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,定理4.14（泰勒定理）设在区域内解析，只要圆含于,则在内能展成幂级数泰勒展式其中系数泰勒系数且展式是唯一的。,设函数f(z)在圆,内解析，那么在K内，,简单说法：,证证明的关键是利用柯西积分公式及如下熟知的公式,定理4.1的证明：,由于当时，,又因为,定理4.1的证明：,所以,上式的级数当,时一致收敛。把上面的展开式代入积分中，然后利用一致收敛级数的性质，得,定理4.1的证明：,其中,由于z是U内任意一点，定理的结论成立。,2幂级数的和函数在其收敛圆周上的状况定理4.16如果幂级数的收敛半径且则在收敛圆周上至少有一奇点。即不可能有这样的函数存在，它在内与恒等，而在C上处处解析。,3一些初等函数的泰勒展式下面给出几个初等函数的泰勒展式，它们的形式与数学分析中大家熟知的形式是一致的。如,解因在内解析，故展开后的幂级数在内收敛。已知,例.将在展开成幂级数。,当时将两式相乘得（按对角线方法）,例4.5将及展为的幂级数。解因,同理,两式相加除以2两式相减除以得,例4.6试将函数按的幂展开，并指明其收敛范围。,解,第四节零点的孤立性与唯一性原理,1.解析函数零点的孤立性,定义4.7设在解析区域一点的值为零，则称为解析函数的零点,称为的级零点。若,定理4.17不恒为零的解析函数以为级零点的充要条件为：其中在点的邻域内解析，且,证必要性由假设，只要令即可。充分性是明显的。,例4.7考察函数在原点的性质。,解显然在解析，且为的三级零点，因,如在内的解析函数不恒为零，为其零点，则必有的一个邻域，使得在其中无异于的零点。（简单说来就是：不恒为零的解析函数的零点必是孤立的。）,定理4.20（唯一性定理）设,（1）函数,和,在区域,内解析；,（2）,内又有一个收敛于,的点列,，在其上,和相等。,则,和,在,内恒等。,例4.9设（1）在区域内解析；（2）在内，试证：在内或,证若有使因在点连续，故存在邻域，使在内恒为零。而由题设故必.由唯一性定理,定理4.23（最大模原理）设在区域内解析，则在内任何点都不能达到最大值，除非在内恒等于常数。,
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