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第四章 刚体的运动规律 习 题 4-1 证明适用于薄的平面刚体的垂直轴定理 :一个平面刚体薄板 , 对于垂直板面的某轴 的转动惯量 , 等于绕平面内与该垂直轴相交的 任意两个相互垂直的轴的转动惯量之 和 , 即 Iz=Ix+Iy 分析：沿平面薄板建立 xy 坐标，垂直于薄板方向作 z 轴建 立坐标系。 解：依题意作右图所示 ,由定义求得 : y I x Idm 2 ydm 2 x dm) 2 y 2 x(dm 2 r z I +=+= += 4-2 计算由三根质量均为 lm 长为的均匀细杆组成的正三角形绕通过一顶点并垂直于三 角形平面的轴的转动惯量 . 分析：转动惯量具有可加性，首先求每个杆的单独的转动惯量，然后相加，即可。 解： OA 相对于 O 点的转动惯量 : 2 ml 3 1 1 I = OB相对于 O 点的转动惯量 : 2 ml 3 1 2 I = AB相对于 O 点的转动惯量 : 2 ml 6 5 2 )l 2 3 (m 2 ml 12 1 3 I =+= 或 =+= 2/l 2/l 2 ml 6 5 dL l m ) 2 l 4 3 2 L( 3 I 总的转动惯量为 : 2 ml 2 3 3 I 2 I 1 II =+= 4-3 一半圆形均匀细杆，其半径为 R，质量为 m，如图所示，试求细杆对过圆形圆心和 端点的轴 AA的转动惯量 . 分析：直接用转动惯量的定义求解。 解： r R d A Rddl = A z x y dm x y r l l 2 3 O A B l l Rd 2 )sinR(dm 2 rdI =Q 2 mR 2 1 2 3 R d 0 2 sin 3 RdII = 4-4 计算一个内半径为 R1，外半径为 R2 的圆筒对其几何中心轴的转动惯量 分析：直接用转动惯量的定义求解。 解：设圆筒质量为 M，高为 h，体密度为 ，则 ) 2 1 R 2 2 R( h M = = dm 2 rdII rdr2hdm = ) 2 2 R 2 1 R(M 2 1 ) 4 1 R 4 2 R(h 2 1 dr R R 3 rh2 rdr2h 2 rdm 2 rI 2 1 += = = 4-5 以垂直于盘面的力 F 将一粗糙平面紧压在一飞轮的盘面上， 使其制动 ,如图所示 .飞轮 可以看作是质量为 m、半径为 R 的匀质圆盘 , 盘面与粗糙平面间的摩擦系数为 , 轴的粗细可略 ,飞轮的初始角速度为 . (1)求摩擦力矩 . (2)经过多长时间飞轮才停止转动？ 分析：根据角动量定理，合外力矩等于角动量的时间变化率。本题中首先要求力矩，而 力矩是力与力的作用距离的乘积。然后再利用角动量定理求出飞轮的角加速度。 解： FR 3 2 R 0 dMM dNrdM rdr2 2 R F dN = = F4 0 mR3 M 0 2 mR 2 1 t t 0 ) 2 mR 2 1 (IM = =又 Q 0 R r dr 4-6 如图，两物体的质量分别为 m 1 和 m 2 ，滑轮的转动惯量为 I，半径为 R。 (1) 如果 m 2 与桌面之间为光滑接触，求系统的加速度 a 及绳中张力 T 1 和 T 2 . (2) 如果 m 2 与桌面之间的摩擦系数为 ,求系统的加速度和及绳中张力 T 1 和 T 2 .绳子与 滑轮间没有相对滑动。 分析：用隔离体法分别分析物体与滑轮所受的力。对每一个物体列动力学方程，然后求 解方程即可。 解： (1) 如图所示分为三个隔离体求解。 = = = R a IR) 2 T 1 T( a 2 m 2 T a 1 m 1 Tg 1 m += += += ) 2 m 1 m 2 R I () 2 m 2 R I (g 1 m 1 T ) 2 m 1 m 2 R I (g 2 m 1 m 2 T ) 2 m 1 m 2 R I (g 1 ma (2) = = = R a IR) 2 T 1 T( a 2 mg 2 m 2 T )g 2 mg 1 m( a 1 m 1 Tg 1 m 时 += += += ) 2 m 1 m 2 R I () 2 m 1 m 2 R I (g 1 m 1 T ) 2 m 1 m 2 R I (g 2 m) 2 R I 2 m 1 m( 2 T ) 2 m 1 m 2 R I (g) 2 m 1 m(a 4-7 有一个半径为 R=0.2 米，质量 m1=2.5 千克的匀质圆盘状定滑轮，轴处摩擦可略， 当在圆盘边缘上绕一轻绳，绳上缀一个质量 m2=0.51 千克的物体。试计算施在圆盘 上的力矩从静止开始，在 2 秒之内所作的功和 2 秒时物体 m2 的动能。 分析：本题中的滑轮是定轴转动，从刚体定轴转动的角动量定理，及力矩做功的角度去 m 2 T 2 I T 1 m 1 解： R v 2 MR 2 1 mRvLmgRtmgRdt +=Q 2 M m mgt v + = J2.8 2 ) 2 M m mgt (m 2 1 2 mv 2 1 m,k E = + = )J(2.20 2 ) m2M mgt (M 2 ) R v )( 2 MR 2 1 ( 2 1 2 I 2 1 WRT = + = = 4-8 两个飞轮 A 和 B 可以接合起来，使它们以相同的转速一起转动。已知 AB 两飞轮的 轴在同一直线上， A 轮的转动惯量为 I 1 =10 千克 米 2 ， B 轮的转动惯量为 I2=20 千克 米 2，开始时 A 以转速 n1=600 转 分 -1 匀速转动， B 轮静止 . 求 (1) 两轮接合后的转速； (2) 结合过程中机械能的损耗。 分析：在整个过程中，无外力矩。因此，角动量守恒。 解： (1) 已知 1=2n 接合过程中 ,摩擦属内力 , 又无其他外力矩，角动量守恒 I1 = (I1+I2) 所以 200 1 n 2 I 1 I 1 I 2 n = + = （转 /分） (2) )J( 4 1032.1 2 I 1 I 2 I 2 1 n 2 1 I2 2 ) 2 I 1 I( 2 1 2 1 1 I 2 1 E + =+= 4-9 质量为 m A 和 m B , 半径为 R A 和 R B 的两个圆盘同心地粘在一起 , 小圆盘边缘绕有绳 子 , 上端固定在天花板上 , 大圆盘也绕有绳子 , 下端挂以质量为 m 的物体 ,如图所示 . 求 : (1) 要使圆盘向上加速、向下加速 ,静止或匀速运动的条件 ? (2) 在静止条件下两段绳中的张力。轴处摩擦和绳的 质量忽略。绳与滑轮之间没有 m 2 R m 1 A B 相对滑动发生。 解：圆盘的运动属于纯滚动 .小圆盘与绳的切 点 O为 瞬时轴，则有： B gR) B m A m() B R A R(T += (1) 圆盘静止或匀速运动 ,则 m 也匀速运 动或静止 ,则有 T = mg B gR) B m A m() B R A R(mg += B gR) B m A m() B R A R(mg +当 圆盘向上加速运动 B gR) B m A m() B R A R(mg +2）的自由度为 6。 分析：要分析一个系统的自由度，首先把自由度分为平动自由度、转动自由度和振动自 h A BC C f r R x y N r gm r A r R 惯 F r x y 由度，然后分别去加以讨论。 答：对于刚体，由于各质点之间距离固定不变，因此没有相对运动，也就是没有振动， 那么刚体中没有振动自由度。无论刚体由几个质点组成，它都有x、y、z三个平动 自由度。对于N=2的系统，有2个转动自由度，当N2时，转动自由度为3。所以， N=2的系统，自由度为5；对于N2的系统，自由度为6。 4-17 以恒定角速度转动的飞轮上有两个点，一个点在飞轮的边缘，另一点在转轴与边 缘之间的一半处，试问：在 t 时间内，哪个点运动的路程比较长？哪个点转过的角度 比较大？哪个点具有较大的线速率、角速率、线加速度和角加速度？ 分析：本题考查匀速圆周运动中角速度、线速度、角加速度、线加速度以及路程等等的 概念。 答：假设飞轮边缘上的点为 A 点，转轴与边缘之间一半处的点为 B 点。那么，在飞轮 旋转过程中，t时间内，A点运动的路程较长； A 点和 B 点转过的角度一样大；A 点的线速率较大；两点的角速率相同；角加速度相同，均为 0；线加速度：切向加 速度均为0；法向加速度AB。 4-18 计算物体的转动惯量时，能否将物体的直来那个看作集中在质心处？ 分析：应该从转动惯量的定义来分析。 答： 计算物体的转动惯量时， 由于 dmrdI 2 = ,通常不能将物体的质量看作集中的质心处。 如果我们知道所求物体的回转半径 k，那么我们可以认为物体质量集中在质心处， 此时我们不需用转动惯量的定义式，只要用公式 2 mkI = 即可求出转动惯量。 4-19 在工程技术中， 人们常给出质量为 m， 对指定轴的转动惯量为 I 刚体的回转半径 k， 其定义为 k=(I/m) 1/2 。试说明 ; (1) k 2 是什么物理量关于质量分布的平均值； (2) k 是什么物理量的平方的平均值的平方根（简称方均根值） 。 分析：首先根据转动惯量的定义，求一个质量为 M 的系统的转动惯量。将所求结果与题 目中的 k=(I/M) 1/2 相比较。 答：根据转动惯量定义： dmrdI 2 = 得： = dmrI 2 已知： 2/1 )/( MIk = ， 得： 2 MkI = 。比较上述两式，得 (1) k 2 是转动惯量关于质量分布的平均值。 （2）所有质量微元与转动轴的距离的方均根值。 4-20 在某一瞬间， 物体在力矩作用下， 其角速度可以为零吗？其角加速度可以为零吗？ 分析：根据角动量定理，物体所受的合外力矩等于它的角动量随时间的变化率。所以外 力矩的作用是产生角加速度而不是角速度。 答：在某一瞬间，物体在力矩作用下，其角速度可以为零。但其角加速度不为零。 4-21 陀螺转速愈快，它站得愈稳，即愈能够 保持转轴的方向不变。这一性质称为陀螺 的稳定性。试由此说明枪筒或 炮膛内来福线的作用。 （提示：枪筒内刻上的一道道螺旋 形的小槽能使子弹射出时具有一定的转速。 ） 分析：枪筒中的来福线的作用是使出射的子弹具有一定的转速度。 答：枪膛内的来福线使子弹射出时具有一定的转动速度，如果没有来福线，子弹出射时 只有平动，没有转动。根据陀螺的稳定性原理：陀螺转速越快，越能保持转轴的方向不 变。实际上是由于对于没有转动只有平动的物体，只要受到一个与运动方向不同的力， 其运动方向就会发生改变。而对于有转动的物体，只有它受到力矩的作用时，其运动方 向才会发生改变。所以，由于来福线的作用，子弹出射时具有一定的转速，这样可以保 证子弹沿预定轨迹发射，提高命中率 4-22 质点系统的动能的改变与外力和内力都有关， 为什么刚体绕定轴转动时动能改变只 和外力有关，而与内力无关吗？ 分析：动能的改变是与作功相联系的，而不是单纯与力有关的。 答：在质点系统中，内力和外力都做功，所以，内力和外力都会引起系统动能的改变。 但是在刚体定轴转动问题中，内力不做功，所以，内力不改变刚体系统的动能。 对刚体定轴转动问题，也可以 从力矩做功的角度来考虑， 由于内力部队系统提供力 矩，所以内力不对刚体做功。 4-23 从能量角度讨论具有相同半径。相同质 量的匀质圆环，圆柱和空心球，沿同一斜 面从同一高度由静止开始下滚时，哪个将首先到达底部？顺序如何？一个塑料球和一个 同样半径的铁球，沿同一斜面由静止下滚，哪一个先达到底部？ 分析：本题考查不同物体势能与动能之间的转化过程。 答：对于具有相同半径、相同质量的匀质圆环、圆柱和空心球绕个自过质心的轴转动时， 转动惯量分别为： 2 mR= 环 I 、 2 mR 2 1 = 柱 I 、 2 mR 3 2 = 球 I 在这几个物体由斜面向下滚动 的过程中，只有重力做功， 因而机械能守恒。高度相 同，均由静止开始滚动，所以 初始时刻机械能相同。终了 时刻，重力势能全部转化 为动能（包括质心的平动动能和转动动能） ： 22 2 1 2 1 ImvE ck +=