概率论与数理统计考试试题.doc

概率论与数理统计试卷A（考试时间：90分钟； 考试形式：闭卷）（注意：请将答案填写在答题专用纸上，并注明题号。答案填写在试卷和草稿纸上无效）一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分)1、A，B为二事件，则BA、 B、 C、 D、2、设A，B，C表示三个事件，则表示DA、A，B，C中有一个发生 B、A，B，C中恰有两个发生C、A，B，C中不多于一个发生 D、A，B，C都不发生3、A、B为两事件，若，则成立CA、 B、C、 D、4、设A，B为任二事件，则DA、 B、C、 D、5、设事件A与B相互独立，则下列说法错误的是DA、与独立 B、与独立C、 D、与一定互斥6、设离散型随机变量的分布列为X012P0.30.50.2 其分布函数为，则DA、0 B、0.3 C、0.8 D、17、设离散型随机变量的密度函数为 ，则常数DA、 B、 C、4 D、58、设，密度函数，则的最大值是CA、0 B、1 C、 D、9、设随机变量可取无穷多个值0,1,2,其概率分布为，则下式成立的是A 泊松分布特性A、 B、 C、 D、10、设服从二项分布B(n,p),则有DA、 B、C、 D、11、独立随机变量，若XN(1,4)，YN(3,16)，下式中不成立的是CA、 B、 C、 D、X123p1/2c1/412、设随机变量的分布列为： 则常数c=CA、0 B、1 C、 D、 13、设,又常数c满足,则c等于CA、1 B、0 C、 D、-114、已知,则=BA、9 B、6 C、30 D、3615、当服从( )分布时,。BA、指数 B、泊松 C、正态 D、均匀16、下列结论中，不是随机变量与不相关的充要条件。DA、 B、C、 D、与相互独立17、设且，则有C np(1-p)=3.6A、 B、 np=6C、 D、18、设分别是二维随机变量的联合密度函数及边缘密度函数，则是与独立的充要条件。DA、 B、C、与不相关 D、对有19、设是二维离散型随机变量，则与独立的充要条件是DA、 B、 C、与不相关 D、对的任何可能取值 20、设的联合密度为，若为分布函数，则BA、0 B、 C、 D、1二、计算题(本大题共6小题，每小题7分，共42分)1、 若事件 A与B相互独立， 。求：和解：A与B相互独立（1分） （1分） （1分）又（1分） （2分） （1分）2、 设随机变量，且。求解： （5分） （2分）3、已知连续型随机变量的分布函数为，求和。解：由已知有 （3分）则： （2分） （2分）4、设连续型随机变量的分布函数为求： （1）常数A和B；（2）落入（-1，1）的概率；（3）的密度函数解：(1)由， 有： 解之有：， （3分）(2) （2分）(3) （2分）5、某射手有3发子弹，射一次命中的概率为，如果命中了就停止射击，否则一直独立射到子弹用尽。求：（1）耗用子弹数的分布列；（2）；（3） X123P2/32/91/9解：(1) （3分）(2) （2分）(3) （2分）6、设的联合密度为，求：（1）边际密度函数；（2）；(3）与是否独立解：(1) 同理： （3分）(2) 同理： （2分）(3) 与独立 （2分）三、解答题(本大题共2小题，每小题9分，共18分)1、 设，是来自正态总体的样本，下列 三个估计量是不是参数 的无偏估计量，若是无偏 估计量，试判断哪一个较优？ 1、 ，。解： 同理：为参数 的无偏估计量（3分）又 同理：， 且 较优 （6分）2、 2、设 。为 的一组观察值，求的极大似然估计。解：的似然函数为：（3分）解之有： （6分）概率论与数理统计一单项选择题（每小题3分，共15分）1设事件A和B的概率为 则可能为（D）(A) 0; (B) 1; (C) 0.6; (D) 1/62. 从1、2、3、4、5 这五个数字中等可能地、有放回地接连抽取两个数字,则这两个数字不相同的概率为（D）(A) ; (B) ; (C) ; (D)以上都不对3投掷两个均匀的骰子，已知点数之和是偶数，则点数之和为6的概率为（ A）(A) ; (B) ; (C) ; (D)以上都不对4某一随机变量的分布函数为，(a=0,b=1)则F(0)的值为（C ）(A) 0.1; (B) 0.5; (C) 0.25; (D)以上都不对5一口袋中有3个红球和2个白球，某人从该口袋中随机摸出一球，摸得红球得5分，摸得白球得2分，则他所得分数的数学期望为（C ）(A) 2.5; (B) 3.5; (C) 3.8; (D)以上都不对二填空题（每小题3分，共15分）1设A、B是相互独立的随机事件，P(A)=0.5, P(B)=0.7, 则= 0.85.2设随机变量，则n=_5_.3随机变量的期望为，标准差为，则=_29_.4甲、乙两射手射击一个目标，他们射中目标的概率分别是0.7和0.8.先由甲射击，若甲未射中再由乙射击。设两人的射击是相互独立的，则目标被射中的概率为_0.94_.5设连续型随机变量的概率分布密度为，a为常数，则P(0)=_ _.三(本题10分)将4个球随机地放在5个盒子里，求下列事件的概率(1) 4个球全在一个盒子里; (2) 恰有一个盒子有2个球.解：把4个球随机放入5个盒子中共有54=625种等可能结果（1）A=4个球全在一个盒子里共有5种等可能结果,故P(A)=5/625=1/125 (2) 5个盒子中选一个放两个球，再选两个各放一球有种方法4个球中取2个放在一个盒子里，其他2个各放在一个盒子里有12种方法因此，B=恰有一个盒子有2个球共有4330=360种等可能结果.故 四(本题10分) 设随机变量的分布密度为(1) 求常数A; (2) 求P(0，令，则( )AB.0C.1D.29设总体x1,x2,，xn为来自总体X的样本，为样本均值，则下列统计量中服从标准正态分布的是( )A.B. C.D.10设样本x1,x2,，xn来自正态总体，且未知为样本均值，s2为样本方差假设检验问题为，则采用的检验统计量为( D )A.B.C.D.二、填空题(本大题共15小题，每小题2分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11在一次读书活动中，某同学从2本科技书和4本文艺书中任选2本，则选中的书都是科技书的概率为_1/15_12设随机事件A与B相互独立，且，则_0.7_13设A,B为随机事件，则_0.64_14设袋中有2个黑球、3个白球，有放回地连续取2次球，每次取一个，则至少取到一个黑球的概率是_16/25_15设随机变量X的分布律为 ,则Px1)=_0.7_16设二维随机变量(X，Y)在区域D上服从均匀分布 ，其中记(X，Y)的概率密度为，则_1/4_17设二维随机变量(X，Y)的分布律为则PX=Y=_0.4_18设二维随机变量(X，Y)的分布函数为则_(1-e-1)2_19设随机变量X服从参数为3的泊松分布，则_0_20设随机变量X的分布律为 ，a,b为常数，且E(X)=0，则=_0.2_21设随机变量XN(1，1)，应用切比雪夫不等式估计概率_0.25_.22设总体X服从二项分布B(2，0.3)，为样本均值，则=_0.6_23设总体XN(0，1)，为来自总体X的一个样本，且，则n=_3_24设总体，为来自总体X的一个样本，估计量，则方差较小的估计量是_25在假设检验中，犯第一类错误的概率为0.01，则在原假设H0成立的条件下，接受H0的概率为_0.99_三、计算题(本大题共2小题，每小题8分，共16分)26设随机变量X的概率密度为求：(1)常数c；(2)X的分布函数；(3)27设二维随机变量(X，Y)的分布律为求：(1)(X，Y)关于X的边缘分布律；(2)X+Y的分布律四、综合题(本大题共2小题，每小题12分，共24分)28设随机变量X与Y相互独立，且都服从标准正态分布，令求：(1) (2)29设总体X的概率密度 其中未知参数是来自该总体的一个样本，求参数的矩估计和极大似然估计五、应用题(10分)30某生产线上的产品按质量情况分为A，B，C三类检验员定时从该生产线上任取2件产品进行抽检，若发现其中两件全是A类产品或一件A类一件B类产品，就不需要调试设备，否则需要调试已知该生产线上生产的每件产品为A类品、B类品和C类品的概率分别为0.9，0.05和0.05，且各件产品的质量情况互不影响求：(1)抽到的两件产品都为B类品的概率；(2)抽检后设备不需要调试的概率期末考试试卷参第一部分 基本题一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）（每道选择题选对满分，选错0分）1. 事件表达式AUB的意思是 ( )(A) 事件A与事件B同时发生(B) 事件A发生但事件B不发生(C) 事件B发生但事件A不发生(D) 事件A与事件B至少有一件发生答：选D，根据AUB的定义可知。2. 假设事件A与事件B互为对立，则事件AIB( )(A) 是不可能事件(B) 是可能事件(C) 发生的概率为1(D) 是必然事件答：选A，这是因为对立事件的积事件是不可能事件。3. 已知随机变量X,Y相互独立，且都服从标准正态分布，则X2Y2服从 ( )(A) 自由度为1的c2分布(B) 自由度为2的c2分布(C) 自由度为1的F分布(D) 自由度为2的F分布答：选B，因为n个相互独立的服从标准正态分布的随机变量的平方和服从自由度为n的c2分布。4. 已知随机变量X,Y相互独立，XN(2,4),YN(-2,1), 则( )(A) X+YP(4)(B) X+YU(2,4)(C) X+YN(0,5)(D) X+YN(0,3)答：选C，因为相互独立的正态变量相加仍然服从正态分布，而E(X+Y)=E(X)+E(Y)=2-2=0, D(X+Y)=D(X)+D(Y)=4+1=5, 所以有X+YN(0,5)。5. 样本(X1,X2,X3)取自总体X，E(X)=m, D(X)=s2, 则有( ) (A) X1+X2+X3是m的无偏估计(B) 是m的无偏估计(C) 是s2的无偏估计(D) 是s2的无偏估计答：选B，因为样本均值是总体期望的无偏估计，其它三项都不成立。6. 随机变量X服从在区间(2,5)上的均匀分布，则X的数学期望E(X)的值为( )(A) 2(B) 3(C) 3.5(D) 4答：选C，因为在(a,b)区间上的均匀分布的数学期望为(a+b)/2。二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分。把答案填在题中横线上）1. 已知P(A)=0.6, P(B|A)=0.3, 则P(AIB)= _答：填0.18, 由乘法公式P(AIB)=P(A)P(B|A)=0.60.3=0.18。2. 三个人独立地向一架飞机射击，每个人击中飞机的概率都是0.4，则飞机被击中的概率为_答：填0.784，是因为三人都不中的概率为0.63=0.216, 则至少一人中的概率就是1-0.216=0.784。3. 一个袋内有5个红球，3个白球，2个黑球，任取3个球恰为一红、一白、一黑的概率为_0.25_答：填0.25或，由古典概型计算得所求概率为。4. 已知连续型随机变量 则PX1.5=_答：填0.875，因PX1.5。5. 假设XB(5, 0.5)(二项分布), YN(2, 36), 则E(X+Y)=_答：填4.5，因E(X)=50.5=2.5, E(Y)=2, E(X+Y)=E(X)+E(Y)=2.5+2=4.56. 一种动物的体重X是一随机变量，设E(X)=33, D(X)=4，10个这种动物的平均体重记作Y，则D(Y)_0.4_答：填0.4，因为总体X的方差为4，10个样本的样本均值的方差是总体方差的1/10。三、有两个口袋，甲袋中盛有两个白球，一个黑球，乙袋中盛有一个白球，两个黑球。由甲袋任取一个球放入乙袋，再从乙袋中取出一个球，求取到白球的概率。（10分）解：设从甲袋取到白球的事件为A，从乙袋取到白球的事件为B，则根据全概率公式有四、已知随机变量X服从在区间(0,1)上的均匀分布，Y2X +1，求Y的概率密度函数。（10分）解：已知X的概率密度函数为Y的分布函数FY(y)为因此Y的概率密度函数为五、已知二元离散型随机变量(X,Y)的联合概率分布如下表所示： YX-112-10.10.20.320.20.10.1(1) 试求X和Y的边缘分布率(2) 试求E(X),E(Y),D(X),D(Y),及X与Y的相关系数rXY(满分10分)解：(1)将联合分布表每行相加得X的边缘分布率如下表：X-12p0.60.4将联合分布表每列相加得Y的边缘分布率如下表：Y-112p0.30.30.4(2) E(X)=-10.6+20.4=0.2, E(X2)=10.6+40.4=2.2,D(X)=E(X2)-E(X)2=2.2-0.04=2.16E(Y)=-10.3+10.3+20.4=0.8, E(Y2)=10.3+10.3+40.4=2.2D(Y)= E(Y2)-E(Y)2=2.2-0.64=1.56E(XY)=(-1)(-1)0.1+(-1)10.2+(-1)20.3+2(-1)0.2+210.1+220.1= =0.1-0.2-0.6-0.4+0.2+0.4=-0.5cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=-0.5-0.16=-0.66六、设某种电子管的使用寿命服从正态分布。从中随机抽取15个进行检验，算出平均使用寿命为1950小时，样本标准差s为300小时，以95%的置信概率估计整批电子管平均使用寿命的置信区间。 (满分10分)解：已知样本均值, 样本标准差s=300, 自由度为15-1=14, 查t分布表得t0.025(14)=2.1448, 算出, 因此平均使用寿命的置信区间为，即(1784, 2116)。附：标准正态分布函数表F(x)0.90.950.9750.99x1.2815511.6448531.9599612.326342t分布表Pt(n)ta(n)=a a N0.10.050.025141.34501.76132.1448151.34061.75312.1315161.33681.74592.1199第二部分 附加题附加题1设总体X的概率密度为其中q-1为未知参数，又设x1,x2,L,xn是X的一组样本观测值，求参数q的最大似然估计值。（满分15分）解：似然函数令，解出q的最大似然估计值为附加题2设随机变量X与Y相互独立，下表列出了二维随机变量(X,Y)联合分布律及关于X和关于Y的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处。（满分15分）Y Xy1y2y3PX=xi=x1x2PY=yj=1解：已知X与Y独立，则pij=P(X=xi,Y=yj)=P(X=xi)gP(Y=yj), 经简单四则运算，可得Y Xy1y2y3PX=xi=x1Kx2PY=yj=1第19页共19页