数字信号处理课后习题Ch.pdf

1 第四章 课后习题解答 4.1、用矩形窗设计一线性相位高通滤波器 () , 0,0 H( ) j c c ej d e = （1） 、写出h(n)的表达式，确定a 与 N的关系； （2） 、问有几种类型，分别属于哪一种线性相位滤波器； （3） 、若改用汉宁窗设计，写出h(n)的表达式。 解： （2）因为h(n)偶对称，所以若N为奇数时，则属于第一种线性相位滤波器， 2 d 0 () () () ()( ) ()( ) 1 (1).h ( ) ( ) 2 1 2 1 2 11 2( ) 1 2( ) sin( ) () (1) ( ) c c c c c c cc jjn d jjn jjn jjn j jn jn jn c n c nHed eed eed ee jn e ee jn e nw n Sa n + + + + = = = = = = = (1) ( ) ,0 1 0, N-1 , = 2 () () () n c c c Sa n N dN hn h nR n = 其他 其中 2 若N为偶数时，则为第二种线性相位滤波器； （3）若改用汉宁窗设计 (1)sin ( )12 1 cos( ) ,0 1 21() 0, 12 () 1 cos( ) () 21 () () () N d n nn c nN Nn n Wn R n N hn Wnh n = = 其他 4.2、用矩形窗设计一个线性相位带同滤波器 0 0,0 , 0,0 H( ) j cc cc ej d e + = （ 1） 设计 N 为奇数时的 h(n); （2） 设计 N 为偶数时的 h(n); （3） 若改用汉明窗设计，写出以上两种形式的 h(n)的表达式。 解： 00 00 00 () () () () () () ()() () () 1 () ( ) 2 11 22 11 22 1 2( ) cc cc cc jjn d jjn jjn jn jn jn jn hn He e d eed eed ed ed ee jn + + + + + + = =+ =+ 00 0 1 2 sin( )( ) 2 sin( )( ) 2( ) sin ( ) 1 *2*cos ( ), () 2 cc c jj jn n N n n =+ = () () () () () dR dN hn h n n h nR n=Q （ 1）当 N 为奇数时 3 c 0 sin ( ) 2cos (n- ) ( ),0 1 ()() 0, N n Rn nN nhn = 其他 （ 2）当 N 为偶数时 h(n)的表达式与 N 为奇数时的相同； （ 3）若用汉明窗设计 0 () () () sin ( ) 2 2cos ( ) 0.54 0.46cos( ) ( ) () 1 d c N hn h n n n n nR nN = = 4.3 解： h d (n)= dweeH inwjw )( *2 1 = dweje jnw wcw wcw jw + 0 0 *2 1 + dweje jnw wcw wcw jw + )0( )0( *2 1 = () | )(*2 1 )0( 0 )(0 0 )( wcw wcw njwwcw wcw njw ee n + + + = )0)(sin(2)0)(sin(2 )(*2 1 wcwnjwcwnj n + = 0)sin()sin( )( 2 wnwcn n 因为 h(n)=h d (n)W R (n)= h d (n) R N (n) 所以（ 1）当 N 为奇数时 h（ n） = 0)sin()sin( )( 2 wnwcn n R N (n)， (0 )1 Nn ; 0 , 其他 （ 2）当 N 为偶数时 h（ n）的表达式与 N 为奇数时相同 （ 3）若采用汉明窗设计 h(n)= h d (n)W(n) = 0)sin()sin( )( 2 wnwcn n 0.54-0.46cos ) 1 2 ( N n R N (n)， 4-4 如果一个线性相位带通滤波器的频率响应为 () P () () ,0 jw j w BBP He Hwe w = 4 （ 1 ）试证明一个线性相位带 阻滤波器可以表示成 () P ()1 () ,0 jw j w BR B He Hwe w = （ 2）试用带通滤波器的单位脉冲响应 () BP hn来表达带阻滤波器的单位脉冲响应 () BR hn () () ,0 0, 2 P () () () () () () 1 () ()1 () ,0 (2) ( ) ( ) () () () ( ) ( jw BP Hwe wjw BP w BR B jw j w BR BP jw j w j w BR BP jw jw BP jw jw BP BR BP He H wHw He Hwe w He e e Hw eHe eHe IDTFT hn n hn = = = = = = = Q 解：(1)证明: 则带阻滤波器放入幅度正好与之相反，即 两边取 得 1 ), 2 N = 4.5 解：设模拟微分器的输入与输出分别为 x（ t） ， y（ t） y(t) =k dt tdx )( 令 x(t)=e tj 则 y(t)=jk tj e =jkx(t) 采样得 y（ nT） =jkx(nT) Y(e ) jw =jkx(e jw ) 其中 w=T , Y(e ) jw = x(e jw )H )( jw d e =jkw x(e jw )/T 即 H )( jw d e =jkw/T 由题所给图得 | H )( jw d e |=|w|=|jwk/T| 应取 k=T 所以 H )( jw d e =jw 取 2/)1( = N 则 H )( jw d e =jw e we jw = )2/( wj h d (n)= jwnjw ejwe 2 1 dw = 1)( )( 2 1 2 )( wnj nj e njw | = )sin(2)cos()(2 )(2 1 2 nnn n 加汉宁窗之后 h(n)= h d (n)W(n) 因为 N 为偶数 5 所以 h(n)= )( )sin( 2 n n 0.54-0.46cos ) 1 2 ( N n R N (n) 4.6 用频率采样法设计一线性相位低通滤波器 N=15,幅度采样值为 1, 0 0.5, 1,14 0,2 13 k k Hk k = = 求采样值的相位 ()k ，并写出 h(n)及 H( j e )的表达式 解：由题意可知为第一类线性相位滤波器 12 1 14 () (1) 215 () k jk k N kk k NN Hk He = = = =Q 2 1 0 14 2 15 0 14 14 2 15 15 0 14 14 2214 14 15 15 15 15 14 (2 14) (2 14) 15 15 1 () () 1 () 15 1 () 15 1 1 0.5 0.5 15 1 1 0.5( ) 15 1214 1 cos( ), 0 14 15 15 15 jnk NN k jnk n jnk jk n jn jn jj jn j n hn Hke N Hke Hke e ee e e ee n n = = = = = = =+ + =+ + =+ 1 1 () 2 0 sin(15 / 2)1 () sin( 2 / ) / 2 Nk N j j K N k H He e NkN + = = 将 () jk K Hk He = 代入上式得 14 14 () 15 0 sin(15 / 2)1 () 15 sin( 2 / ) / 2 kk j j K N k H He e kN + = = 7 1 sin(15 / 2) 0.5sin(15 / 2) 0.5sin(15 / 2) 15 sin( / 2) sin( / 2 /15) sin( / 2+ 15) j e = 、 6 4.7、在图 4.2 中 1 ()hn是偶对称序列。 8N = ， 2 h(n)是 1 ()hn圆周移位所得的序列， 移的位数为 N/2=4位 。 1 () ()kDFThn= 1 H . 2 () ()kDFThn= 2 H （ 1） 试问 12 () ()Hk Hk= 成立吗？ 1 ()k 与 2 ()k 有什么关系？ （ 2） 以 2 h(n)及 1 ()hn作为单位脉冲响应，可以构成两个低通滤波器，试问是否 属于线性相位滤波器？时延是多少？ （ 3） 这两种滤波器性能是否相同？比较之。 n n 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7 解： （ 1） 21 8 2 4 8 21 2 4 8 12 21 () ( 4) () () () ()= () ()= () () () (k)= ( ) mk N jk jk hn h n Rn DFT h n W DFT h n Hke Hk Hk e Hk Hk Hk kk =+ = = Q （ 2） h1(n),h2(n)分别构成低通滤波器时， 由于满足偶对称， 因此是线性相位的， 延时为 1 2 N = （ 3） Q h(n)为偶对称， N 为偶数 2 1 1 () ()cos( ) 2 () 2( 1 ) 2 N n Hbnn N bn h n = = =+ 7 4 1 1 ( ) 2 ( 3)cos ( ) 2 357 2 (4)cos (5)cos (6)cos (7)cos 22 2 2 n Hhn n hh h h = =+ =+ 11 2 2 11 2 2 11 2 2 11 22 h (0) (7) 1, h (0) (7) 4 h(1) (6) 1, h (1) (6) 3 h(3) (4) 1, h (2) (5) 2 h (2) (5) 1, h (3) (4) 1 hh hh = = = = = = = = 令则 令则 1 2 357 H ( ) 2(4cos 3cos 2cos cos ) 22 2 2 357 ( ) 2(cos 2cos 3cos 4cos ) 22 2 2 H =+ =+ + + 有 H1（ w） 、 H2(w)表达式可知， H1（ w）的阻带衰减比 H2（ w）阻带衰减大， H1（ w）比 H2(w)通频带也更宽，所以 h1(n)性能好于 h2(n)。 4.8、用频率采样法设计一个线性相位低通滤波器， N=32, 2 c = ， 边沿上设 一点过渡带 ( ) 0.39Hk= ，试求各点采样值 H（ k） . 解：由题意， N=32，线性相位低通滤波器为第 二类线性相位滤波器，即 h(n) 为偶对称 12 1 31 () (1) 232 32, , 1 k kNk N kk k NN NHH = = = = = kmax 设(H ) 8 31 32 31 32 31 32 31 32 31 32 1, 0,1,.,7 0.39, 8 0.39, 24 1, 25, 26,.,31 0, H(K)= , H(w)=-H(2 -w) , 0,1,.,7 , 25, 26,.,31 ( ) 0.39 , 8 0.39 , 2 k jk jk kk jk jk jk jk n n Hn n He He ek ek HK e k ek = = = = = = = = = = 其他 由且 4 0, 其他 4.11 有一个待求的理想系统，其频率响应为 () jw d H e ，其单位响应为 () d hn 。 又有一逼近这一理想系统的 FIR 系统 () jw H e ，其有限长单位脉冲响应 ()hn 的长度为 N，其均方误差为 22 1 |() ()| 2 jw jw d H eHedw = 。 （ 1 ）误差函数 () () () jwjwjw d E eHeHe=可以表示成幂级数 () () jwjwn n Ee ene = = 试求系数 ()en ，并以 () d hn 和 ()hn 表示出来。 （ 2）利用系数 ()en 表示均方误差 2 。 9 22 2 1 (1) ( ) ( ) 2 1 () () 2 11 () () () () 1 (2) | () ()| 2 1 |( )| 2 |( )| () () jw jwn jw jw jwn d jw jwn jw jwn d d jw jw d jw jw d nn en Ee e dw He He edw H eedw Heedw hn hn He He dw Ee dw Ee h n hn = = = = = = = Q 解： 又 e(n) 2 n = = 2 |e(n)|