二维随机变量及其概率分布.ppt

第三章二维随机变量及其概率分布,从本讲起，我们开始第三章的学习.,一维随机变量及其分布,多维随机变量及其分布,由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，故我们重点讨论二维随机变量，3.6节的n维随机变量留待大家自习。,它是第二章内容的推广.,有些随机现象只用一个随机变量来描述是不够的，需要用几个随机变量同时来描述。例如：,3.导弹在空中的位置坐标(X,Y,Z);,1.某人的体检数据血压(X)和心律(Y)；,2.某炉钢的基本指标含碳量(X)、含硫量(Y)与硬度(Z)；,4.在打靶时,命中点的位置坐标(X,Y).,一般地，我们称n个随机变量的整体X=(X1,X2,，Xn)为n维随机变量或随机向量.以下重点讨论二维随机变量.,3.1二维随机变量及其联合分布函数,注意:,三、二维分布函数F(x,y)的基本性质,应用：p96习题2,3.2二维离散型随机变量,4.(X,Y)的联合分布律有如下性质：,X的边缘分布：,应用见p99例4，p102习题2,3.3二维连续型随机变量,一、二维连续型随机变量及联合分布,(X,Y)落在区间的概率,4.概率密度可由分布函数求得：,2.(X,Y)落在区间的概率：(X,Y)落在区域D内的概率为,二、边缘分布,关于X和Y的边缘概率密度,P104例3,独立性,三、独立性,P106例5,3.4条件分布,3.4条件分布,一、条件分布函数,注意，对连续型r.v.,有PY=y=0，上述条件概率无意义。为此，设Y在区间(y-y,y)内概率不为零，此时条件概率,便有意义,如果当y0时,此条件极限,存在，则将此极限定义为,并称为X的条件分布函数。,类比条件概率定义条件分布函数,二、条件分布律,三、条件概率密度,P110例2,二维随机变量函数的分布,3.5二维随机变量函数的分布,所谓二维随机变量(X,Y)的函数Z=g(X,Y)是指Z也是一个随机变量，且当(X,Y)取值(x,y)时，Z取值为z=g(x,y).Z的分布式本节要讨论的问题。,二、连续型随机变量函数的分布,一般情况下，设二维连续随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y),Z=g(x,y)为已知连续函数，利用“分布函数法”求Z=g(X,Y)的,概率密度，即首先求Z的分布函数，,两边求导便可得到Z的概率密度。,1.用分布函数法求函数的分布,P114例3,2.用公式求函数的联合概率密度,利用此公式，可得X与Y的和、差、积、商的概率密度,应用见p115例4,若X与Y相互独立，则此四式化为,应用见p117例5,p96NO.2;p102NO.2;p107NO.2;p108NO.7;p112NO.1;p112NO.3;p118NO.2;p118NO.4,作业：,例6(p106):设(X,Y)的分布律如下。问a,b,c为何值时，X与Y独立？,解：二维离散型随机变量独立的条件为,故需确定分布律及边缘分布，如下。,例2(p103):设(X,Y)的联合概率密度如下，试求C和PXY.,解:(1)设D为使f(x,y)0的平面区域，由题意可知，,(2)求PXY：设A表示XY时D的子集，即,其图形见右图双斜线部分。,例3(p104):设(X,Y)的概率密度由例2给出，试求关于X和Y的边缘概率密度fX(x),fY(y).,解：由例2知概率密度为,由图知，X只分布在-1,1间，在此范围，,所以，关于X的边缘概率密度为：,同理，由图知Y只分布在0,1间，在此范围，,所以，关于Y的边缘概率密度为：,例5(p106):设X和Y是相互独立、同分布的，其概率密度为,求PX+Y1。,解：设D是使f(x,y)0的xoy面上的区域，A是D内满足X+Y1的子区域，D和A如图所示。,例1(p109):设(X,Y)的分布律为,试求在X=2条件下，Y的条件分布律。,在X=2条件下，Y的条件分布律为：,例2(P110):设(X,Y)的概率密度为,解：由3.3.2例3已知边缘概率密度分别为：,例1(P113):一个仪器由两个主要部件组成，其总长度为此两部件的长度之和，这两个部件的长度分别为X和Y，且相互独立，其分布律分别如下。求此仪器总长度Z的分布。,解：由于Z=X+Y，可确定不同(X,Y)下Z的值及相应概率，如下。,再对相同Z值进行合并即可得Z的分布如下：,解：由题知X和Y服从正态分布，概率密度分别为：,因X和Y独立，故(X,Y)的联合概率密度为：,(1)由题知Z0时无分布，则在此范围Z的概率密度为0。,(2)在Z0范围，,利用极坐标变换，得：,上式对z求导，得：,综上，得z的概率密度为：,