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华东理工大学 概率论与数理统计 作业簿（第四册） 学 院 _专 业 _班 级 _ 学 号 _姓 名 _任课教师_ 第十次作业 一 填空题： 1若 在 0,5上服从均匀分布，则方程 0 3 2 2 = + + x x 有实根的概率 0.8 。 2设随机变量X 在区间2，6上服从均匀分布，现对X 进行了 3 次独立试验， 则正好有 2次观测值大于 4的概率为 3 8 。 3设每人每次打电话的时间（单位：min）服从 (1) E ，则在 808人次的电话中有 3次或以上超过 6分钟的概率为 1 2 二 选择题： 1设X 服从正态分布 2 (, ) N ， 则随着 的增大， 概率 | | PX 小时,能再使用b小时的概 率（ A ） 。 A. 与a无关 B . 与a有关 C . 无法确定 D . 以上答案都不对 3随机变量 X 的概率密度函数为 () p x ，且 () ( ) pxpx = ， () Fx是X 的分布函 数，则对任意实数a，有（ B ） 。 A . 0 ()1 () a Fa pxd x = B . 0 1 () () 2 a Fa pxd x = C . ( ) ( ) FaFa = D . ( ) 2 ( ) 1 Fa Fa = 三 计算题： 1某地区 18 岁的女青年的血压服从 (110,121) N 。在该地区任选一 18 岁的女青 年，测量她的血压， （1） 求 ( 100), (105.5 121) PX P X （2） 确定最小的x，使 ( ) 0.05 PX x 解：设女青年的血压为 ，则 (110,121) N ， 110 ( 0 , 1 ) 11 N （1） 110 105.5 110 ( 105.5) ( ) ( 0.5) 11 11 1 (0.5) 1 0.6915 0.3085 X PX P ( 1 .6 5 ) 0 .9 5 = Q 110 1.65 128.15 11 x x 2修理某机器所需时间（单位：小时）服从参数为 1 2 的指数分布。试问： （1） 修理时间超过 2小时的概率是多少？ （2） 若已持续修理了 9 小时，总共需要至少 10 小时才能修好的条件概 率是多少？ 解：设 是修理时间， 1 () 2 E ， 的分布函数为 2 1e 0 () 00 x x Fx x = 。 （1） 1 2 2 e ) e 1 ( 1 ) 2 ( 1 2 1 2 = = = = F P P 367879 . 0 ； （2） 9 10 9 10 = P P P 2 1 2 9 2 10 2 9 2 10 e e e ) e 1 ( 1 ) e 1 ( 1 = = = 606531 . 0 。 3假设测量的随机误差 ) 10 , 0 ( 2 N ，试求在 100 次独立重复测量中，至少有 二次测量误差的绝对值大于 19.6 的概率 。 解： 19.6 (| | 19.6) ( 19.6) ( 19.6) 21 ( ) 0.05 10 PPP =+ = = 令 为 100 次独立重复测量中，误差的绝对值大于 19.6 的次数， 则 (100,0.05) b 100 1 99 100 ( 2) 1 ( 0) ( 1) 1 (0.95) (0.05)(0.95) 0.9629 PPP C = = = = 4. 若 ) , ( 2 N 且 90 . 0 ) 89 ( = P ， 95 . 0 ) 94 ( = P ，求 和 2 . 解：根据 ) 89 ( ) 89 ( 90 . 0 = = P ， 和 ) 94 ( ) 94 ( 95 . 0 = = P ， 利用随机变量分布函数的单调性，有 2816 . 1 89 = ， 和 6449 . 1 94 = ， 解得 3617 . 71 = ， 7627 . 13 = ，即 4128 . 189 2 = 第十一次作业 一填空题： 1设随机变量(,) X Y 的概率密度为 () 0, (,) 0 xy ae x y fxy + + = ， ，其 他 ，则a = 1 ，(2 ,1 ) PX Y = 123 1eee + 。 2若二维随机变量(,) X Y 的联合分布列为 X Y 0 1 0 1 6 1 4 1 1 3 1 4 则随机变量(,) X Y 的联合分布函数为 0, 0 0 1/6, 0 1 ,0 1 (,) 5/12, 0 1 , 1 1/2, 1 ,0 1 1, 1, 1 xo r y x y Fxy xy xy xy = 二. 计算题 1. 设二维随机向量(,) 仅取(1,1),(2,3),(4,5)三个点，且取它们的概率相同，求 (,) 的联合分布列。 解： 1 3 5 1 1 3 0 0 2 0 1 3 0 4 0 0 1 3 2. 某箱装有 100 件产品，其中一、二、三等品分别为 80，10，10 件，现在从中 随机抽取一件，记 1 1, 2 3 0 i i Xi = 抽到 等品 （， ） 其他 试求随机变量 12 XX 和 的联合分布。 解：令1 , 2 , 3 i Aii = 抽到 等品， ,则 123 , AAA 两两不相容. 123 ( ) 0.8, ( ) ( ) 0.1 PA PA PA = 12 3 (0 ,0 )()0 . 1 PX X PA = 12 2 (0 ,1 )()0 . 1 PX X PA = = 12 1 (1 ,0 )()0 . 8 PX X PA = 12 (1 ,1 )( )0 PX X P = = 3 将一硬币抛掷 3次，X 表示 3次中出现正面的次数，Y 表示 3次中出现正面 次数与反面次数之差的绝对值，求X 和Y 的联合分布率。 解：当连抛三次出现三次反面时， ) , ( Y X 的取值为 ) 3 , 0 ( ； 出现一次正面两次反面时， ) , ( Y X 的取值为 ) 1 , 1 ( ； 出现两次正面一次反面时， ) , ( Y X 的取值为 ) 1 , 2 ( ； 出现三次正面时， ) , ( Y X 的取值为 ) 3 , 3 ( 。 并且 8 1 ) 2 1 ( 3 , 0 3 = = = = Y X P ； 8 3 ) 2 1 ( 1 3 1 , 1 3 = = = = Y X P ； 8 3 ) 2 1 ( 1 3 1 , 2 3 = = = = Y X P ； 8 1 ) 2 1 ( 3 , 3 3 = = = = Y X P 所以， ) , ( Y X 的联合概率分布为： Y X 1 3 0 0 8 1 1 8 3 0 2 8 3 0 3 0 8 1 4设随机向量(,) X Y 的联合概率密度函数为 (6 ) , 0 2 , 2 4 (,) 0, Axy x y pxy = 其他 （1）确定常数A ;（2）求1 ,3 , 4 PX Y PX Y + 解： （1）根据规范性有 (,) 1 p x y dxdy + + = A = 1 8 （2） 13 02 13 1 ,3 ( 6 ) 88 PX Y x ydxdy =（ C ） A ) , ( b a F B 1 ) , ( b a F C ) , 0 ( ) , ( ) , 0 ( 1 + + + a F b F b a F D ) , ( ) , ( ) , ( 1 + + + a F b F b a F （2）设随机变量X 的可能取值为 12 , x x ，Y 的可能取值为 123 , y yy ，若 11 11 (,)() () PX xY y PX xPY y = ，则随机变量X 和Y （ C ） A 一定独立 B一定不独立 C不一定独立 D 不相容 （3）设 1 () Fx， 2 () Fx为两个分布函数，其相应的概率密度为 12 () , () fxfx 是连续 函数，则可以作为某个连续随机变量的概率密度函数的是（ D ） A 12 ()() f xfx B 22 2()() f xFx C 12 () () f xFx D 1221 () () ()() f xFx fxFx + 三. 计算题 1设随机变量 , 的联合分布列为 012 121 0 693 6 11 10 36 1 20 0 12 （3） 求边缘分布列； （4） 在 1 = 的条件下， 的条件分布列； （5） 问 和 是否独立？ 解： （1） 0 1 2 p 5 12 1 2 1 12 0 1 2 p 7 12 7 18 1 36 （2） (0 ,1 )4 (0 |1 ) (1 ) 7 P P P = = = = (1 ,1 )3 (1 |1 ) (1 )7 P P P = = = = (0 ,1 ) (2 |1 ) 0 (1 ) P P P = = = = （3） (0 ,0 )(0 )(0 ) PP P = = Q 和 不独立 2设二维连续型随机变量(,) X Y 的联合概率密度函数为 (,) (,) 0 Axy x y G fxy = 其他 其中 ( , ) | 0 2,0 Gx yx yx = = = 9 32 ； 22 1 PX Y + 22 1 (,) xy x ydxdy + = 22 1 1 44 xy dxdy + = = ； X 和 Y 的边缘密度函数分别为： = 其他 , 0 1 , 2 1 ) ( x x X ， = 其他 , 0 1 , 2 1 ) ( y y Y