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第一章 量子力学基础 A1. K的电子逸出功是 2.2 eV， Ni的电子逸出功是 5.0 eV，而 1 eV=1.610 -12 erg，波长为 4000 的紫光能否引起金属 K和 Ni的光电效应？ A2. Ce的逸出功是 1.9eV, 求 阈值频率和波长 . A3. 求 氘原子 H线 n=2到 n=3的 波 数 A4. 考虑相对论效应，则以速度 运动的粒子的动能为 202220 1 cccT 其中 0 为粒子的静止质量。试证明当 c 时， 2 021T 。 A5. 对于氢原子、一次电离的氦离子 He+和两次电离的锂粒子 Li+,分别计算它 们的：（ 1）第一、第二波尔轨道半径及电子在这些轨道上的速度；（ 2）电子 在基态的结合能；（ 3）由基态到第一激发态所需的激发能量及由第一激发态 退激到基态所放光子的波长。 A6. 在波长从 95nm 到 125nm的光带范围内，氢原子吸收光谱中包含哪些谱线？ A7. 已知氢和重氢的里德伯常量之比为 0.999728，而它们的核质量之比为 mH/mD=0.50020,试计算质子质量与电子质量之比。 A8. 已知琴弦振动的驻波条件为 an 2 （ n 1， 2， , a 为弦长）。按照 “ 定态 即驻波 ” 的说法，束缚在 长宽高分别为 a， b， c 的 三 维势箱中的粒子 (质量 为 m)的定态能量取值是多少？ A9. * -子是一种基本粒子，除静止质量为电子质量的 207倍外，其余性质与电 子相同。当它运动速度较慢时，被质子俘获形成子原子，试计算：（ 1） 子原子的第一波尔轨道半径；（ 2）子原子的最低能量；（ 3）子原子 拉曼线系中的最短波长。 A10. 计算红光 =6000 和 X射线 =1 的一个光子的能量、动量和质量。 A11. 试求下列各粒子的 de Broglie波长 (a) 100 eV的自由电子。 (b) 0.1 eV，质量为 1g的粒子。 A12. 若一个电子的动能等于它的静止能量，试求：（ 1）该电子的速度（ 2） 其相应的 de Broglie 波长 。 A13. 一原子的激发态发射波长为 600mm 的光谱线，测得波长的精度为 / = 107,试问该原子态的寿命为多长？ A14. 设体系处于态 )u(u21 21 ,其中 u1, u2是体系哈密顿算符 H的归一 化的本征函数，相应的本征值为 E1， E2 。测量处于 态的体系的能量，测 量出的可能值是什么？几率多大？测量平均值是什么？ A15. 1， 3 丁二烯分子长度 a7 ，试用测不准关系估计其基电子态能级的 大小（量级）。 A16. 下列哪些函数不是品优函数，说明理由： 2f(x) x ， |x|e ， Sin |x|， 2xe A17. 用不确定原理和 virial定理判断下列论断是否正确：中子是由相距小 于 10-13cm的质子和电子用 Coulomb力结合起来的粒子。 A18. 已知在一维方势阱中运动的粒子的波函数为 xa na sin2 ，其中 a 为势阱的长度。试计算： (a)粒子动 量的平方。 (b)n 取何值时粒子在区间 a41,0 的几率最大。 A19. 一维势箱中的粒子基态波函数为 1= a/2 sin(x/a),试画出其几率密 度分布图（纵坐标以 2/a为单位，横坐标以 a为单位）。 A20. 试写出下列体系的定态薛定谔方程：（ a） He原子（ b） H2分子。 A21. 质量为 m 的粒子，在弹性力 kx 作用下运动，试写出其 Schrdinger 方 程。 A22. 写出一个被束缚在半径为 a 的圆周上运动的粒子的 Schrdinger 方程， 并求其解。 A23. 试用一维势箱模型 (6个 电子 )计算如下分子的电子光谱最大吸收波 长 （第一吸收峰）。 A24. 一维势箱（ 0， a）中的粒子处于 n 态。试计算 xx, p ；并验证不确 定关系。 A25. 一维势箱（ 0， a）中的粒子的状态为 2xx(x ) A S in co saa ，计算： 能量的可能测量值及相应的几率；能量的平均值；求归一化系数 A。 A26. 作为近似，苯中的 6个 电子可看作在边长为 0.35 nm的正方形二维 势阱中运动。试计算由基态跃迁到第一激发态所对应的光吸收的波长 （ nm） ? A27. 证明 kxex )( 是 xP 的本征函数，并说明 k 的取值情况。 A28. 试计算 Li2+离子 s2 和 p2 轨道上电子的电离能。 A29. 忽略电子的自旋轨道相互作用，但考虑电子的自旋状态，试确定主量子 数是 n 的氢原子电子能级的简并度。 A30. 在求解氢原子电子的 Schrdinger 方程时，曾忽略了万有引力的作用。 质子和电子在万有引力作用下的势能为 rGMV . 其中万有引力常数 G =6.6710 -8 cm3.g-1.s-1。试计算 V 所引起的电子能量的修正值。 A31. 试比较能量算符 H 和 CH 的本征值和本征函数。其中 C 为任一常数 c 所对应的算符。 A32. 设 A ， B 为厄米算符，证明： （ 1） AB 是厄米的； （ 2） i A,B 是厄米的。 A33. 验证 : arercc )1( 21 是氢原子 Schrdinger 方程的解，并确定 1c ， 2c ， a 和能量 E 。 A34. 求氢原子中处于 s1 状态的电子矢径 r 的平均值 r 。 H 3 C N H 3 C HC C H CH CH N + CH 3 CH 3 l =8A A35. 求氢原子中处于 s1 状态的电子出现在 02ar 的球内的几率。 A36. 求氢原子中处于 pz2 状态的电子出现在 45 的圆锥内的几率。 A37. 求氢原子中处于 321 状态的电子的角动量与 z轴的夹角。 A38. 处于 2l 的电子，求其自旋角动量和轨道角动量的夹角。 A39. 比较 H的 s2 电子、 He+的 s2 电子和 He )21( 11 ss 的 s2 电子能量的高低。 A40. 设氢原子的电子处在状态 131321122101 ccc ，其中 ， 210 ， 211 ， 131 都是归一化的。试由 21c ， 22c ， 23c 的物理意义计算 能量的平均值。 能量是 4R 的几率。 角动量的平均值。 角动量是 2 的几率。 角动量 z分量的平均值。 角动量 z分量是 2 的几率。 第 二 章 原子结构 A41. 1971 年曾发表过一篇论文，该论文对氢原子应用了归一化的变分函数 crbrNe 2 ，并说将近似能量对参数 b 和 c 求极小值时，得到高于真实基态能量 （核质量为无穷大） 0.7%的能量。不做任何计算，说明为什么这个结果一定 是错误的。 A42. 如果对一维无限势阱中的粒子用归一化的尝试变分函数 ,3 213 xl lx0 则发现其近似能量为零，这比真实的基态能量低。试指出错在哪里。 A43. 一维谐振子的 Hamilton算符为 222222 22 xmdxdm 若选用 2baxe 作为一维谐振子的尝试波函数，试用变分法计算其近似的基 态能量。其中 b 为参数， ma ， m 为谐振子的质量。 A44. 用变分法求锂原子的第二电离能。 A45. 写出锂原子基态的行列式波函数。 A46. 证明波函数 )2()2(2)1()1(2 )2()2(1)1()1(121)2,1( ss ss A47. 是氦原子忽略电子间相互作用的 Schrdinger 方程的解，并求其本征值。 A48. 用 Clementi 和 Raimondi 给出的计算屏 蔽常数的经验公式计算 He 原子 的基态能量。 A49. 基态钇（ Y）原子的可能价电子组态为 2154 sd 或 1254 sd A50. 由光谱实验可确定其光谱基项为 232D ，试判断它的基态是哪种电子组态。 A51. 试写出 Cl 原子和 As原子的光谱基项。 A52. 如果一个电子的状态不用量子数 n ， l ， m ， sm ，来描述，而用 n ， l ， j ， jm 四个量子数来描述，试证明一定 n 值的状态数目仍为 22n 个。 A53. 求 pd 电子组态的光谱项。 A54. 如果考虑自旋 -轨道耦合，下列谱项各能级分裂成几个能级： D1 ， G3 ， S6 。 A55. 组态 2p 和 pd 的谱项之间允许的电子跃迁有哪些？ A56. 谱项 P2 的轨道角动量与自旋角动量之间的可能夹角有哪些？ A57. pd 组态两个电子的自旋角动量之间可能的夹角有哪些？总自旋角动量 与 z 轴可能的夹角有哪些？ A58. 对于给定的 l 值，求和 2),( l lm lmY 与角度 和 无关。当 1l 时，试验证这一结论的正确性。 A59. 一个含有 N 个电子的原子，则电荷密度为 NdddNNe 322),2,1()1( . 表示电子的自旋 -轨道，则电子密度 也可以写为 : 2 1 )1()1( N i ie . 试验证：对于 2N 的闭壳层体系，以上这 两个电荷密度的表达式等价。 A60. 利用以上两题的结果，说明闭壳层体系或半满壳层的原子体系的电荷密 度是球对称的。 A61. 写出角动量算符 L2 及其分量 Lz 的球坐标表达式，试证 L2 与 Lz 对易， 有共同的本征函数。 A62. 一刚性转子转动惯量为 I，它的能量的经典表达式为 H=L2/2I（ L为角动 量）。试求对应的量子体系在下列情况下的本征能量和波函数 :（ 1）转子绕一 固定轴转动 ;（ 2）转子绕一固定点转动。 A63. 证明： x y zL ,L i L 。 A64. 验证下列函数的正交性： Y00， Y11， Y10 。 A65. 验证 Y1,-1 是 2L 和 zL 的本征函数。 A66. （ a）函数 0/are (a0是常数， r 是电子离核的距离 )是否满足波函数 的标准化条件？简述理由。（ b）试求 的归一化常数并写出归一化的波函数。 A67. 证明氢原子的波函数 x2P 与 y2P 正交。 A68. 一粒子在硬壁球形空腔中运动，势能为 a a 0V(r) ， 试求粒子能量本征函数的角度部分。（提示： 22 22 222222 hr L )r(rrr1r1)r(rrr1 ， L2为角动量平方算符）。 A69. 计算单电子原子 1s电子的 r1 的平均值。由此推出这个电子经受的势能平 均值。证明平均动能等于总能量，但符号不同。（这 个结果叫做维里定理，它 适用于库仑力作用下而达到平衡的粒子系统，它在经典力学和量子力学中均 成立。） A70. 函数 Y30=(2cos3 -3cossin 2) 是一个 f轨道的角度部分（未归一化 的）。绘出它在 xz平面上的极坐标图。 A71. 求解束缚在半径为 a 的球壳上运动的粒子的定态问题。势能： 0 r aV(r) ra 。 试用 2cre 作为尝试变分函数（ c0为变分参数），对氢 原子进行变分处理，并与精确能量进行比较。 A72. 试用 Slater 法计算原子 C， C+， C 的总能量，并求 C原子的第一电 离能 I和电子亲和能 A。 第三章 双原子分子 A73. 试写出 H2 的 Schrdinger方程。 A74. 按分子轨道法写出 Li2 的基电子组态和电子的总波函数。 A75. 用分子轨道能级图解释： N2的键能比 N2+ 大，而 O2的键能比 O2+ 小。 A76. 如果分子轨道 AB的成键轨道中的一个电子由 90%的时间在 A的原子轨道 a 上 ,10%的时间在 B的原子轨道 b 上，若忽略重迭积分，试求出该分子轨道。 A77. 用分子轨道理论解释 N2 ， O2 和 F2分子键长的相对顺序。 A78. B2 分子的基电子组态为 2 2 22 2 1g u u ，假定 1u 简并轨道上各有一个 电子，且自旋相反。试写出这个单重态的光谱项。 A79. O2 分子的一种激发态电子组态为 2 2 2 3 32 2 3 1 1g u g u g ，试写出该电子组 态的所有光谱项。 A80. 按价键法的基态波函数验证： H2 分子的核间区的电荷密度大于未成键的 两个氢原子的电荷密度之和。 A81. N原子的各级电离能 IP分别是 i 1 2 3 4 5 6 7 IP(eV) 14.549 29.612 47.438 77.470 97.887 552.063 667.000 A82. N2 分子离解能的实验值是 9.902eV, 试计算 N2分子的总能量。 A83. 试证明：只要带电粒子的总电荷等于零，则体系的偶极矩与坐标原点的 选择无关。 A84. 设 LiH分子的最高占据轨道为 122 1 2H L ic s c s 实验上测定 Li-H键长为 Re=1.5853，偶极矩为 mC109607.1 29 ， 电子电荷为 191.6 10eC ，试确定 1c ， 2c 。 A85. 参照书中图 3.10，选取键轴为 Z轴，用图形示意分子轨道的形成： (1) s - pZ， 型成键和反键 MO； (2) dyz pz， 型成键和反键 MO； 2 2 2 2x y x yd d , 型成键和反键 MO。 A86. 若线性变分函数为 =C 1 1+C2 2+C3 3,试用线性变分法证明其久期 方程式有如下形式： 0 ES-H ES-H ES-H ES-H ES-H ES-H ES-H ES-H ES-H 333332323131 232322222121 131312121111 A87. 忽略重叠积分试导出异核 AB分子的分子轨道和分子轨道能级。 A88. 假如原子 A 以轨道 dxz，原子 B 以轨道 px ， py 或 pz 沿键轴 Z 轴相重 叠，试问 B原子中哪些 p轨道能与 A原子的 dxz有效组成分子轨道，哪些不 能？为什么？若 A原子是以 dxy或 dx2 y2参加成键，其结果又如何？ A89. d轨道可以某种方式重叠，而给出有效的化学键（ , 键），试以 z 轴为核间轴绘出它的草图。 A90. 试写出下列分子的基电子组态，指出它们的成键性质和磁性： Cl2， CO,HF,CN