,故,两式相减得,即.(III)由(I)得,故.【点睛】本小题主要考查等比中项的性质,考查等差数列基本量的计算以及等差数列通项公式的求解,考查错位相减求和法,考查裂项相消求和法.如果一个数列是由等差数列乘以等比数列所构成,那么可以利用错位相减法求得前项和.如果一个数列的分母是由两个公差相同的等差数列相乘所得,可以考虑用裂项求和法求和.20.【答案】(I)详见解析;(II);(III)【解析】【分析】以分别为轴建立空间直角坐标系.(I)通过计算证得两条直线垂直.(II)通过直线的方向向量和平面的法向量,计算线面角的正弦值.(III)利用中位线,过作一平面平行与平面,且与相交于.根据比例求得的值.【详解】以分别为轴建立空间直角坐标系.故,,,,.(I)由于,故.(II)由于,故是平面的法向量,设直线和平面所成的角为,则.(III)设是的中点,连接,过作交于,连接.由于是中点,故,所以平面平面,故平面.由于,故.【点睛】本小题主要考查利用空间向量法证明线线垂直,考查利用空间向量的方法求线面角的正弦值,属于中档题.要证明直线和直线垂直,除了利用几何法来证明外,还可以用向量法来证明,即证明两条直线对应的方向向量的数量积为零,即可证得直线和直线垂直.21.【答案】(I)A公司;(II)第7年.【解析】【分析】(I)根据增长率,建议选择A公司.(II)求得两个公司年薪的表达式,比较年薪的大小关系,由此得出结论.【详解】(I)由于A公司年薪增长快,越到后面工资越高,故建议选择A公司.(II)设A公司年薪为,B公司年薪为,令,两边取以为底的对数并化简得,故当时,A公司提供的该岗位年薪能否超过B公司.【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式的应用,考查数列比较大小的方法,考查数列在实际生活的案例.22.【答案】(I);(II)不具有,理由见解析;(III)详见解析.【解析】【分析】(I)具有“性质P”的数列中的任何两项的乘积,还是这个数列的项,故考虑奇数乘以奇数,结果还是奇数,得到满足题意的数列.(II)根据首项和公差得到数列的通项公式,通过计算符合的值不存在,判断出数列不具有“性质P”(III)将和分成、,三类,判断出这三类不具有“性质P”,故具有“性质P”.【详解】(I)(II)若,公差d=3,则数列不具有性质P理由如下:由题知,对于和,假设存在正整数k,使得,则有,解得,矛盾!所以对任意的,(III)若数列具有“性质P”,则假设,则对任意的,设,则,矛盾!假设,则存在正整数t,使得设,L,t+1则,但数列中仅有t项小于等于0,矛盾!假设,则存在正整数t,使得设,则,但数列中仅有t项大于等于0,矛盾!综上, 【点睛】本小题主要考查新定义概念的理解和运用,考查用举反例的方法证明命题.属于中档题.14 / 14
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