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习题二1 .一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X 表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律.【解】 故所求分布律为X 3 4 5 P 0 .1 0 .3 0 .62 .设在1 5只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只， 作不放回抽样，以X表示取出的次品个数，求：（1） X的分布律； （2） X的分布函数并作图；(3 ) .【解】 故X的分布律为 X 0 1 2P （2） 当x0时，F（x）=P（Xx）=0当0 x1时，F（x）=P（Xx）=P(X=0 )= 当1 x2时，F（x）=P（Xx）=P(X=0 )+P(X=1 )=当x2时，F（x）=P（Xx）=1 故X的分布函数(3 ) 3 .射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为0 .8，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概 率.【解】 设X表示击中目标的次数.则X=0，1，2，3 .故X的分布律为 X 0 1 2 3P 0 .0 0 8 0 .0 9 6 0 .3 8 4 0 .5 1 2 分布函数4 .（1） 设随机变量X的分布律为 PX=k= ，其中k=0，1，2，0为常数，试确定常数a. （2） 设随机变量X的分布律为PX=k=a/N， k=1，2，N， 试确定常数a.【解】（1） 由分布律的性质知 故 (2 ) 由分布律的性质知 即 .5 .甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0 .6 ,0 .7 ,今各投3次，求： （1） 两人投中次数相等的概率;（2） 甲比乙投中次数多的概率. 【解】分别令X、Y表示甲、乙投中次数，则Xb（3，0 .6）,Yb(3 ,0 .7 )(1 ) + (2 ) =0 .2 4 3 6 .设某机场每天有2 0 0架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0 .0 2，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑 道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0 .0 1 (每条跑道只能允许一架飞机降落)？ 【解】设X为某一时刻需立即降落的飞机数，则Xb(2 0 0 ,0 .0 2 )，设机场需配备N条跑道，则有 即 利用泊松近似 查表得N9 .故机场至少应配备9条跑道.7 .有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段 出事故的概率为0 .0 0 0 1 ,在某天的该时段内有1 0 0 0辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少（利用泊松定理）？ 【解】设X表示出事故的次数，则Xb（1 0 0 0，0 .0 0 0 1） 8 .已知在五重贝努里试验中成功的次数X满足PX=1 =PX=2 ，求概率PX=4 . 【解】设在每次试验中成功的概率为p，则故 所以 .9 .设事件A在每一次试验中发生的概率为0 .3，当A发生不少于3次时，指 示灯发出信号，（1） 进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率； （2） 进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率.【解】（1） 设X表示5次独立试验中A发生的次数，则X6（5，0 .3） (2 ) 令Y表示7次独立试验中A发生的次数，则Yb（7，0 .3）1 0 .某公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X服从参数为 （1 /2）t的泊松分布，而与时间间隔起点无关（时间以小时计）.（1） 求某一天中午1 2时至下午3时没收到呼救的概率； （2） 求某一天中午1 2时至下午5时至少收到1次呼救的概率.【解】（1） (2 ) 1 1 .设PX=k= , k=0 ,1 ,2PY=m= , m=0 ,1 ,2 ,3 ,4 分别为随机变量X，Y的概率分布，如果已知PX1 = ，试求PY1 .【解】因为 ，故 . 而 故得 即 从而 1 2 .某教科书出版了2 0 0 0册，因装订等原因造成错误的概率为0 .0 0 1，试求在这2 0 0 0册书中恰有5册错误的概率. 【解】令X为2 0 0 0册书中错误的册数，则Xb(2 0 0 0 ,0 .0 0 1 ).利用泊松近似计算, 得 1 3 .进行某种试验，成功的概率为 ，失败的概率为 .以X表示试验首次成 功所需试验的次数，试写出X的分布律，并计算X取偶数的概率.【解】 1 4 .有2 5 0 0名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为0 .0 0 2，每个参加保险的人在1月1日须交1 2 元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2 0 0 0元赔偿金.求：（1） 保险公司亏本的概率; （2） 保险公司获利分别不少于1 0 0 0 0元、2 0 0 0 0元的概率.【解】以“年”为单位来考虑. （1） 在1月1日，保险公司总收入为2 5 0 0 1 2 =3 0 0 0 0元.设1年中死亡人数为X，则Xb(2 5 0 0 ,0 .0 0 2 )，则所求概率为 由于n很大，p很小，=np=5，故用泊松近似，有(2 ) P(保险公司获利不少于1 0 0 0 0 ) 即保险公司获利不少于1 0 0 0 0元的概率在9 8 %以上P（保险公司获利不少于2 0 0 0 0） 即保险公司获利不少于2 0 0 0 0元的概率约为6 2 % 1 5 .已知随机变量X的密度函数为f(x)=Ae-|x|, -x+, 求：（1）A值；（2）P0 X1 ; (3 ) F(x).【解】（1） 由 得 故 .(2 ) (3 ) 当x0时，当x0时， 故 1 6 .设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命X的密度函数为 f(x)=求：（1） 在开始1 5 0小时内没有电子管损坏的概率； （2） 在这段时间内有一只电子管损坏的概率；（3） F（x）. 【解】（1） (2 ) (3 ) 当x1 0 0时F（x）=0 当x1 0 0时 故 1 7 .在区间0，a上任意投掷一个质点，以X表示这质点的坐标，设这质点落在0，a中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试 求X的分布函数.【解】 由题意知X0 ,a，密度函数为 故当xa时，F（x）=1即分布函数 1 8 .设随机变量X在2，5 上服从均匀分布.现对X进行三次独立观测，求至少有两次的观测值大于3的概率. 【解】XU2 ,5 ，即故所求概率为 1 9 .设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以分钟计）服从指数分布.某顾客在窗口等待服务，若超过1 0分钟他就离开.他一个月要到银行5 次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试写出Y的分布律，并求PY1 . 【解】依题意知 ，即其密度函数为该顾客未等到服务而离开的概率为 ,即其分布律为2 0 .某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通 拥挤，所需时间X服从N（4 0，1 0 2）；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间X服从N（5 0，4 2）. （1） 若动身时离火车开车只有1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？ （2） 又若离火车开车时间只有4 5分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？ 【解】（1） 若走第一条路，XN（4 0，1 0 2），则若走第二条路，XN（5 0，4 2），则 +故走第二条路乘上火车的把握大些. （2） 若XN（4 0，1 0 2），则若XN（5 0，4 2），则 故走第一条路乘上火车的把握大些. 2 1 .设XN（3，2 2），（1） 求P2 X5 ，P-4 X1 0 ，PX2 ，PX3 ; （2） 确定c使PXc=PXc.【解】（1） (2 ) c=3 2 2 .由某机器生产的螺栓长度（cm）XN（1 0 .0 5 ,0 .0 6 2）,规定长度在1 0 .0 5 0 .1 2内为合格品,求一螺栓为不合格品的概率. 【解】 2 3 .一工厂生产的电子管寿命X（小时）服从正态分布N（1 6 0，2），若要求P1 2 0X2 0 0 0 .8，允许最大不超过多少？ 【解】 故 2 4 .设随机变量X分布函数为 F（x）=（1） 求常数A，B； （2） 求PX2 ，PX3 ；（3） 求分布密度f（x）. 【解】（1）由 得（2） (3 ) 2 5 .设随机变量X的概率密度为f（x）= 求X的分布函数F（x），并画出f（x）及F（x）.【解】当x0时F（x）=0 当0 x0时 故其分布函数(2 ) 由 得 b=1即X的密度函数为 当x0时F（x）=0当0 x1时 故 (3 ) 当y0时 当y0时 故3 1 .设随机变量XU（0 ,1），试求： （1） Y=eX的分布函数及密度函数；（2） Z=-2 lnX的分布函数及密度函数. 【解】（1） 故 当 时当1 ye时 当ye时即分布函数 故Y的密度函数为（2） 由P（0 X0时， 即分布函数故Z的密度函数为 3 2 .设随机变量X的密度函数为f(x)= 试求Y=sinX的密度函数.【解】 当y0时，当0 y1时， 当y1时， 故Y的密度函数为3 3 .设随机变量X的分布函数如下： 试填上(1 ),(2 ),(3 )项.【解】由 知填1。 由右连续性 知 ，故为0。从而亦为0。即 3 4 .同时掷两枚骰子，直到一枚骰子出现6点为止，求抛掷次数X的分布律. 【解】设Ai=第i枚骰子出现6点。（i=1 ,2）,P(Ai)= .且A1与A2相互独立。再设C=每次抛掷出现6点。则 故抛掷次数X服从参数为 的几何分布。 3 5 .随机数字序列要多长才能使数字0至少出现一次的概率不小于0 .9 ?【解】令X为0出现的次数，设数字序列中要包含n个数字，则 Xb(n,0 .1 )即 得 n2 2即随机数字序列至少要有2 2个数字。 3 6 .已知F（x）= 则F（x）是（ ）随机变量的分布函数.（A） 连续型； （B）离散型； （C） 非连续亦非离散型.【解】因为F（x）在（-,+）上单调不减右连续，且 ,所以F（x）是一个分布函数。但是F（x）在x=0处不连续，也不是阶梯状曲线，故F（x）是非连续亦 非离散型随机变量的分布函数。选（C）3 7 .设在区间a,b上，随机变量X的密度函数为f(x)=sinx，而在a,b外， f(x)=0，则区间 a,b等于（ ）(A) 0 ,/2 ; (B) 0 ,; (C) -/2 ,0 ; (D) 0 , .【解】在 上sinx0，且 .故f(x)是密度函数。 在 上 .故f(x)不是密度函数。在 上 ，故f(x)不是密度函数。 在 上，当 时，sinx0）=1，故0 1 -e-2 X1，即P（0 Y1）=1 当y0时，FY（y）=0当y1时，FY（y）=1 当0 y1时，即Y的密度函数为 即YU（0，1）4 1 .设随机变量X的密度函数为 f(x)=若k使得PXk=2 /3，求k的取值范围. (2 0 0 0研考) 【解】由P（Xk）= 知P（Xk）=若k0 ,P(Xk)=0 若0 k1 ,P(Xk)= 当k=1时P（Xk）= 若1 k3时P（Xk）=若3 k6，则P（X6 ,则P（Xk）=1故只有当1 k3时满足P（Xk）= . 4 2 .设随机变量X的分布函数为F(x)= 求X的概率分布. （1 9 9 1研考）【解】由离散型随机变量X分布律与分布函数之间的关系，可知X的概率 分布为X -1 1 3 P 0 .4 0 .4 0 .24 3 .设三次独立试验中，事件A出现的概率相等.若已知A至少出现一次的 概率为1 9 /2 7，求A在一次试验中出现的概率.【解】令X为三次独立试验中A出现的次数，若设P（A）=p,则 Xb(3 ,p)由P（X1）= 知P（X=0）=（1 -p）3 = 故p=4 4 .若随机变量X在（1，6）上服从均匀分布，则方程y2 +Xy+1 =0有实根 的概率是多少？【解】 4 5 .若随机变量XN（2，2），且P2 X4 =0 .3，则PX0 = . 【解】故 因此 4 6 .假设一厂家生产的每台仪器，以概率0 .7可以直接出厂；以概率0 .3需进一步调试，经调试后以概率0 .8可以出厂，以概率0 .2定为不合格品不 能出厂.现该厂新生产了n(n2 )台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立）.求 （1） 全部能出厂的概率；（2） 其中恰好有两台不能出厂的概率； （3）其中至少有两台不能出厂的概率. 【解】设A=需进一步调试，B=仪器能出厂，则 =能直接出厂，AB=经调试后能出厂由题意知B= AB，且 令X为新生产的n台仪器中能出厂的台数，则X6（n，0 .9 4）,故 4 7 .某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似服从正态 分布，平均成绩为7 2分，9 6分以上的占考生总数的2 .3 %，试求考生的外语成绩在6 0分至8 4分之间的概率. 【解】设X为考生的外语成绩，则XN（7 2，2）故 查表知 ,即=1 2从而XN（7 2，1 2 2） 故 4 8 .在电源电压不超过2 0 0 V、2 0 0 V2 4 0 V和超过2 4 0 V三种情形下，某种电子元件损坏的概率分别为0 .1，0 .0 0 1和0 .2（假设电源电压X服从正态分 布N（2 2 0，2 5 2）.试求：（1） 该电子元件损坏的概率; (2 ) 该电子元件损坏时，电源电压在2 0 0 2 4 0 V的概率【解】设A1 =电压不超过2 0 0 V，A2 =电压在2 0 0 2 4 0 V， A3 =电压超过2 4 0 V，B=元件损坏。由XN（2 2 0，2 5 2）知 由全概率公式有由贝叶斯公式有 4 9 .设随机变量X在区间（1，2）上服从均匀分布，试求随机变量Y=e2 X的概率密度fY(y). 【解】因为P（1 X2）=1 ,故P（e2 Ye4）=1 当ye2时FY（y）=P(Yy)=0 .当e2 y1时， 即 故 5 1 .设随机变量X的密度函数为fX(x)= , 求Y=1 - 的密度函数fY(y). 【解】 故 5 2 .假设一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数N（t）服从参数为t的泊松分布. （1） 求相继两次故障之间时间间隔T的概率分布；（2） 求在设备已经无故障工作8小时的情形下，再无故障运行8小时的 概率Q.（1 9 9 3研考）【解】（1） 当tt与N(t)=0 等价，有即 即间隔时间T服从参数为的指数分布。（2） 5 3 .设随机变量X的绝对值不大于1，PX=-1 =1 /8，PX=1 =1 /4 .在事件-1 X1 出现的条件下，X在-1，1 内任一子区间上取值的条件概率与 该子区间长度成正比，试求X的分布函数F（x）=PXx. (1 9 9 7研考) 【解】显然当x-1时F（x）=0；而x1时F（x）=1由题知 当-1 x1时，此时 当x=-1时， 故X的分布函数5 4 . 设随机变量X服从正态分N（1 ,1 2 ),Y服从正态分布N(2 ,2 2 )，且 P|X-1 |P|Y-2 |1 ，试比较1与2的大小. (2 0 0 6研考)解： 依题意 ， ，则 ，. 因为 ，即， 所以有 ，即 .
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