高中数学必修5同步练习与单元测试第一章§1.2(一)

1.2应用举例(一)课时目标1了解数学建模的思想；2利用正、余弦定理解决生产实践中的有关距离的问题1基线的定义：在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线一般来说，基线越长，测量的精确度越高2方位角：指从正北方向线按顺时针方向旋转到目标方向线所成的水平角如图中的A点的方位角为.3计算不可直接测量的两点间的距离是正弦定理和余弦定理的重要应用之一一、选择题1若点P在点Q的北偏西4510方向上，则点Q在点P的()A南偏西4510 B南偏西4450C南偏东4510 D南偏东4450答案C2已知两灯塔A和B与海洋观测站C的距离都等于a km，灯塔A在观测站C的北偏东20方向上，灯塔B在观测站C的南偏东40方向上，则灯塔A与灯塔B的距离为()Aa km B.a kmC.a km D2a km答案B解析ACB120，ACBCa，由余弦定理得ABa.3海上有A、B两个小岛相距10 n mile，从A岛望C岛和B岛成60的视角，从B岛望C岛和A岛成75的视角，则B、C间的距离是()A10 n mile B. n mileC5 n mile D5 n mile答案D解析在ABC中，C180607545.由正弦定理得：解得BC5.4如图所示，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，ACB45，CAB105后，就可以计算A、B两点的距离为()A50 m B50 mC25 m D. m答案A解析由题意知ABC30，由正弦定理，AB50 (m)5如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15，与灯塔S相距20海里，随后货轮按北偏西30的方向航行30分钟后到达N处，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为()A20() 海里/小时B20() 海里/小时C20() 海里/小时D20() 海里/小时答案B解析由题意，SMN45，SNM105，NSM30.由正弦定理得.MN10()则v货20() 海里/小时6甲船在岛B的正南A处，AB10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时，乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60的方向驶去当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是()A. 分钟 B. 小时C21.5 分钟 D2.15 分钟答案A解析设行驶x小时后甲到点C，乙到点D，两船相距y km，则DBC18060120.y2(104x)2(6x)22(104x)6xcos 12028x220x10028(x2x)100282100当x(小时)(分钟)时，y2有最小值y最小二、填空题7如图，A、B两点间的距离为_答案38如图，A、N两点之间的距离为_答案409如图所示，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A、B，望对岸标记物C，测得CAB30，CBA75，AB120 m，则河的宽度为_答案60 m解析在ABC中，CAB30，CBA75，ACB75.ACBABC.ACAB120 m.作CDAB，垂足为D，则CD即为河的宽度由正弦定理得，CD60(m)河的宽度为60 m.10太湖中有一小岛，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车测得小岛在公路的南偏西15的方向上，汽车行驶1 km后，又测得小岛在南偏西75的方向上，则小岛到公路的距离是_ km.答案解析如图，CAB15，CBA18075105，ACB1801051560，AB1 km.由正弦定理得BCsin 15 (km)设C到直线AB的距离为d，则dBCsin 75 (km)三、解答题11如图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75，距离为12 n mile，在A处看灯塔C在货轮的北偏西30，距离为8 n mile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120方向上，求： (1)A处与D处的距离；(2)灯塔C与D处的距离解(1)在ABD中，ADB60，B45，由正弦定理得AD24(n mile)(2)在ADC中，由余弦定理得CD2AD2AC22ADACcos 30，解得CD814(n mile)即A处与D处的距离为24 n mile，灯塔C与D处的距离约为14 n mile.12如图，为测量河对岸A、B两点的距离，在河的这边测出CD的长为km，ADBCDB30，ACD60，ACB45，求A、B两点间的距离解在BDC中，CBD1803010545，由正弦定理得，则BC(km)在ACD中，CAD180606060，ACD为正三角形ACCD(km)在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos 452，AB(km)答河对岸A、B两点间距离为km.能力提升13台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的持续时间为()A0.5小时 B1小时C1.5小时 D2小时答案B解析设t小时时，B市恰好处于危险区，则由余弦定理得：(20t)2402220t40cos 45302.化简得：4t28t70，t1t22，t1t2.从而|t1t2|1.14如图所示，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的B1处，此时两船相距20海里当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的B2处，此时两船相距10海里问乙船每小时航行多少海里？解如图所示，连结A1B2，由已知A2B210，A1A23010，A1A2A2B2，又A1A2B218012060，A1A2B2是等边三角形，A1B2A1A210.由已知，A1B120，B1A1B21056045，在A1B2B1中，由余弦定理，B1BA1BA1B2A1B1A1B2cos 45202(10)222010200.B1B210.因此，乙船速度的大小为6030(海里/小时)答乙船每小时航行30海里1解三角形应用问题的基本思路是：实际问题数学问题数学问题的解实际问题的解2测量距离问题：这类问题的情境一般属于“测量有障碍物相隔的两点间的距离”在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，测量工具要有较高的精确度