运筹学试卷和答案.doc

课程名称： 运筹学（） 课程编号： 课程类型：学位课、非学位课 考试方式： 闭卷 学科专业、领域： 管理科学与工程 所在学院： 经济管理 任课教师： 刘俊娥 河北工程大学研究生2007 2008学年第 二 学期考试试卷（ ）卷1、求解无约束极值问题的下降类一般步骤有哪些？试例举三种你所了解的下降类算法名称。2、任选一种一维搜索的算法，请写出关于极值点求解的过程。3、某工厂生产K种不同花色和款式的衬衣，在一定时期内生产量y相同，但根据经验或预测，投入市场后顾客对不同品种的需求量qi却不同；有的畅销，有的滞销，过去工厂对产品价格均按边际销售成本定价，即， 其中C=C(q1,q2,qk)是销售成本。现工厂考虑；为了获得最大利润，应不应该将畅销品种的价格提高？若要提高，提高多少为宜？建立数学型并用KT条件求解。4、某种货物由2个仓库A1，A2运送到3个配送中心B1，B2，B3。A1，A2的库存量分别为每天13吨、9吨；B1，B2，B3每天的需求分别为9吨、5吨、6吨。各仓库到配送中心的运输能力、单位运费如表，求：运程运量限制（吨）运费（百元/吨）A1B183A1B2711A1B3510A2B168A2B237A2B354（1）运量最大的运输方案。（2）运费最省的运输方案。（注：不能不使用该网络）；（3）考虑到运费和运量，使运费最省的调运方案。5、某工地有4个工点，各工点的位置及对混凝土的需要量列入下表，现需建一中心混凝土搅拌站，以供给各工点所需要的混凝土，要求混凝土的总运输量（运量*运距）最小，试决定搅拌站的位置(建立数学型)。试分别考虑以下两种情况：（1）搅拌站到各工点的道路均为直线。（2）道路为相互垂直或平行的网格。工点的位置(X1,Y1)(X2,Y2)(X3,Y3)(X4,Y4)混凝土需要量Q1Q2Q3Q42 435624363136216、某工程所有关键工序组成的网络如下图，图中弧上数字为各关键工序压缩工时所需的费用（单位：百元/天）。现该工程需将工期压缩一天，试求出使总压缩费用最小的压缩方案，以及该最小的压缩费用。请详细写出确定过程。1、解：求解无约束极值问题的下降类一般算法步骤：（1）选取某一初始点X(0) 令k:=0( := 为赋值符号，k:=0表示将0赋给变量k)。（2）确定搜索方向。若已得出某一迭代点X(k) ，且X(k) 不是极小点。这时，就从X(k)出发确定一搜索方向P(k)，沿这个方向应能找到使目标函数值下降的点。对约束极值问题，有时（视所用的算法而定）还要求这样的点是可行点。（3）确定步长。沿P(k)方向前进一个步长，得新点X(k+1)。即在由X(k)出发的射线 X=X(k)+P(k) 0上，通过选定步长（因子）=k，得下一个迭代点 X(k+1)=X(k)+kP(k)使得 f(X(k+1)=f(X(k)+kP(k) f(X(k)（4）检验得到的点是否为要求的极小点或者近似极小点，如满足要求，迭代停止。否则，令K:=k+1返回第二步继续迭代。下降类算法包括：（1）梯度法（最速下降法）（2）牛顿法（3）共轭梯度法（4）变尺度法2、解：斐波那契算法（1）确定试点个数n 根据缩短率 1/ Fn得到Fn 或区间精度, Fn (b0-a0)/ ,查表得n。 或迭代得到n，迭代的算法如下：计算Fn (b0-a0)/ 或Fn 1/ 得Fn n=1， F0=F1=1转 n=n+1, Fn=Fn-2+Fn-1转若Fn Fn，则转否则停止，得到n K=1（2）选取前两个试点的位置（3）计算函数值f(Xk)f(Xk)并比较其大小若f(Xk)f(Xk),则aK=aK-1,bK=xK,xK+1=xK并令或否则，取aK=xK,bK=bK-1,xK+1=xK并令K=K+1(4)若Kn-2,则转（3），否则若f(xK)f(xK),则aK=xk,bK=bK-1 比较函数值f(xK+1),f(xK+1 )的大小，得到函数y=f(x)的极小值和极小点，从而得到最终区间aK,xK+1 或aK,xK+1 。3、解：转化为设K-T点为，各函数的梯度为：； ；对K个约束条件分别引入广义拉格朗日乘子，则该问题的K-T条件如下：4、解：（1）添加两个新点Vs，Vt，构造赋权有向图如下A1A2B1B2B3875635VS139Vt956(,+)(Vs,13)(B1,8)1=8A1A2B1B2B38,875635VS13,89Vt9,856(,+)(Vs,5)(A1,5)(B2,5)2=5A1A2B1B2B38,87,55,56,135VS13,139,1Vt9,95,56(,+)(Vs,8)(A2,3)(B2,1)3=1A1A2B1B2B38,87,55,56,135VS13,139,1Vt9,95,56(,+)(Vs,9)(B3,5)4=5(A2,5)A1A2B1B2B38,87,55,56,135,5VS13,139,6Vt9,95,56,5(2) 看做运输问题，用表上作业法求解，由于是产销不平衡问题，虚拟销地B4，销量为2.B1B2B3B4A13 1110M13A2874M99562第一步，用最小元素法给出初始运量表。B1B2B3B4A13 911210M213A287346M995，262用闭回路法计算检验数。B1B2B3B4A13911210M213A287346M995，26221=8-7+11-3=9，13=10-11+7-4=2，42=M-M+11-7=4；所有非基变量的检验数大于零，则初始调运方案为最优调运方案，此时的运费为c=39+112+73+46=94（2）构造赋权有向图，求最小费用流,cij表示由Ai到Bj的流量（i=1,2；j=1,2,3）,则令cij为，将该问题转化为最小费用最大流问题。最小费用为：93+211+37+46=94VSA1A2B1B2B3Vt0,130,90,90,60,53,c1111,c1210,c138,c217,c224,c23VSA1A2B1B2B3Vt0000031110874W(f(0)aVSA1A2B2B390900900000Vtv(f(1)=9bVSA1A2B1B2B3Vt0000031110874W(f(1)cVSA1A2B2B396960900006Vtv(f(2)=15dVSA1A2B1B2B3Vt0000031110874W(f(2)eVSA1A2B2B399963900036Vtv(f(3)=18f-3VSA1A2B1B2B3Vt0000031110874W(f(3)gVSA1A2B2B3119965920036Vtv(f(4)=20h-3VSA1A2B1B2B3Vt0000031110874W(f(4)i-3（3）构造赋权有向图，求最小费用最大流。弧旁数字为（bij,cij）。VSA1A2B1B2B3Vt0,130,90,90,60,53,811,710,58,67,34,5取f(0)=0为初始可行流。构造赋权有向图W(f(0)，并求出从Vs到Vt的最短路（Vs，A1，B1，Vt）。在原网络图中，与这条最短路相应的增广链为=（Vs，A1，B1，Vt）。在上进行调整，=8，得f(1)（图b）。按照上述算法依次得W(f(1), W(f(2), W(f(3), W(f(4), W(f(5), W(f(6),流量依次为8，13，16，17，18，20，f(6)中不存在最短路，故f(6)为最小费用最大流，最大流量为20，此时的最小费用为：38+112+110+18+37+54=105。B1VSA1A2B1B2B3Vt0000031110874W(f(0)aVSA1A2B2B380800800000Vtv(f(1)=8bVSA1A2B1B2B3Vt0000031110874W(f(1)cVSA1A2B2B385850800005Vtv(f(2)=13d-3VSA1A2B1B2B3Vt0000031110874W(f(2)eVSA1A2B2B388853800035Vtv(f(3)=16f-3-4VSA1A2B1B2B3Vt0000031110874W(f(3)gVSA1A2B2B389953800135Vtv(f(4)=17h-3-4-7VSA1A2B1B2B3Vt0000031110874W(f(4)iVSA1A2B2B399963801135Vtv(f(5)=18j-3-4-7VSA1A2B1B2B3Vt0000031110874W(f(5)kVSA1A2B2B3119965821135Vtv(f(6)=20l-3-4-7VSA1A2B1B2B3Vt0000031110874W(f(6)m-3-4-75、解：（1）设搅拌点的坐标为（X，Y），则搅拌点各工点的距离为（i表示到第i个工点）建立该问题的数学模型为：（2）设搅拌点的坐标为（X，Y），则搅拌点到各工点的距离为建立该问题的数学模型为：6、解：看做求网络最大流，令已有的弧上的数据为容量。（1）首先给网络赋予初始可行流。方法不唯一，但不同的初始可行流对应的增广链不同。1234562，26，43，04，23，02，23，31，16，33，2（2）用标号法求增广链，开始给v1标号（, +）；于是检查v2，弧（v1，v2）上，f12=c12；检查v3，给v3标号（v1, 1）；检查v4，给v4标号（v3，1），由于弧（v4，v2）上，f42=0，弧（v4，v5）、弧（v4，v5）上可行流等于流量，标号无法继续下去，算法结束。此时的可行流即为最大流。同时可以找到最小截集（），=，=，于是（）=（v1，v2），（v4，v2），（v4，v5），（v3，v6），（v4，v6）是最小截集。则压缩总工期1天的压缩方案为：将工序-，工序-，工序-，工序-同时压缩1天，此时的最小费用为2+1+3+2=8.1234562，26，43，04，23，02，23，31，16，33，2（, +）（v1, 1）（v3, 1）共 页 第 页