高一数学下第5章《向量的应用》解析及答案.doc

高一数学下第5章向量的应用解析及答案巩固基础 一、自主梳理理解向量的几何、代数、三角及物理方面的应用,能将当前的问题转化为可用向量解决的问题,培养学生的创新精神和应用能力.二、点击双基1.(理)(2005全国高考卷,理)已知双曲线x2-=1的焦点F1、F2，点M在双曲线上且=0，则点M到x轴的距离为( )A. B. C. D.解析：如图，不妨设M在右支上，则MF1MF2. 设|MF1|=r1,|MF2|=r2,由定义r1-r2=2a=2. RtMF1F2中，r12+r22=(2c)2=12. 式平方代入后得r1r2=4, SMF1F2=r1r2=2=|F1F2|h=2h.h=.答案：C(文)若O是ABC内一点,+=0,则O是ABC的( )A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心解析：以、为邻边作平行四边形OBDC,则=+. 又+=0, +=-. -=. O为AD的中点,且A、O、D共线. 又E为OD的中点,O是中线AE的三等分点,且OA=AE. O是ABC的重心.答案：D2.(2006山东潍坊检测)已知点A(,1)、B(0,0)、C(,0),设BAC的平分线AE与BC相交于E,若=,则等于 ( )A.- B. C.-3 D.-解析：由=,得=-=-=-1-=-1-=-1-=-.故选择A.答案：A3.(2006湖北八校联考)(理)已知向量a=(2cos,2cos),b=(3cos,3sin),若a与b的夹角为60,则直线xcos-ysin+=0与圆(x-cos)2+(y+sin)2=的位置关系是( )A.相交 B.相交且过圆心 C.相切 D.相离解析：由题意得=, coscos+sinsin=. 圆心为(cos,-sin). 设圆心到直线的距离为d,则 d=1, 直线和圆相离.故选D.答案：D(文)已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A、B两点,且|+|=|-|,其中O为原点,则实数a的值为( )A.2 B.-2 C.2或-2 D.6或-6解析：由|+|=|-|,得=0,OAOB. 联立方程组整理得2x2-2ax+(a2-4)=0, 设A(x1,y1)、B(x2,y2), x1+x2=a,x1x2=. y1y2=(a-x1)(a-x2)=a2-a(x1+x2)+x1x2=a2-2. OAOB,x1x2+y1y2=0. +-2=0.a2=4.a=2. 又=(-2a)2-8(a2-4)0, a28.a(-2,2),而2(-2,2).故选C.答案：C4.在四边形ABCD中，=0,=，则四边形ABCD是_.解析：由=0知.由=知BCAD.四边形ABCD是矩形.答案：矩形5.若a=(1,-1),b=(-1,3),c=(3,5),使c=xa+yb成立的实数x、y取值是_.解析：依题意(3,5)=x(1,-1)+y(-1,3),解得答案：7、4训练思维【例1】 已知O(0,0)、A(1,2)、B(4,5)及=+t，求：(1)t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限？(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不埽胨得骼碛?解：(1)=+t=(1+3t,2+3t). 若P在x轴上，则2+3t=0,t=-; 若P在y轴上，只需1+3t=0,t=-; 若P在第二象限，则-t0. |a+b|=2cosx. (2)f(x)=cos2x-4cosx,即f(x)=2(cosx-)2-1-22. x0,，0cosx1. 当1时，当且仅当cosx=1时，f(x)取得最小值1-4.由已知得1-4=-，解得=.这与1相矛盾.综上所述，=为所求.加强篇8.(2006北京海淀模拟)设a=(1+cos,sin),b=(1-cos,sin),c=(1,0),其中(0,),(,2),a与c的夹角为1,b与c的夹角为2,且1-2=,求sin的值.解：a=(2cos2,2sincos) =2cos(cos,sin), b=(2sin2,2sincos) =2sin(sin,cos), (0,),(,2), (0,),(,). 故|a|=2cos,|b|=2sin , cos1=cos, cos2=sin=cos(-).1=. 0-0),点P在y轴上运动，M在x轴上，N为动点，且=0,+=0.(1)求点N的轨迹C的方程；(2)过点F(a,0)的直线l(不与x轴垂直)与曲线C交于A、B两点，设点K(-a,0),与的夹角为，求证：0(2|y1y2|)-2a2=4a2-2a2=0,所以cos=0.所以0.讲评：向量及其运算是新课程的新增内容，由于向量融数、形于一体，具有代数形式和几何形式的双重身份，使它成为中学数学知识的一个交汇点，成为联系多项内容的媒介.本题是将向量与解析几何、方程、不等式以及三角函数等知识有机结合，体现了考试大纲要求的“在知识网络交汇点处命题”的精神，我们预测今年的向量高考题的难度可能上升到压轴题水平. 一、教学思路 向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观，向量本身是一个数形结合的产物，因此在向量的复习中要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合.应用向量可以解决平面几何中的一些问题，在物理和工程技术中应用也很广泛，教学要结合实例，引导学生把向量的相关知识和实际问题相结合，渗透向量解决问题的高效性. 二、注意问题 与向量相关的综合应用问题类型较多，往往都和几何图形或某种类型曲线相关联，这就要求在转化成向量方法或抽象为确定的数学模型时，一定要注意和题意等价，善于综合全局，把握转化合理性. 三、参考资料【例1】 已知a=(x2,x),b=(x,x-3),x-4,4.(1)求f(x)=ab的表达式;(2)求f(x)的最小值,并求此时a与b的夹角.解：(1)f(x)=ab=x2x+x(x-3)=x3+x2-3x,x-4,4. (2)f(x)=x2+2x-3=(x+3)(x-1).列表:x-4(-4,-3)-3(-3,1)1(1,4)4f(x)+0-0+f(x)极大值9极小值- 故当x=1时,f(x)有最小值为-. 此时a=(,1),b=(1,-2). 设为a与b的夹角,则cos=-. 又由0,得=.【例2】 如图所示,对于同一高度(足够高)的两个定滑轮,用一条(足够长)绳子跨过它们,并在两端分别挂有4 kg和2 kg的物体,另在两个滑轮中间的一段绳子悬挂另一物体,为使系统保持平衡状态,此物体的质量应是多少?(忽略滑轮半径、绳子的重量)剖析：先进行受力分析,列出平衡方程,然后用数学方法求解.解：设所求物体质量为m kg时,系统保持平衡,再设F1与竖直方向的夹角为1,F2与竖直方向的夹角为2,则有 (其中g为重力加速度) 由式和式消去2,得 m2-8mcos1+12=0, 即m=4cos12. cos20,由式知,式中m=4cos1-2不合题意,舍去. 又4cos21-30,解得cos11. 经检验,当cos1=时,cos2=0,不合题意,舍去. 2m6. 综上,所求物体的质量在2kg到6 kg之间变动时,系统可保持平衡.讲评：(1)m的范围是通过函数y=4x+2的单调性求得的.(2)实际问题的处理要注意变量的实际意义,本题容易忽略cos20的实际限制.优化测控一、选择题(本大题共12小题,每小题5分，共60分)1.(2006江苏南京期末)已知向量a=(1,0),b=(1,1),c=(-1,0),若c=a+b(,R),则,的值分别为( )A.1,0 B.1,1 C.0,1 D.-1,0解析：c=a+b=(1,0)+(1,1)=(+,),而c=(-1,0), 故选择D.答案：D2.有三个命题：向量与是共线向量，则A、B、C、D必在同一直线上；向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；四边形ABCD是平行四边形的充要条件是=.其中正确的是( )A. B. C. D.解析：与共线，AB与CD也可以平行.中a与b也可能有0.答案：B3.(2006四川成都检测)设向量a=(cos25,sin25),b=(sin20,cos20),若t是实数,且u=a+t b,则|u|的最小值为( )A. B.1 C. D.解析：|a|=|b|=1,ab=sin20cos25+cos20sin25=sin45=, |u|2=|a+t b|2=a2+2t ab+t2b2=t2+t+1=(t+)2+. |u|.选C.答案：C4.已知|a|=4，|b|=8，且a与2b-a互相垂直，则向量a与b的夹角是( )A.arccos B.-arccos C. D.解析：由a(2b-a),得a(2b-a)=0. 2|a|b|cos-|a|2=0. cos=,=arccos.答案：A5.(2006北京西城模拟)向量=(1,),=(0,1),若动点P(x,y)满足条件则P(x,y)的变动范围(不含边界的阴影部分)是( )解析：=(1,),=(0,1). 设P(x,y),则=(x,y), 即 经分析，选A.答案：A6.已知向量=(1,1)，=(1,a)，其中a为实数，O为原点，当这两向量的夹角在(0,)变动时，a的取值范围是( )A.(0,1) B.(,) C.(,1)(1,) D.(1,)解析：只需保证直线AO和OB的夹角为此范围就行，显然kOA=1,kOB=a.应用夹角公式tan=|,可得选项C.答案：C7.已知向量m与向量n互相垂直且|m|=|n|,若m=(2,1),则n等于( )A.(1,-2) B.(-2,1)C.(-2,1)或(2,-1) D.(1,-2)或(-1,2)解析：设n=(x,y),由题意设解得或 n=(1,-2)或(-1,2).答案：D8.已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上(不包括端点A、C)，则等于( )A.(+),(0,1) B.(+),(0,)C.(-),(0,1) D.(-),(0,)解析：由平行四边形法则及共线的充要条件容易得到选项A.答案：A9.(2006西安五校联考)已知向量a=(3,4)，b=(2，-1)，如果向量a+b与向量-b互相垂直，则实数的值为( )A. B. C.2 D.-解析：a+b=(3,4)+(2,-1)=(3+2,4-),-b=(-2,1),若(a+b)(-b)，则-2(3+2)+4-=0.=-.故选D.答案：D10.若a与b的夹角为60，|b|=4，(a+2b)(a-3b)=-72，则向量a的模是( )A.2 B.4 C.6 D.12解析：由题意知a2-ab-6b2=-7a,把|b|=4,cos60=代入得|a|2-2|a|-24=0.|a|=6或|a|=-4(舍).答案：C11.命题p:ABC及点G满足+=0；命题q：G是ABC的重心，则p是q的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件解析：若G是ABC的重心，由课本例题可知，+=0成立.若+=0，则+=-，可证CG必经过AB的中点.答案：C12.在平面直角坐标系中，O为原点，=a,=b，对任意一点M，它关于A的对称点为S，S关于点B的对称点为N，则用a、b表示为( )A.2(b-a) B.(a-b) C.a+b D.(a+b)解析：=+=2+2=2-2(四边形OASB是平行四边形).答案：A二、填空题(本大题共4小题,每小题4分，共16分)13.=3e1,=3e2,且=,则=_.解析：=3e2-3e1,=e2-e1,=+=2e1+e2.答案：2e1+e214.(2006北京海淀模拟)若向量a=(3,2),b=(0,-1),则向量2a-b的坐标是_；ab=_.解析：a=(3,2),b=(0,-1),2a-b=(6,4)-(0,-1)=(6,5),ab=30+2(-1)=-2.答案：(6,5) -215.若对n个向量a1,a2,an存在n个不全为零的实数k1,k2,kn,使得k1a1+k2a2+knan=0成立，则称向量a1,a2,an为“线性相关”.依此规定，能说明a1=(1,0),a2=(1,-1),a3=(2,2)“线性相关”的实数k1、k2、k3依次可以取_(写出一组数值即可，不必考虑所有情况).解析：设k1a1+k2a2+k3a3=0, 即k1(1,0)+k2(1,-1)+k3(2,2)=(0,0). k1=-4k3,k2=2k3. 取k3=1得一组k1、k2、k3依次为-4、2、1.答案：-4、2、116.(2006江苏南京期末)若|a|=1,|b|=2,c=a-b,且ca,则向量a与b的夹角为_.解析：c=a-b且ca,ca=0,即(a-b)a=0,a2=ab=1,cosa,b=.a,b=.答案：三、解答题(本大题共6小题，共74分)17.(本小题满分12分)已知向量a=(3，-4)，求：(1)与a平行的单位向量b；(2)与a垂直的单位向量c；(3)将a绕原点逆时针方向旋转45得到的向量e的坐标.解：(1)设b=a,则|b|=1，b=(,-)或b=(-,). (2)由ac，a=(3,-4),可设c=(4,3),求得c=(,)或c=(-,-). (3)设e=(x,y),则x2+y2=25. 又ae=3x-4y=|a|e|cos45,即3x-4y=,由上面关系求得e=(,-)或e=(-,-). 而向量e由a绕原点逆时针方向旋转45得到，故e=(,-).18.(本小题满分12分)已知a、b、c分别是ABC三个内角A、B、C的对边,(1)若ABC面积为,c=2,A=60,求a、b的值；(2)若acosA=bcosB，试判断ABC的形状，证明你的结论.解：(1)由已知得=bcsinA=bsin60, b=1. 由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA=3, a=. (2)由正弦定理得2RsinA=a,2RsinB=b, 2RsinAcosA=2RsinBcosB,即sin2A=sin2B. 由已知A、B为三角形内角，A+B=90或A=B. 故ABC为直角三角形或等腰三角形.19.(本小题满分12分)向量a=(1,cos2),b=(2,1),c=(4sin,1),d=(sin,1),其中(0,).(1)求ab-cd的取值范围；(2)若函数f(x)=|x-1|,判断f(ab)与f(cd)的大小，并说明理由.解：(1)ab=2+cos2,cd=2sin2+1=2-cos2, ab-cd=2cos2, 0.02. 0cos21.02cos22. ab-cd的取值范围是(0,2). (2)f(ab)=|2+cos2-1| =|1+cos2|=2cos2, f(ab)=|2-cos2-1|=|1-cos2|=2sin2, 于是有f(ab)-f(cd)=2(cos2-sin2)=2cos2. 0,020. f(ab)f(cd).20.(本小题满分12分)ABC的三个内角A、B、C满足下列条件：(1)AB0).(1)用k表示ab;(2)求ab的最小值，并求此时a与b夹角的大小.解：(1)将|ka+b|=|a-kb|两边平方得 ab=. (2)(k-1)20,又k0,=,即ab,cos=.又0180，故a与b的夹角为60.22.(本小题满分14分)已知平面向量a=(，-1)，b=(,),(1)证明ab；(2)若存在不同时为零的实数k和t，使x=a+(t2-3)b,y=-ka+tb,且xy，试求函数关系式k=f(t);(3)据(2)的结论，确定函数k=f(t)的单调区间.(1)证明：ab=(,-1)(,)=-=0,ab.(2)解：xy,xy=0且ab=0,a2=4,b2=1. 整理得-4k+t(t2-3)=0. k=t(t2-3).(3)解：记f(t)=(t3-3t), f(t)=t2-. 令f(t)0,得t1. 因此，当t(-,-1)时，f(t)是增函数； 当t(1,+)时，f(t)也是增函数. 再令f(t)0得-1t1,故t(-1,1)时，f(t)是减函数.