资源描述
第一章 量子力学基础 A1. K的电子逸出功是 2.2 eV, Ni的电子逸出功是 5.0 eV,而 1 eV=1.610 -12 erg,波长为 4000 的紫光能否引起金属 K和 Ni的光电效应? A2. Ce的逸出功是 1.9eV, 求 阈值频率和波长 . A3. 求 氘原子 H线 n=2到 n=3的 波 数 A4. 考虑相对论效应,则以速度 运动的粒子的动能为 202220 1 cccT 其中 0 为粒子的静止质量。试证明当 c 时, 2 021T 。 A5. 对于氢原子、一次电离的氦离子 He+和两次电离的锂粒子 Li+,分别计算它 们的:( 1)第一、第二波尔轨道半径及电子在这些轨道上的速度;( 2)电子 在基态的结合能;( 3)由基态到第一激发态所需的激发能量及由第一激发态 退激到基态所放光子的波长。 A6. 在波长从 95nm 到 125nm的光带范围内,氢原子吸收光谱中包含哪些谱线? A7. 已知氢和重氢的里德伯常量之比为 0.999728,而它们的核质量之比为 mH/mD=0.50020,试计算质子质量与电子质量之比。 A8. 已知琴弦振动的驻波条件为 an 2 ( n 1, 2, , a 为弦长)。按照 “ 定态 即驻波 ” 的说法,束缚在 长宽高分别为 a, b, c 的 三 维势箱中的粒子 (质量 为 m)的定态能量取值是多少? A9. * -子是一种基本粒子,除静止质量为电子质量的 207倍外,其余性质与电 子相同。当它运动速度较慢时,被质子俘获形成子原子,试计算:( 1) 子原子的第一波尔轨道半径;( 2)子原子的最低能量;( 3)子原子 拉曼线系中的最短波长。 A10. 计算红光 =6000 和 X射线 =1 的一个光子的能量、动量和质量。 A11. 试求下列各粒子的 de Broglie波长 (a) 100 eV的自由电子。 (b) 0.1 eV,质量为 1g的粒子。 A12. 若一个电子的动能等于它的静止能量,试求:( 1)该电子的速度( 2) 其相应的 de Broglie 波长 。 A13. 一原子的激发态发射波长为 600mm 的光谱线,测得波长的精度为 / = 107,试问该原子态的寿命为多长? A14. 设体系处于态 )u(u21 21 ,其中 u1, u2是体系哈密顿算符 H的归一 化的本征函数,相应的本征值为 E1, E2 。测量处于 态的体系的能量,测 量出的可能值是什么?几率多大?测量平均值是什么? A15. 1, 3 丁二烯分子长度 a7 ,试用测不准关系估计其基电子态能级的 大小(量级)。 A16. 下列哪些函数不是品优函数,说明理由: 2f(x) x , |x|e , Sin |x|, 2xe A17. 用不确定原理和 virial定理判断下列论断是否正确:中子是由相距小 于 10-13cm的质子和电子用 Coulomb力结合起来的粒子。 A18. 已知在一维方势阱中运动的粒子的波函数为 xa na sin2 ,其中 a 为势阱的长度。试计算: (a)粒子动 量的平方。 (b)n 取何值时粒子在区间 a41,0 的几率最大。 A19. 一维势箱中的粒子基态波函数为 1= a/2 sin(x/a),试画出其几率密 度分布图(纵坐标以 2/a为单位,横坐标以 a为单位)。 A20. 试写出下列体系的定态薛定谔方程:( a) He原子( b) H2分子。 A21. 质量为 m 的粒子,在弹性力 kx 作用下运动,试写出其 Schrdinger 方 程。 A22. 写出一个被束缚在半径为 a 的圆周上运动的粒子的 Schrdinger 方程, 并求其解。 A23. 试用一维势箱模型 (6个 电子 )计算如下分子的电子光谱最大吸收波 长 (第一吸收峰)。 A24. 一维势箱( 0, a)中的粒子处于 n 态。试计算 xx, p ;并验证不确 定关系。 A25. 一维势箱( 0, a)中的粒子的状态为 2xx(x ) A S in co saa ,计算: 能量的可能测量值及相应的几率;能量的平均值;求归一化系数 A。 A26. 作为近似,苯中的 6个 电子可看作在边长为 0.35 nm的正方形二维 势阱中运动。试计算由基态跃迁到第一激发态所对应的光吸收的波长 ( nm) ? A27. 证明 kxex )( 是 xP 的本征函数,并说明 k 的取值情况。 A28. 试计算 Li2+离子 s2 和 p2 轨道上电子的电离能。 A29. 忽略电子的自旋轨道相互作用,但考虑电子的自旋状态,试确定主量子 数是 n 的氢原子电子能级的简并度。 A30. 在求解氢原子电子的 Schrdinger 方程时,曾忽略了万有引力的作用。 质子和电子在万有引力作用下的势能为 rGMV . 其中万有引力常数 G =6.6710 -8 cm3.g-1.s-1。试计算 V 所引起的电子能量的修正值。 A31. 试比较能量算符 H 和 CH 的本征值和本征函数。其中 C 为任一常数 c 所对应的算符。 A32. 设 A , B 为厄米算符,证明: ( 1) AB 是厄米的; ( 2) i A,B 是厄米的。 A33. 验证 : arercc )1( 21 是氢原子 Schrdinger 方程的解,并确定 1c , 2c , a 和能量 E 。 A34. 求氢原子中处于 s1 状态的电子矢径 r 的平均值 r 。 H 3 C N H 3 C HC C H CH CH N + CH 3 CH 3 l =8A A35. 求氢原子中处于 s1 状态的电子出现在 02ar 的球内的几率。 A36. 求氢原子中处于 pz2 状态的电子出现在 45 的圆锥内的几率。 A37. 求氢原子中处于 321 状态的电子的角动量与 z轴的夹角。 A38. 处于 2l 的电子,求其自旋角动量和轨道角动量的夹角。 A39. 比较 H的 s2 电子、 He+的 s2 电子和 He )21( 11 ss 的 s2 电子能量的高低。 A40. 设氢原子的电子处在状态 131321122101 ccc ,其中 , 210 , 211 , 131 都是归一化的。试由 21c , 22c , 23c 的物理意义计算 能量的平均值。 能量是 4R 的几率。 角动量的平均值。 角动量是 2 的几率。 角动量 z分量的平均值。 角动量 z分量是 2 的几率。 第 二 章 原子结构 A41. 1971 年曾发表过一篇论文,该论文对氢原子应用了归一化的变分函数 crbrNe 2 ,并说将近似能量对参数 b 和 c 求极小值时,得到高于真实基态能量 (核质量为无穷大) 0.7%的能量。不做任何计算,说明为什么这个结果一定 是错误的。 A42. 如果对一维无限势阱中的粒子用归一化的尝试变分函数 ,3 213 xl lx0 则发现其近似能量为零,这比真实的基态能量低。试指出错在哪里。 A43. 一维谐振子的 Hamilton算符为 222222 22 xmdxdm 若选用 2baxe 作为一维谐振子的尝试波函数,试用变分法计算其近似的基 态能量。其中 b 为参数, ma , m 为谐振子的质量。 A44. 用变分法求锂原子的第二电离能。 A45. 写出锂原子基态的行列式波函数。 A46. 证明波函数 )2()2(2)1()1(2 )2()2(1)1()1(121)2,1( ss ss A47. 是氦原子忽略电子间相互作用的 Schrdinger 方程的解,并求其本征值。 A48. 用 Clementi 和 Raimondi 给出的计算屏 蔽常数的经验公式计算 He 原子 的基态能量。 A49. 基态钇( Y)原子的可能价电子组态为 2154 sd 或 1254 sd A50. 由光谱实验可确定其光谱基项为 232D ,试判断它的基态是哪种电子组态。 A51. 试写出 Cl 原子和 As原子的光谱基项。 A52. 如果一个电子的状态不用量子数 n , l , m , sm ,来描述,而用 n , l , j , jm 四个量子数来描述,试证明一定 n 值的状态数目仍为 22n 个。 A53. 求 pd 电子组态的光谱项。 A54. 如果考虑自旋 -轨道耦合,下列谱项各能级分裂成几个能级: D1 , G3 , S6 。 A55. 组态 2p 和 pd 的谱项之间允许的电子跃迁有哪些? A56. 谱项 P2 的轨道角动量与自旋角动量之间的可能夹角有哪些? A57. pd 组态两个电子的自旋角动量之间可能的夹角有哪些?总自旋角动量 与 z 轴可能的夹角有哪些? A58. 对于给定的 l 值,求和 2),( l lm lmY 与角度 和 无关。当 1l 时,试验证这一结论的正确性。 A59. 一个含有 N 个电子的原子,则电荷密度为 NdddNNe 322),2,1()1( . 表示电子的自旋 -轨道,则电子密度 也可以写为 : 2 1 )1()1( N i ie . 试验证:对于 2N 的闭壳层体系,以上这 两个电荷密度的表达式等价。 A60. 利用以上两题的结果,说明闭壳层体系或半满壳层的原子体系的电荷密 度是球对称的。 A61. 写出角动量算符 L2 及其分量 Lz 的球坐标表达式,试证 L2 与 Lz 对易, 有共同的本征函数。 A62. 一刚性转子转动惯量为 I,它的能量的经典表达式为 H=L2/2I( L为角动 量)。试求对应的量子体系在下列情况下的本征能量和波函数 :( 1)转子绕一 固定轴转动 ;( 2)转子绕一固定点转动。 A63. 证明: x y zL ,L i L 。 A64. 验证下列函数的正交性: Y00, Y11, Y10 。 A65. 验证 Y1,-1 是 2L 和 zL 的本征函数。 A66. ( a)函数 0/are (a0是常数, r 是电子离核的距离 )是否满足波函数 的标准化条件?简述理由。( b)试求 的归一化常数并写出归一化的波函数。 A67. 证明氢原子的波函数 x2P 与 y2P 正交。 A68. 一粒子在硬壁球形空腔中运动,势能为 a a 0V(r) , 试求粒子能量本征函数的角度部分。(提示: 22 22 222222 hr L )r(rrr1r1)r(rrr1 , L2为角动量平方算符)。 A69. 计算单电子原子 1s电子的 r1 的平均值。由此推出这个电子经受的势能平 均值。证明平均动能等于总能量,但符号不同。(这 个结果叫做维里定理,它 适用于库仑力作用下而达到平衡的粒子系统,它在经典力学和量子力学中均 成立。) A70. 函数 Y30=(2cos3 -3cossin 2) 是一个 f轨道的角度部分(未归一化 的)。绘出它在 xz平面上的极坐标图。 A71. 求解束缚在半径为 a 的球壳上运动的粒子的定态问题。势能: 0 r aV(r) ra 。 试用 2cre 作为尝试变分函数( c0为变分参数),对氢 原子进行变分处理,并与精确能量进行比较。 A72. 试用 Slater 法计算原子 C, C+, C 的总能量,并求 C原子的第一电 离能 I和电子亲和能 A。 第三章 双原子分子 A73. 试写出 H2 的 Schrdinger方程。 A74. 按分子轨道法写出 Li2 的基电子组态和电子的总波函数。 A75. 用分子轨道能级图解释: N2的键能比 N2+ 大,而 O2的键能比 O2+ 小。 A76. 如果分子轨道 AB的成键轨道中的一个电子由 90%的时间在 A的原子轨道 a 上 ,10%的时间在 B的原子轨道 b 上,若忽略重迭积分,试求出该分子轨道。 A77. 用分子轨道理论解释 N2 , O2 和 F2分子键长的相对顺序。 A78. B2 分子的基电子组态为 2 2 22 2 1g u u ,假定 1u 简并轨道上各有一个 电子,且自旋相反。试写出这个单重态的光谱项。 A79. O2 分子的一种激发态电子组态为 2 2 2 3 32 2 3 1 1g u g u g ,试写出该电子组 态的所有光谱项。 A80. 按价键法的基态波函数验证: H2 分子的核间区的电荷密度大于未成键的 两个氢原子的电荷密度之和。 A81. N原子的各级电离能 IP分别是 i 1 2 3 4 5 6 7 IP(eV) 14.549 29.612 47.438 77.470 97.887 552.063 667.000 A82. N2 分子离解能的实验值是 9.902eV, 试计算 N2分子的总能量。 A83. 试证明:只要带电粒子的总电荷等于零,则体系的偶极矩与坐标原点的 选择无关。 A84. 设 LiH分子的最高占据轨道为 122 1 2H L ic s c s 实验上测定 Li-H键长为 Re=1.5853,偶极矩为 mC109607.1 29 , 电子电荷为 191.6 10eC ,试确定 1c , 2c 。 A85. 参照书中图 3.10,选取键轴为 Z轴,用图形示意分子轨道的形成: (1) s - pZ, 型成键和反键 MO; (2) dyz pz, 型成键和反键 MO; 2 2 2 2x y x yd d , 型成键和反键 MO。 A86. 若线性变分函数为 =C 1 1+C2 2+C3 3,试用线性变分法证明其久期 方程式有如下形式: 0 ES-H ES-H ES-H ES-H ES-H ES-H ES-H ES-H ES-H 333332323131 232322222121 131312121111 A87. 忽略重叠积分试导出异核 AB分子的分子轨道和分子轨道能级。 A88. 假如原子 A 以轨道 dxz,原子 B 以轨道 px , py 或 pz 沿键轴 Z 轴相重 叠,试问 B原子中哪些 p轨道能与 A原子的 dxz有效组成分子轨道,哪些不 能?为什么?若 A原子是以 dxy或 dx2 y2参加成键,其结果又如何? A89. d轨道可以某种方式重叠,而给出有效的化学键( , 键),试以 z 轴为核间轴绘出它的草图。 A90. 试写出下列分子的基电子组态,指出它们的成键性质和磁性: Cl2, CO,HF,CN
展开阅读全文