资源描述
3.1 随机过程基本概念 3.2 平稳随机过程 3.3 高斯随机过程 3.4 平稳随机过程通过线性系统 3.5 窄带随机过程 3.6 正弦波加窄带高斯噪声 3.7 高斯白噪声和带限白噪声,第3章 随机过程,1,3.1 随机过程基本概念,一、随机过程(t) 的定义： 随时间变化的随机变量（）,样本函数i (t)：随机过程的一次实现， 是确定的时间函数。 随机过程： (t) =1 (t), 2 (t), , n (t) 是全部样本函数的集合。,n台示波器同时观测并记录这n台接收机的输出噪声波形,t1,t2,2,3.1 随机过程基本概念,角度2：随机过程是随机变量概念的延伸。 在任一给定时刻t1上，每一个样本函数 i (t) 都是一个确定数值 i (t1) ，但是每个 i (t1) 都是不可预知的。 在一个固定时刻t1上，不同样本的取值 i (t1), i = 1, 2, , n 是一个随机变量，记为 (t1)。 换句话说，随机过程在任意时刻的值是一随机变量。 因此，我们又可以把随机过程看作是在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。,3,3.1 随机过程基本概念,设 (t)表示一个随机过程，则它在任意时刻 t1的值 (t1) 是一个随机变量，随机变量的统计特性可以用下面函数描述: 随机过程 (t)的一维分布函数： 随机过程 (t)的一维概率密度函数：,二、随机过程的分布函数,偏导存在,4,3.1 随机过程基本概念,随机过程 (t)的二维分布函数： 随机过程 (t)的二维概率密度函数：,一维统计特性不能描述多个时刻上随机变量的关系，即随机过程随时间变化的特点。,偏导存在,5,3.1 随机过程基本概念,随机过程 (t)的任意n维分布函数： 随机过程 (t)的任意n维概率密度函数：,偏导存在,6,3.1 随机过程基本概念,三、 随机过程的数字特征 均值（数学期望）： 在任意给定时刻 t1 的取值 (t1) 是随机变量，均值, (t1)的概率密度函数,由于 t1 是任取的，所以可以把 t1 直接写为 t ， x1 改为 x ，这样 上式,7,3.1 随机过程基本概念,三、 随机过程的数字特征 1、均值,a (t ), (t) 的均值是时间的确定函数，常记作 a ( t )，它表示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心 :,8,3.1 随机过程基本概念,三、 随机过程的数字特征 2、方差,均方值,均值平方,方差常记为 2( t )。这里也把任意时刻 t1 直接写成了t 。,所以，方差等于均方值与均值平方之差，表示随机过程在 t 对于均值 a ( t ) 的偏离程度。,9,3.1 随机过程基本概念,三、 随机过程的数字特征 3、相关函数 式中， (t1) 和 (t2) 分别是在 t1 和 t2 时刻观测得到的随机变量。可以看出，R(t1, t2)是两个变量 t1 和 t2 的确定函数。,10,3.1 随机过程基本概念,三、 随机过程的数字特征 4、协方差函数,式中 a (t1) 、 a (t2) - 在t1和t2时刻得到的 (t)的均值 f2 (x1, x2; t1, t2) - (t)的二维概率密度函数,11,3.1 随机过程基本概念,三、 随机过程的数字特征 相关函数与协方差函数关系为： B(t1, t2)=R(t1, t2) - a(t1)a(t2) 由于B(t1, t2)和R(t1, t2) 是衡量同一过程的相关程度的， 因此，它们又常分别称为自协方差函数和自相关函数。,12,3.2 平稳随机过程,一、定义、性质与特点： 若一个随机过程 (t) 的任意有限维分布函数与时间起点无关，也就是说，对于任意的正整数 n 和所有实数 ，有,则称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过程，简称严平稳随机过程。,13,3.2 平稳随机过程,性质： 该定义表明，平稳随机过程的统计特性不随时间的推移而改变，即它的一维分布函数与时间 t 无关： 而二维分布函数只与时间间隔 = t2 t1有关：,14,3.2 平稳随机过程,数字特征： 特点：（1）其均值与 t 无关，为常数 a ； （2）自相关函数只与时间间隔 有关。具有以上两个特点称为广义平稳随机过程。,15,3.2 平稳随机过程,通信系统中所遇到的信号及噪声，大多数可视为平稳的随机过程。以后讨论的随机过程除特殊说明外，均假定是平稳的， 且均指广义平稳随机过程， 简称平稳过程。,16,3.2 平稳随机过程,二、各态历经性： 问题的提出：我们知道，随机过程的数字特征（均值、相关函数）是对随机过程的所有样本函数的统计平均，但在实际中常常很难测得大量的样本,这样，我们自然会提出这样一个问题： 能否从一次试验而得到的一个样本函数x(t)来决定平稳过程的数字特征呢?,17,3.2 平稳随机过程,二、各态历经性： 回答是肯定的。平稳过程在满足一定的条件下具有一个有趣而又非常有用的特性，称为“各态历经性”（又称“遍历性”）。具有各态历经性的过程，其数字特征（均为统计平均）完全可由随机过程中的任一实现的时间平均值来代替。 下面，我们来讨论各态历经性的条件。,18,3.2 平稳随机过程,二、各态历经性： 设：x(t) 是平稳过程 (t) 的任意一次实现(样本), 若,即：过程的数字特征（统计平均）完全可由随机过程中的任一实现的时间平均值来代替。,19,3.2 平稳随机过程,例3-1 设一个随机相位的正弦波为,其中，A和c均为常数；是在(0, 2)内均 匀分布的随机变量。试讨论(t)是否具有各 态历经性。 解：(1)先求(t)的统计平均值： 数学期望,20,3.2 平稳随机过程,自相关函数,21,3.2 平稳随机过程,可见，(t)的数学期望为常数，而自相关函数与t 无关，只与时间间隔 有关， 所以 (t)是 广义平稳过程。,22,3.2 平稳随机过程,(2) 求 (t) 的时间平均值,23,3.2 平稳随机过程,比较统计平均与时间平均，可见： 结论：随机相位余弦波是各态历经的。,24,3.2 平稳随机过程,三、自相关函数： R()=E(t)(t+) 平稳随机过程的自相关函数具有以下特点： (t)的平均功率,信号的总能量,信号的平均功率,数学期望 正是信号均值,25,3.2 平稳随机过程,平稳随机过程的自相关函数具有以下特点： 的偶函数,因为与时间的起点无关，关于 y 轴对称, R() 的上界，即最大值。,证明：,因为,26,3.2 平稳随机过程,平稳随机过程的自相关函数具有以下特点： (t) 的直流功率,证明：,27,3.2 平稳随机过程,平稳随机过程的自相关函数具有以下特点： (t) 的交流功率,证明：,28,3.2 平稳随机过程,四、功率谱密度： 对于任意的确定功率信号f (t)，它的功率谱密度定义为,式中，FT ( f )是f (t)的截短函数fT (t) 所对应的频谱函数,对于平稳随机过程 (t) ，可以把f (t)当作是(t)的一个样本；某一样本的功率谱密度不能作为过程的功率谱密度,29,3.2 平稳随机过程,四、功率谱密度： 定义：,30,3.2 平稳随机过程,功率谱密度的计算： 维纳-辛钦关系 自相关函数与其功率谱密度 是一对傅里叶变换。 记为,31,3.2 平稳随机过程,自相关函数与其功率谱密度 关系 证明：,32,3.2 平稳随机过程,作变量替换，令 u v = ， u + v = t ，上式的二重积分变换到下面的区域上：,33,3.2 平稳随机过程,坐标变换，du , dv 变换成 u = (t + ) ，v = ( -t),原积分可以写成,34,3.2 平稳随机过程,令 T 取极限,维纳-辛钦定理,35,3.2 平稳随机过程,对功率谱密度进行积分，可得平稳过程的总功率：,推论：,各态历经过程的任一样本函数的功率谱密度等于过程的功率谱密度。,功率谱密度P ( f )具有非负性和实偶性，即有,36,3.2 平稳随机过程,例3-2求随机相位余弦波(t) = Acos(ct + )的自相关函数和功率谱密度。,由维纳-辛钦关系，以及,得到,解：在例3-1中，已经求出(t)的相关函数为,37,3.2 平稳随机过程,本课常见信号变换对,门函数,指数函数,正弦函数,38,3.2 平稳随机过程,时移,频移,尺度,卷积定理,39,3.2 平稳随机过程,满足 平稳 性质,各态经历：时间平均 统计平均,时域 频 域,（条件1）：（1）其均值与 t 无关，为常数 a ； （2）自相关函数只与时间间隔 有关。,（条件2）：,小结：,40,3.3 高斯（正态）随机过程,一、定义 若任意n维概率密度函数可表示为,则称该随机过程为高斯（正态）随机过程。式中,41,3.3 高斯（正态）随机过程,B为归一化协方差矩阵的行列式，即 其中,42,3.3 高斯（正态）随机过程,二、重要性质 1、 n维概率密度函数由数字特征确定；,高斯过程的n维分布只依赖各个随机变量的均值、方差和归一化协方差。,2、广义平稳的高斯过程也是严平稳的；,若过程平稳 - 其均值为常数 ，协方差函数只与有关，而与时间起点无关，则它的n维分布也与时间起点无关,43,3.3 高斯（正态）随机过程,二、重要性质 3、若不同时刻的取值是不相关的，则它们也是统计独立的；,如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，即对所有j k，有bjk =0，则其概率密度可以简化为,44,3.3 高斯（正态）随机过程,二、重要性质 4、高斯过程经过线性变换后生成的过程仍是高斯过程。 可以说，若线性系统的输入为高斯过程，则系统输出也是高斯过程。,45,3.3 高斯（正态）随机过程,三、高斯随机变量 高斯过程在任一时刻上是一个高斯随机变量，其一维概率密度函数为,46,3.3 高斯（正态）随机过程,性质： f (x)对称于直线 x = a,a表示分布中心， 称为标准偏差，表示集中程度，图形将随着 的减小而变高和变窄。当a = 0和 = 1时，称为标准化的正态分布。,47,3.3 高斯（正态）随机过程,计算：正态分布函数 令 得,48,3.3 高斯（正态）随机过程,误差函数 和 互补误差函数 误差函数的定义式为：,它是自变量的递增函数 erf(0) = 0，erf() = 1，且 erf(-x) = - erf(x)。,49,3.3 高斯（正态）随机过程,用互补误差函数 erfc(x) 表示正态分布函数：,当x 2时，,50,3.3 高斯（正态）随机过程,用Q函数表示正态分布函数： Q函数定义：,Q函数 是一种经常用于表示 高斯尾部曲线下的面积的函数,51,3.3 高斯（正态）随机过程,Q函数和erfc函数的关系：,或,Q函数和分布函数 F(x) 的关系：,52,3.4 平稳随机过程通过线性系统,若输入过程是平稳的，输出过程是否平稳？ 输入信号与输出信号的统计关系如何？ 如何求输入过程的均值与自相关函数？,53,3.4 平稳随机过程通过线性系统,随机信号通过线性系统： 假设 i(t) 是平稳的输入随机过程， a 均值， Ri() 自相关函数， Pi() 功率谱密度 求输出过程 o(t) 的统计特性，即它的均值、自相关函数、功率谱以及概率分布。,54,3.4 平稳随机过程通过线性系统,对下式两边取统计平均： 得到,1. 输出过程 o(t) 的均值:,55,3.4 平稳随机过程通过线性系统,由于设输入过程是平稳的 ，则有,H(0)是线性系统在 f = 0处的频率响应，可见输出过程的均值是常数。,56,3.4 平稳随机过程通过线性系统,2、输出过程o(t) 的自相关函数： 根据自相关函数的定义,57,3.4 平稳随机过程通过线性系统,根据输入过程的平稳性，有 于是,输出过程的自相关函数仅是时间间隔 的函数。 通过对输出过程的数学期望和自相关函数证明，若线性系统的输入是平稳的，则输出也是平稳的,58,3.4 平稳随机过程通过线性系统,3、输出过程o(t) 的功率谱密度,令 = + - ，代入上式，得到,59,3.4 平稳随机过程通过线性系统,结论：输出过程的功率谱密度是输入过程的功率谱密度乘以系统频率响应模值的平方。 应用：由Po( f ) 的反傅里叶变换求 Ro(),60,3.4 平稳随机过程通过线性系统,4. 输出过程Po(t)的概率分布 如果线性系统的输入过程是高斯型的， 则系统的输出过程也是高斯型的。 因为从积分原理看， 可以表示为：,61,3.4 平稳随机过程通过线性系统,由于已假设 i (t) 是高斯型的，则 输出过程在任一时刻上得到的随机变量就是无限多个高斯随机变量之和。 注意，与输入高斯过程相比，输出过程的数字特征已经改变了。,62,3.7 高斯白噪声和带限白噪声,1、白噪声：功率谱密度在所有频率上均为常数的噪声，即 双边功率谱密度 或 单边功率谱密度 式中 n0 正常数 白噪声的自相关函数：对双边功率谱密度取傅里叶反变换，得到相关函数,63,3.7 高斯白噪声和带限白噪声,白噪声和其自相关函数的曲线,f,0,64,3.7 高斯白噪声和带限白噪声,白噪声的功率 由于白噪声的带宽无限，其平均功率为无穷大,真正“白”噪声是不存在的，只是构造一种理想化噪声形式。 实际中，只要噪声的功率谱均匀分布的频率范围远远大于通信系统的工作频带，我们就可以把它视为白噪声。 白噪声取值的概率分布服从高斯分布，称之为高斯白噪声。 高斯白噪声在任意两个不同时刻上的随机变量之间，不仅是互不相关的，而且还是统计独立的。,65,3.7 高斯白噪声和带限白噪声,2、低通白噪声：如果白噪声通过理想矩形的低通滤波器或理想低通信道，则输出的噪声称为低通白噪声。 功率谱密度,由于功率谱频带受限亦称为带限白噪声。,自相关函数,66,3.7 高斯白噪声和带限白噪声,功率谱密度 和 自相关函数曲线,由曲线看出，这种带限白噪声只有在,上得到的随机变量才不相关。,67,3.7 高斯白噪声和带限白噪声,3、带通白噪声：如果白噪声通过理想矩形的带通滤波器或理想带通信道，则其输出的噪声称为带通白噪声。,理想带通滤波器的传输特性为：,功率谱密度,68,3.7 高斯白噪声和带限白噪声,自相关函数 平均功率,69,3.7 高斯白噪声和带限白噪声,带通白噪声的功率谱和自相关函数曲线,1/B,70,3.5 窄带随机过程,定义：若随机过程(t)的谱密度集中在中心频率fc附近相对窄的频带范围 f 内，即满足f fc的条件，且 fc 远离零频率，则称该(t)为窄带随机过程。功率谱密度图,71,3.5 窄带随机过程,波形：,72,3.5 窄带随机过程,窄带随机过程的表示：,a (t) 随机包络， (t) 随机相位 c 中心角频率 a (t) 和 (t) 的变化相对于载波cosct 的变化要缓慢得多,73,3.5 窄带随机过程,式中 (t)的同相分量 (t)的正交分量 (t) 的统计特性由a(t)和(t) 或 c(t) 和 s(t)的统计特性确定。若(t)的统计特性已知，则a (t)和(t) 或 c(t)和s(t)的统计特性也随之确定。,74,3.5 窄带随机过程,c(t)和s(t)的统计特性 数学期望：对(t)求数学期望得到 因为 (t) 平稳且均值为零， 故对于任意的时间t，都有 E(t) = 0 ，所以,75,3.5 窄带随机过程,(t)的自相关函数：,因为(t) 是平稳的，故有,这就要求上式的右端与时间 t 无关，而仅与 有关。因此，若令 t = 0，上式仍应成立，,76,3.5 窄带随机过程,它变为,所以，上式变为,因与时间 t 无关，以下二式自然成立,77,3.5 窄带随机过程,再令 t = /2c，同理可以求得 由以上分析可知，若窄带过程(t)是平稳的，则c(t)和s(t)也必然是平稳的。 进一步分析，下两式应同时成立，,比较,78,3.5 窄带随机过程,故有 同相分量c(t) 和正交分量s(t)具有相同的自相关函数。 根据互相关函数的性质，应有 代入上式，得到 ， 表明Rsc()是 的奇函数，所以 。 同一时刻的同相和正交分量是互相正交的。,79,3.5 窄带随机过程,将 代入,结论：(t) 、 c(t) 和s(t) 具有 相同的 平均功率 或 方差。,即,得,80,3.5 窄带随机过程,根据平稳性，过程的特性与变量 t 无关，故由式,因为(t)是高斯过程，所以， c(t1)， s(t2)一定是高斯随机变量，从而c(t) 、 s(t)也是高斯过程。,得到,81,3.5 窄带随机过程,根据 可知， c(t) 与s(t)在 = 0处互不相关，又由于它们是高斯型的，因此c(t) 与s(t)也是统计独立的。 结论：一个均值为零的窄带平稳高斯过程(t) ，它的同相分量c(t)和正交分量s(t)同样是平稳高斯过程，而且均值为零，方差也相同。此外，在同一时刻上得到的 c 和 s 是互不相关的或统计独立的。,82,3.5 窄带随机过程,3.5.2 包络a(t)和相位(t)的统计特性 联合概率密度函数 f (a , ) 根据概率论知识有 由 可以求得,83,3.5 窄带随机过程,于是有 式中 a 0, (0 2),84,3.5 窄带随机过程,包络a的一维概率密度函数 再利用概率论中边际分布知识将f(a , )对积分 可见， a 服从瑞利(Rayleigh)分布。,85,3.5 窄带随机过程,相位的一维概率密度函数 可见， 服从均匀分布。,86,3.5 窄带随机过程,结论 一个均值为零，方差为2的窄带平稳高斯过程(t)，其包络a(t)的一维分布是瑞利分布，相位(t)的一维分布是均匀分布，并且就一维分布而言， a(t)与(t)是统计独立的 ，即有,87,3.6 正弦波加窄带高斯噪声,正弦波加窄带高斯噪声的表示式 式中,88,3.6 正弦波加窄带高斯噪声,正弦波加窄带高斯噪声的包络和相位表示式 包络： 相位： 包络的概率密度函数 f (z),由上一节的结果，如果值已给定，则zc、zs 是相互独立的高斯随机变量，且有,89,3.6 正弦波加窄带高斯噪声,根据zc，zs与z，之间的随机变量关系，求得在给定相位 的条件下的z与的联合概率密度函数,90,3.6 正弦波加窄带高斯噪声,然后求给定条件下的边际分布， 即 有 故有 式中I0(x) 第一类零阶修正贝塞尔函数,91,3.6 正弦波加窄带高斯噪声,因此 由上式可见，f (, z)与无关，故 称为广义瑞利分布，又称莱斯（Rice）分布。,92,3.6 正弦波加窄带高斯噪声,讨论 当信号很小时，即A 0时，上式中(Az/n2)很小，I0 (Az/n2) 1，上式的莱斯分布退化为瑞利分布。 当(Az/n2)很大时，有 这时上式近似为高斯分布，即,93,3.6 正弦波加窄带高斯噪声,包络概率密度函数 f (z)曲线,94,3.6 正弦波加窄带高斯噪声,正弦波加窄带高斯噪声的相位的统计特性,95,第3章总结,96,x(t),x( t -),R(),97,平稳过程自相关函数的性质 (t)的平均功率 的偶函数 R()的上界 即自相关函数R()在 = 0有最大值。 (t)的直流功率 表示平稳过程(t)的交流功率。当均值为0时，有 R(0) = 2 。,98,
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