傅里叶变换的性质及其揭示的时域和频域间的关系.ppt

数字信号处理,电器信息工程学院蔡超峰,引言,在介绍和讨论各种变换的性质时，将不局限于它们的数学表示，而是着重它们所体现的物理含义及应用，即把重点放在如下两个方面：每个变换的性质揭示的时域与频域之间的关系，即信号的频谱和LSI系统的频率响应与它们时域特性之间的关系及物理解释。利用变换性质导出新的变换和反变换的有效方法和技巧。常用的变换对，都可以由很少几个熟知的变换对，通过变换的性质方便地求得。,引言,第五章傅里叶变换（级数）的性质及其揭示的时域和频域间的关系,线性性质卷积性质时移和频移性质微分与差分性质、积分与累加性质对称性质尺度比例变换性质抽样和抽样定理能量信号的相关定理与帕什瓦尔定理能量谱与功率谱,1.线性性质,以CFT为例：DTFT、CFS和DFS具有完全类似的性质。对于DFT，若长度为M1和M2的序列x1(n)和x2(n)的N点DFT（注意：NM1，NM2）分别为X1(k)和X2(k)，对于任意复常数和，则有,1.线性性质,习题：求正弦信号cos(0t)和sin(0t)的傅里叶变换。解答：利用欧拉公式，分别有cos(0t)=(ej0t+e-j0t)/2和sin(0t)=(ej0t-e-j0t)/2j再利用傅里叶变换的线性性质，则有,2.卷积性质,卷积性质包括时域卷积性质和频域卷积性质。先考察时域卷积性质。以CFT为例：证明：令则y(t)的CFT为,2.卷积性质,上述性质表明，时域中两个函数的卷积，对应在频域上则是它们的傅里叶变换相乘。DTFT与此类似：,2.卷积性质,习题：试求下图所示的三角脉冲x(t)的频谱。解答：三角脉冲x(t)是矩形脉冲与本身卷积的结果，即而r(t)的傅里叶变换为直接利用时域卷积性质求得x(t)的频谱为,1,2.卷积性质,CFS和DFS的时域周期卷积性质：若有两个周期为T的周期信号与，和周期为N的周期序列与，与和与分别是它们的CFS和DFS系数。则有,2.卷积性质,证明（以CFS为例）：令（周期卷积）则y(t)的CFS为,2.卷积性质,DFT的时域循环卷积性质：若有两个长度分别为N1和N2的有限长序列x1(n)和x2(n)，如果选取N=max(N1,N2)，且假设X1(k)和X2(k)分是x1(n)和x2(n)的N点DFT系数，则有其中y(n)称为x1(n)和x2(n)的N点循环卷积，它实际上就是对x1(n)和x2(n)周期延拓后求其周期卷积，然后对运算结果取主值区间内的N点序列。,2.卷积性质,习题：求序列x1(n)=1,2,2,1和x2(n)=1,0,1,3,4,3,2,1的循环卷积。解答：,8,-8,2.卷积性质,DFT的时域线性卷积性质：两个长度分别为N1和N2的有限长序列x1(n)和x2(n)，它们的线性卷积仍为有限长序列，长度为N1+N2-1。如果在做N点域循环卷积时不是选取N=max(N1,N2)，而是选取NN1+N2-1，那么循环卷积就转化为线性卷积。换句话说，在NN1+N2-1的条件下，N点时域循环卷积的结果将等于x1(n)和x2(n)线性卷积的结果。因此，若有两个长度分别为N1和N2的有限长序列x1(n)和x2(n)，如果选取NN1+N2-1，且假设X1(k)和X2(k)分是x1(n)和x2(n)的N点DFT系数，则有,2.卷积性质,再考察频域卷积性质。以CFT为例：在时域中，一个信号和另外一个信号相乘，可以理解为用一个信号去调制另外一个信号的幅度，称为幅度调制，因此上面的频域卷积性质也成为傅里叶变换的调制性质。DTFT、CFS、DFS、DFT与此类似。,习题：求函数x(t)=r(t)cos(0t)的频谱。解答：利用欧拉关系，有根据频域卷积性质有,2.卷积性质,3.时移和频移性质,时移性质。以CFT和DTFT为例：由此可见，信号在时域中延时t0或n0，仅导致它们的傅里叶变换分别乘以一个时移因子e-jt0或e-jn0。CFS、DFS与此类似。DFT：其中y(n)称为x(n)的循环移位，即x(n)以周期N进行周期延拓生成的周期序列右移n0后取其主值区间得到的N点序列。,3.时移和频移性质,傅里叶变换的时移性质可以看做是其时域卷积性质的一个特例。以CFT为例：,3.时移和频移性质,频移性质。以CFT和DTFT为例：由此可见，时间函数或序列在时域中分别被频率为0和0的复正弦函数或序列加权，等效于它们的傅里叶变换在频域上分别右移0和0。CFS、DFS与此类似。DFT：其中Y(k)称为X(k)的循环移位，即X(k)以周期N进行周期延拓生成的周期序列右移k0后取其主值区间得到的N点序列。,3.时移和频移性质,傅里叶变换的频移性质可以看做是其频域卷积性质的一个特例。以CFT为例：,4.微分与积分、差分与累加性质,时域微分性质（以CFT为例）证明：根据冲激函数的性质因此,卷积的微分性质,4.微分与积分、差分与累加性质,时域积分性质（以CFT为例）证明：DTFT的时域差分和累加性质、CFS的时域微分和积分性质、DFS的时域差分和累加性质以及频域内的相应性质在此不再一一列出，感兴趣的同学可自行查找资料。,习题：求函数x(t)=e-atu(t),a0的CFT。解答：x(t)的一阶微分为利用CFT的时域微分性质，同时对上式两端取CFT从而对照上一章结果：,4.微分与积分、差分与累加性质,以CFT为例：证明：按照CFT的定义有讨论：当x(t)为实函数时，即，则有这就说明，实函数的幅度谱是的的偶函数，相位谱是的奇函数。,5.对称性质,另外，X(j)可以写做：这就说明，当x(t)为实函数时，X(j)的实部是的偶函数，虚部是的奇函数。,5.对称性质,当x(t)为实偶函数时，即，则有这就说明，实偶函数的频谱为的实偶函数，幅度谱为的偶函数，相位只能为0和。实偶函数的傅里叶变换只有实部，且为实偶函数。,5.对称性质,当x(t)为实奇函数时，即，则有这就说明，实奇函数的频谱为的虚奇函数，幅度谱为的偶函数，相位只能为/2。实奇函数的傅里叶变换只有虚部，且为虚奇函数。DTFT、CFS、DFS、DFT的对称性质与CFT类似。,5.对称性质,时域与频域的尺度反比特性（以CFT为例）：其中实数a0。证明：当a0时，令=at，则t=/a，dt=d/a，因此当a0时，令=at=-|a|t，则t=-/|a|，dt=-d/|a|，因此最终,6.尺度比例变换性质,CFT的尺度比例变换性质表明，除了一个幅度因子1/|a|外，时域与频域存在着尺度反比关系。当a1时，信号在时域上压缩到原来的1/a，则在频域上其频谱将扩展a倍。当0a1时，信号在时域上扩展到原来的1/a，则在频域上其频谱将压缩a倍。a2M进行的抽样称为过抽样，以s2M进行的抽样称为欠抽样。,7.抽样和抽样定理,7.抽样和抽样定理,信号的重建：,7.抽样和抽样定理,信号的重建,选取c=s/2，则有上式表明，任何一个带限信号都可以展开成抽样函数的一个无穷级数，其系数就是该带限信号的样本值。换言之，若在xp(t)的每一个抽样点上，画一个峰值为x(nTs)的抽样函数，它们叠加的结果就是x(t)。,8.能量信号的相关定理与帕什瓦尔定理,能量信号的相关定理（以CFT为例）：对于连续时间能量信号x(t)和y(t)，其互相关函数定义为计算rxy(t)的CFT，有上述性质表明，两个连续时间能量信号互相关函数的傅里叶变换，等于其中一个信号的频谱乘以另一个信号频谱的共轭。,8.能量信号的相关定理与帕什瓦尔定理,也可以从卷积与互相关的关系入手：令则有即根据傅里叶变换的时域卷积性质也可以得到,8.能量信号的相关定理与帕什瓦尔定理,对于自相关函数则有：这就说明，一个能量信号自相关函数的傅里叶变换等于该信号傅里叶变换模的平方。DTFT情况下：DFT情况下：其中,8.能量信号的相关定理与帕什瓦尔定理,能量信号的帕什瓦尔定理（以CFT为例）：由相关定理可知代入CFT的反变换公式根据自相关函数的定义这就是CFT的帕什瓦尔定理。,DTFT情况下的帕什瓦尔定理：DFT情况下的帕什瓦尔定理：帕什瓦尔定理表明一个能量信号在时域上计算的能量，等于该信号的频谱在频域上计算出的能量。,8.能量信号的相关定理与帕什瓦尔定理,连续时间信号的能量谱：帕什瓦尔定理表明，|X(j)|2反映了x(t)的能量在频域上的分布，故把|X(j)|2称为x(t)的能量谱密度，简称能量谱。它表示单位带宽内的能量，用E(j)来表示，即离散时间信号的能量谱：,9.能量谱与功率谱,9.能量谱与功率谱,功率信号的相关定理（以CFT为例）：其中：对于DTFT则有：,9.能量谱与功率谱,功率信号的帕什瓦尔定理：功率信号的功率谱：,9.能量谱与功率谱,周期信号作为典型的功率信号，其帕什瓦尔定理为：其中X(k0)为的CFS级数的系数，X(k0)为的DFS级数的系数。功率谱：,