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3.2数学归纳法的应用,第二章3数学归纳法与贝努利不等式,学习目标1.会用数学归纳法证明与正整数有关的不等式.2.了解贝努利不等式，并会证明贝努利不等式.3.体会归纳猜想证明的思想方法.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一用数学归纳法证明与正整数n有关的不等式,思考1用数学归纳法证明问题必须注意的步骤是什么？,答案(1)归纳奠基：验证初始值.(2)归纳递推：在假设nk成立的前提下，证明nk1时问题成立.,思考2证明不等式与证明等式有什么不同？,答案证明不等式需注意的是对式子进行“放缩”.,梳理利用数学归纳法证明不等式在运用数学归纳法证明不等式时，由nk时命题成立，推导nk1命题成立时，常常要与其他方法，如、_等结合进行.,比较法,分析法,综合法,放缩法,知识点二贝努利不等式,对任意实数x1和任何正整数n，有(1x)n1nx.,题型探究,类型一数学归纳法与放缩法结合证明不等式,证明,(2)假设当nk(kN，k2)时，命题成立，,即当nk1时，命题成立.由(1)(2)可知，不等式对一切nN，n2都成立.,反思与感悟在归纳递推过程中常用到放缩法，这也是在用数学归纳法证明不等式问题时常用的方法之一.,(2)假设当nk(k1，kN)时，不等式成立，,证明,所以当nk1时，不等式成立.由(1)(2)知，对于任意大于1的正整数n，不等式均成立.,类型二利用数学归纳法证明与数列有关的不等式,当n2时，anSnSn1，即SnSn12SnSn1.,解答,假设当nk(k1，kN)时，不等式成立，,证明,即当nk1时，不等式成立.由可知，对任意nN不等式都成立.,反思与感悟(1)首先掌握好数学归纳法求解问题的步骤及等差、等比数列的基础知识，这是解决这类问题的基础.(2)此类题型通常与数列的递推公式、通项公式有关，有时要证明的式子是直接给出，有时是根据条件从前几项入手，通过观察、猜想，归纳出一个式子，然后再用数学归纳法证明.,证明,达标检测,1,2,4,3,解析由题知，n的最小值为3，所以第一步验证n3是否成立.,1.用数学归纳法证明3nn3(n3，nN)，第一步验证A.n1B.n2C.n3D.n4,答案,解析,1,2,4,3,答案,解析,1,2,4,3,答案,解析,1,2,4,3,4.用数学归纳法证明：2n2n2，nN.,证明,1,2,4,3,证明(1)当n1时，左边2124；右边1，左边右边；当n2时，左边2226，右边224，所以左边右边；当n3时，左边23210，右边329，所以左边右边.因此当n1,2,3时，不等式成立.(2)假设当nk(k3且kN)时，不等式成立，即2k2k2.当nk1时，2k1222k22(2k2)22k22k22k1k22k3(k22k1)(k1)(k3)k22k1(k1)2(因为k3，所以k30，k10).,1,2,4,3,所以2k12(k1)2.故当nk1时，原不等式也成立.由(1)(2)知，原不等式对任何nN都成立.,规律与方法,数学归纳法证明不等式的技巧(1)证明不等式时，由nk到nk1的推证过程与证明等式有所不同，由于不等式中的不等关系，需要我们在证明时，对原式进行“放大”或者“缩小”，才能使用到nk时的假设，所以需要认真分析，适当放缩，才能使问题简单化，这是利用数学归纳法证明不等式时常用的方法之一.(2)数学归纳法的应用通常需要与数学的其他方法联系在一起，如比较法、放缩法、配凑法、分析法和综合法等，才能完成证明过程.,本课结束,
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