挑战中考数学压轴题全套.doc

挑战中考系列(数学)第一部分 函数图象中点的存在性问题11因动点产生的相似三角形问题 12因动点产生的等腰三角形问题 13因动点产生的直角三角形问题 14因动点产生的平行四边形问题15因动点产生的面积问题16因动点产生的相切问题17因动点产生的线段和差问题第二部分 图形运动中的函数关系问题21由比例线段产生的函数关系问题第三部分 图形运动中的计算说理问题31代数计算及通过代数计算进行说理问题32几何证明及通过几何计算进行说理问题第四部分 图形的平移、翻折与旋转41图形的平移42图形的翻折43图形的旋转44三角形45四边形46圆47函数的图象及性质11 因动点产生的相似三角形问题课前导学相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验如果已知AD，探求ABC与DEF相似，只要把夹A和D的两边表示出来，按照对应边成比例，分和两种情况列方程应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）还有一种情况，讨论两个直角三角形相似，如果一组锐角相等，其中一个直角三角形的锐角三角比是确定的，那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题求线段的长，要用到两点间的距离公式，而这个公式容易记错理解记忆比较好如图1，如果已知A、B两点的坐标，怎样求A、B两点间的距离呢？我们以AB为斜边构造直角三角形，直角边与坐标轴平行，这样用勾股定理就可以求斜边AB的长了水平距离BC的长就是A、B两点间的水平距离，等于A、B两点的横坐标相减；竖直距离AC就是A、B两点间的竖直距离，等于A、B两点的纵坐标相减图1 图1 图2例 1 湖南省衡阳市中考第28题二次函数yax2bxc（a0）的图象与x轴交于A(3, 0)、B(1, 0)两点，与y轴交于点C(0,3m)（m0），顶点为D（1）求该二次函数的解析式（系数用含m的代数式表示）；（2）如图1，当m2时，点P为第三象限内抛物线上的一个动点，设APC的面积为S，试求出S与点P的横坐标x之间的函数关系式及S的最大值；（3）如图2，当m取何值时，以A、D、C三点为顶点的三角形与OBC相似？动感体验 请打开几何画板文件名“14衡阳28”，拖动点P运动，可以体验到，当点P运动到AC的中点的正下方时，APC的面积最大拖动y轴上表示实数m的点运动，抛物线的形状会改变，可以体验到，ACD和ADC都可以成为直角思路点拨1用交点式求抛物线的解析式比较简便2连结OP，APC可以割补为：AOP与COP的和，再减去AOC3讨论ACD与OBC相似，先确定ACD是直角三角形，再验证两个直角三角形是否相似4直角三角形ACD存在两种情况图文解析（1）因为抛物线与x轴交于A(3, 0)、B(1, 0)两点，设ya(x3)(x1)代入点C(0,3m)，得3m3a解得am所以该二次函数的解析式为ym(x3)(x1)mx22mx3m（2）如图3，连结OP当m2时，C(0,6)，y2x24x6，那么P(x, 2x24x6)由于SAOP(2x24x6)3x26x9， SCOP3x，SAOC9，所以SSAPCSAOPSCOPSAOC3x29x所以当时，S取得最大值，最大值为图3 图4 图5 图6（3）如图4，过点D作y轴的垂线，垂足为E过点A作x轴的垂线交DE于F由ym(x3)(x1)m(x1)24m，得D(1,4m)在RtOBC中，OBOC13m如果ADC与OBC相似，那么ADC是直角三角形，而且两条直角边的比为13m如图4，当ACD90时，所以解得m1此时，所以所以CDAOBC如图5，当ADC90时，所以解得此时，而因此DCA与OBC不相似综上所述，当m1时，CDAOBC考点伸展 第（2）题还可以这样割补： 如图6，过点P作x轴的垂线与AC交于点H由直线AC：y2x6，可得H(x,2x6)又因为P(x, 2x24x6)，所以HP2x26x因为PAH与PCH有公共底边HP，高的和为A、C两点间的水平距离3，所以SSAPCSAPHSCPH(2x26x) 例 2 2014年湖南省益阳市中考第21题如图1，在直角梯形ABCD中，AB/CD，ADAB，B60，AB10，BC4，点P沿线段AB从点A向点B运动，设APx21cnjy（1）求AD的长；（2）点P在运动过程中，是否存在以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由；图1（3）设ADP与PCB的外接圆的面积分别为S1、S2，若SS1S2，求S的最小值. 动感体验 请打开几何画板文件名“14益阳21”，拖动点P在AB上运动，可以体验到，圆心O的运动轨迹是线段BC的垂直平分线上的一条线段观察S随点P运动的图象，可以看到，S有最小值，此时点P看上去象是AB的中点，其实离得很近而已思路点拨1第（2）题先确定PCB是直角三角形，再验证两个三角形是否相似2第（3）题理解PCB的外接圆的圆心O很关键，圆心O在确定的BC的垂直平分线上，同时又在不确定的BP的垂直平分线上而BP与AP是相关的，这样就可以以AP为自变量，求S的函数关系式图文解析（1）如图2，作CHAB于H，那么ADCH在RtBCH中，B60，BC4，所以BH2，CH所以AD（2）因为APD是直角三角形，如果APD与PCB相似，那么PCB一定是直角三角形如图3，当CPB90时，AP1028所以，而此时APD与PCB不相似图2 图3 图4如图4，当BCP90时，BP2BC8所以AP2所以所以APD60此时APDCBP综上所述，当x2时，APDCBP（3）如图5，设ADP的外接圆的圆心为G，那么点G是斜边DP的中点设PCB的外接圆的圆心为O，那么点O在BC边的垂直平分线上，设这条直线与BC交于点E，与AB交于点F设AP2m作OMBP于M，那么BMPM5m在RtBEF中，BE2，B60，所以BF4在RtOFM中，FMBFBM4(5m)m1，OFM30，所以OM所以OB2BM2OM2在RtADP中，DP2AD2AP2124m2所以GP23m2于是SS1S2(GP2OB2)所以当时，S取得最小值，最小值为图5 图6考点伸展关于第（3）题，我们再讨论个问题问题1，为什么设AP2m呢？这是因为线段ABAPPMBMAP2BM10这样BM5m，后续可以减少一些分数运算这不影响求S的最小值问题2，如果圆心O在线段EF的延长线上，S关于m的解析式是什么？如图6，圆心O在线段EF的延长线上时，不同的是FMBMBF(5m)41m此时OB2BM2OM2这并不影响S关于m的解析式例 3 2015年湖南省湘西市中考第26题如图1，已知直线yx3与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线yx2bxc经过A、B两点，点P在线段OA上，从点O出发，向点A以每秒1个单位的速度匀速运动；同时，点Q在线段AB上，从点A出发，向点B以每秒个单位的速度匀速运动，连结PQ，设运动时间为t秒（1）求抛物线的解析式；（2）问：当t为何值时，APQ为直角三角形；（3）过点P作PE/y轴，交AB于点E，过点Q作QF/y轴，交抛物线于点F，连结EF，当EF/PQ时，求点F的坐标；（4）设抛物线顶点为M，连结BP、BM、MQ，问：是否存在t的值，使以B、Q、M为顶点的三角形与以O、B、P为顶点的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由 图1动感体验请打开几何画板文件名“15湘西26”，拖动点P在OA上运动，可以体验到，APQ有两个时刻可以成为直角三角形，四边形EPQF有一个时刻可以成为平行四边形，MBQ与BOP有一次机会相似思路点拨1在APQ中，A45，夹A的两条边AP、AQ都可以用t表示，分两种情况讨论直角三角形APQ2先用含t的式子表示点P、Q的坐标，进而表示点E、F的坐标，根据PEQF列方程就好了3MBQ与BOP都是直角三角形，根据直角边对应成比例分两种情况讨论图文解析（1）由yx3，得A(3, 0)，B(0, 3)将A(3, 0)、B(0, 3)分别代入yx2bxc，得 解得所以抛物线的解析式为yx22x3（2）在APQ中，PAQ45，AP3t，AQt分两种情况讨论直角三角形APQ：当PQA90时，APAQ解方程3t2t，得t1（如图2）当QPA90时，AQAP解方程t(3t)，得t1.5（如图3）图2 图3图4 图5（3）如图4，因为PE/QF，当EF/PQ时，四边形EPQF是平行四边形所以EPFQ所以yEyPyFyQ因为xPt，xQ3t，所以yE3t，yQt，yF(3t)22(3t)3t24t因为yEyPyFyQ，解方程3t(t24t)t，得t1，或t3（舍去）所以点F的坐标为(2, 3)（4）由yx22x3(x1)24，得M(1, 4)由A(3, 0)、B(0, 3)，可知A、B两点间的水平距离、竖直距离相等，AB3由B(0, 3)、M(1, 4)，可知B、M两点间的水平距离、竖直距离相等，BM所以MBQBOP90因此MBQ与BOP相似存在两种可能：当时，解得（如图5）当时，整理，得t23t30此方程无实根考点伸展第（3）题也可以用坐标平移的方法：由P(t, 0)，E(t, 3t)，Q(3t, t)，按照PE方向，将点Q向上平移，得F(3t, 3)再将F(3t, 3)代入yx22x3，得t1，或t312 因动点产生的等腰三角形问题课前导学 我们先回顾两个画图问题：1已知线段AB5厘米，以线段AB为腰的等腰三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？2已知线段AB6厘米，以线段AB为底边的等腰三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，圆上除了两个点以外，都是顶点C已知底边画等腰三角形，顶角的顶点在底边的垂直平分线上，垂足要除外在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类如果ABC是等腰三角形，那么存在ABAC，BABC，CACB三种情况解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快几何法一般分三步：分类、画图、计算哪些题目适合用几何法呢？如果ABC的A（的余弦值）是确定的，夹A的两边AB和AC可以用含x的式子表示出来，那么就用几何法如图1，如果ABAC，直接列方程；如图2，如果BABC，那么；如图3，如果CACB，那么代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来图1 图2 图3 图1例 9 2014年长沙市中考第26题如图1，抛物线yax2bxc（a、b、c是常数，a0）的对称轴为y轴，且经过(0,0)和两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的P总经过定点A(0, 2)（1）求a、b、c的值；（2）求证：在点P运动的过程中，P始终与x轴相交；（3）设P与x轴相交于M(x1, 0)、N(x2, 0)两点，当AMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标动感体验 请打开几何画板文件名“14长沙26”，拖动圆心P在抛物线上运动，可以体验到，圆与x轴总是相交的，等腰三角形AMN存在五种情况思路点拨1不算不知道，一算真奇妙，原来P在x轴上截得的弦长MN4是定值2等腰三角形AMN存在五种情况，点P的纵坐标有三个值，根据对称性，MAMN和NANM时，点P的纵坐标是相等的图文解析（1）已知抛物线的顶点为(0,0)，所以yax2所以b0，c0将代入yax2，得解得（舍去了负值）（2）抛物线的解析式为，设点P的坐标为已知A(0, 2)，所以而圆心P到x轴的距离为，所以半径PA圆心P到x轴的距离所以在点P运动的过程中，P始终与x轴相交（3）如图2，设MN的中点为H，那么PH垂直平分MN在RtPMH中，所以MH24所以MH2因此MN4，为定值等腰AMN存在三种情况：如图3，当AMAN时，点P为原点O重合，此时点P的纵坐标为0图2 图3图4 图5如图4，当MAMN时，在RtAOM中，OA2，AM4，所以OM2此时xOH2所以点P的纵坐标为如图5，当NANM时，根据对称性，点P的纵坐标为也为如图6，当NANM4时，在RtAON中，OA2，AN4，所以ON2此时xOH2所以点P的纵坐标为如图7，当MNMA4时，根据对称性，点P的纵坐标也为图6 图7考点伸展如果点P在抛物线上运动，以点P为圆心的P总经过定点B(0, 1)，那么在点P运动的过程中，P始终与直线y1相切这是因为：设点P的坐标为已知B(0, 1)，所以而圆心P到直线y1的距离也为，所以半径PB圆心P到直线y1的距离所以在点P运动的过程中，P始终与直线y1相切例 10 2014年湖南省张家界市中考第25题如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线yax2bxc（a0）过O、B、C三点，B、C坐标分别为(10, 0)和，以OB为直径的A经过C点，直线l垂直x轴于B点（1）求直线BC的解析式；（2）求抛物线解析式及顶点坐标；（3）点M是A上一动点（不同于O、B），过点M作A的切线，交y轴于点E，交直线l于点F，设线段ME长为m，MF长为n，请猜想mn的值，并证明你的结论；（4）若点P从O出发，以每秒1个单位的速度向点B作直线运动，点Q同时从B出发，以相同速度向点C作直线运动，经过t（0t8）秒时恰好使BPQ为等腰三角形，请求出满足条件的t值图1 动感体验请打开几何画板文件名“14张家界25”，拖动点M在圆上运动，可以体验到，EAF保持直角三角形的形状，AM是斜边上的高拖动点Q在BC上运动，可以体验到，BPQ有三个时刻可以成为等腰三角形 思路点拨1从直线BC的解析式可以得到OBC的三角比，为讨论等腰三角形BPQ作铺垫2设交点式求抛物线的解析式比较简便3第（3）题连结AE、AF容易看到AM是直角三角形EAF斜边上的高 4第（4）题的PBQ中，B是确定的，夹B的两条边可以用含t的式子表示分三种情况讨论等腰三角形图文解析（1）直线BC的解析式为（2）因为抛物线与x轴交于O、B(10, 0)两点，设yax(x10)代入点C，得解得所以抛物线的顶点为（3）如图2，因为EF切A于M，所以AMEF由AEAE，AOAM，可得RtAOERtAME所以12同理34于是可得EAF90所以51由tan5tan1，得所以MEMFMA2，即mn25 图2（4）在BPQ中，cosB，BP10t，BQt分三种情况讨论等腰三角形BPQ：如图3，当BPBQ时，10tt解得t5如图4，当PBPQ时，解方程，得 如图5，当QBQP时，解方程，得图3 图4 图5 图6考点伸展在第（3）题条件下，以EF为直径的G与x轴相切于点A如图6，这是因为AG既是直角三角形EAF斜边上的中线，也是直角梯形EOBF的中位线，因此圆心G到x轴的距离等于圆的半径，所以G与x轴相切于点A例 11 2014年湖南省邵阳市中考第26题在平面直角坐标系中，抛物线yx2(mn)xmn（mn）与x轴相交于A、B两点（点A位于点B的右侧），与y轴相交于点C（1）若m2，n1，求A、B两点的坐标；（2）若A、B两点分别位于y轴的两侧，C点坐标是(0,1)，求ACB的大小；（3）若m2，ABC是等腰三角形，求n的值动感体验请打开几何画板文件名“14邵阳26”，点击屏幕左下方的按钮（2），拖动点A在x轴正半轴上运动，可以体验到，ABC保持直角三角形的形状点击屏幕左下方的按钮（3），拖动点B在x轴上运动，观察ABC的顶点能否落在对边的垂直平分线上，可以体验到，等腰三角形ABC有4种情况思路点拨1抛物线的解析式可以化为交点式，用m，n表示点A、B、C的坐标2第（2）题判定直角三角形ABC，可以用勾股定理的逆定理，也可以用锐角的三角比3第（3）题讨论等腰三角形ABC，先把三边长（的平方）罗列出来，再分类解方程图文解析（1）由yx2(mn)xmn(xm)(xn)，且mn，点A位于点B的右侧，可知A(m, 0)，B(n, 0)若m2，n1，那么A(2, 0)，B(1, 0)（2）如图1，由于C(0, mn)，当点C的坐标是(0,1)，mn1，OC1若A、B两点分别位于y轴的两侧，那么OAOBm(n)mn1所以OC2OAOB所以所以tan1tan2所以12又因为1与3互余，所以2与3互余所以ACB90（3）在ABC中，已知A(2, 0)，B(n, 0)，C(0, 2n)讨论等腰三角形ABC，用代数法解比较方便：由两点间的距离公式，得AB2(n2)2，BC25n2，AC244n2当ABAC时，解方程(n2)244n2，得（如图2）当CACB时，解方程44n25n2，得n2（如图3），或n2（A、B重合，舍去）当BABC时，解方程(n2)25n2，得（如图4），或（如图5）图1 图2 图3图4 图5考点伸展第（2）题常用的方法还有勾股定理的逆定理由于C(0, mn)，当点C的坐标是(0,1)，mn1由A(m, 0)，B(n, 0)，C(0,1)，得AB2(mn)2m22mnn2m2n22，BC2n21，AC2m21所以AB2BC2AC2于是得到RtABC，ACB90第（3）题在讨论等腰三角形ABC时，对于CACB的情况，此时A、B两点关于y轴对称，可以直接写出B(2, 0)，n2例 12 2014年湖南省娄底市中考第27题如图1，在ABC中，ACB90，AC4cm，BC3cm如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s连结PQ，设运动时间为t（s）（0t4），解答下列问题：（1）设APQ的面积为S，当t为何值时，S取得最大值？S的最大值是多少？（2）如图2，连结PC，将PQC沿QC翻折，得到四边形PQPC，当四边形PQPC为菱形时，求t的值；（3）当t为何值时，APQ是等腰三角形？图1 图2 图3 图4动感体验 请打开几何画板文件名“14娄底27”，拖动点Q在AC上运动，可以体验到，当点P运动到AB的中点时，APQ的面积最大，等腰三角形APQ存在三种情况还可以体验到，当QC2HC时，四边形PQPC是菱形思路点拨1在APQ中，A是确定的，夹A的两条边可以用含t的式子表示2四边形PQPC的对角线保持垂直，当对角线互相平分时，它是菱形，图文解析（1）在RtABC中，AC4，BC3，所以AB5，sinA，cosA作QDAB于D，那么QDAQ sinAt所以SSAPQ当时，S取得最大值，最大值为（2）设PP与AC交于点H，那么PPQC，AHAPcosA如果四边形PQPC为菱形，那么PQPC所以QC2HC解方程，得（3）等腰三角形APQ存在三种情况：如图5，当APAQ时，5tt解得如图6，当PAPQ时，解方程，得如图7，当QAQP时，解方程得图5 图6 图7图8考点伸展在本题情境下，如果点Q是PPC的重心，求t的值如图8，如果点Q是PPC的重心，那么QCHC解方程，得 例 13 2015年湖南省怀化市中考第22题如图1，已知RtABC中，C90，AC8，BC6，点P以每秒1个单位的速度从A向C运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从ABC方向运动，它们到C点后都停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒（1）在运动过程中，求P、Q两点间距离的最大值；（2）经过t秒的运动，求ABC被直线PQ扫过的面积S与时间t的函数关系式；（3）P，Q两点在运动过程中，是否存在时间t，使得PQC为等腰三角形若存在，求出此时的t值，若不存在，请说明理由（，结果保留一位小数）动感体验请打开几何画板文件名“15怀化22”，拖动点P在AC上运动，可以体验到，PQ与BD保持平行，等腰三角形PQC存在三种情况 思路点拨1过点B作QP的平行线交AC于D，那么BD的长就是PQ的最大值2线段PQ扫过的面积S要分两种情况讨论，点Q分别在AB、BC上3等腰三角形PQC分三种情况讨论，先罗列三边长图文解析（1）在RtABC中，AC8，BC6，所以AB10如图2，当点Q在AB上时，作BD/PQ交AC于点D，那么所以AD5所以CD3如图3，当点Q在BC上时，又因为，所以因此PQ/BD所以PQ的最大值就是BD在RtBCD中，BC6，CD3，所以BD所以PQ的最大值是图1图2 图3 图4（2）如图2，当点Q在AB上时，0t5，SABD15由AQPABD，得所以SSAQP如图3，当点Q在BC上时，5t8，SABC24因为SCQP，所以SSABCSCQP24(t8)2t216t40（3）如图3，当点Q在BC上时，CQ2CP，C90，所以PQC不可能成为等腰三角形当点Q在AB上时，我们先用t表示PQC的三边长：易知CP8t如图2，由QP/BD，得，即所以如图4，作QHAC于H在RtAQH中，QHAQ sinA，AH在RtCQH中，由勾股定理，得CQ分三种情况讨论等腰三角形PQC：（1）当PCPQ时，解方程，得3.4（如图5所示）当QCQP时，整理，得所以(11t40)(t8)0解得3.6（如图6所示），或t8（舍去）当CPCQ时，整理，得解得3.2（如图7所示），或t0（舍去）综上所述，当t的值约为3.4，3.6，或等于3.2时，PQC是等腰三角形图5 图6 图7图8 图9考点伸展第（1）题求P、Q两点间距离的最大值，可以用代数计算说理的方法：如图8，当点Q在AB上时，PQ当Q与B重合时，PQ最大，此时t5，PQ的最大值为如图9，当点Q在BC上时，PQ当Q与B重合时，PQ最大，此时t5，PQ的最大值为综上所述，PQ的最大值为13 因动点产生的直角三角形问题课前导学我们先看三个问题：1已知线段AB，以线段AB为直角边的直角三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？2已知线段AB，以线段AB为斜边的直角三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？3已知点A(4,0)，如果OAB是等腰直角三角形，求符合条件的点B的坐标图1 图2 图3图4如图1，点C在垂线上，垂足除外如图2，点C在以AB为直径的圆上，A、B两点除外如图3，以OA为边画两个正方形，除了O、A两点以外的顶点和正方形对角线的交点，都是符合题意的点B，共6个解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便如图4，已知A(3, 0)，B(1,4)，如果直角三角形ABC的顶点C在y轴上，求点C的坐标我们可以用几何的方法，作AB为直径的圆，快速找到两个符合条件的点C如果作BDy轴于D，那么AOCCDB设OCm，那么这个方程有两个解，分别对应图中圆与y轴的两个交点 例 19 2015年湖南省益阳市中考第21题如图1，已知抛物线E1：yx2经过点A(1,m)，以原点为顶点的抛物线E2经过点B(2,2)，点A、B关于y 轴的对称点分别为点A、B（1）求m的值及抛物线E2所表示的二次函数的表达式；（2）如图1，在第一象限内，抛物线E1上是否存在点Q，使得以点Q、B、B为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，P为第一象限内的抛物线E1上与点A不重合的一点，连结OP并延长与抛物线E2相交于点P，求PAA与PBB的面积之比 图1 图2图3 图4动感体验请打开几何画板文件名“15益阳21”，拖动点P在抛物线E1上运动，可以体验到，点P始终是线段OP的中点还可以体验到，直角三角形QBB有两个思路点拨1判断点P是线段OP的中点是解决问题的突破口，这样就可以用一个字母表示点P、P的坐标2分别求线段AABB，点P到AA的距离点P到BB的距离，就可以比较PAA与PBB的面积之比图文解析（1）当x1时，yx21，所以A(1, 1)，m1设抛物线E2的表达式为yax2，代入点B(2,2)，可得a所以yx2（2）点Q在第一象限内的抛物线E1上，直角三角形QBB存在两种情况：如图3，过点B作BB的垂线交抛物线E1于Q，那么Q(2, 4)如图4，以BB为直径的圆D与抛物线E1交于点Q，那么QD2设Q(x, x2)，因为D(0, 2)，根据QD24列方程x2(x22)24解得x此时Q（3）如图5，因为点P、P分别在抛物线E1、E2上，设P(b, b2)，P(c, )因为O、P、P三点在同一条直线上，所以，即所以c2b所以P(2b, 2b2)如图6，由A(1, 1)、B(2,2)，可得AA2，BB4由A(1, 1)、P(b, b2)，可得点P到直线AA的距离PM b21由B(2,2)、P(2b, 2b2)，可得点P到直线BB的距离PN2b22所以PAA与PBB的面积比2(b21)4(2b22)14 考点延伸第（2）中当BQB90时，求点Q(x, x2)的坐标有三种常用的方法：方法二，由勾股定理，得BQ2BQ2BB2所以(x2)2(x22)2(x2)2(x22)242方法三，作QHBB于H，那么QH2BHBH所以(x22)2(x2) (2x)图5 图6图1 图2例 20 2015年湖南省湘潭市中考第26题如图1，二次函数yx2bxc的图象与x轴交于A(1, 0)、B(3, 0)两点，与y轴交于点C，连结BC动点P以每秒1个单位长度的速度从点A向点B运动，动点Q以每秒个单位长度的速度从点B向点C运动，P、Q两点同时出发，连结PQ，当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动设运动的时间为t秒（1）求二次函数的解析式；（2）如图1，当BPQ为直角三角形时，求t的值；（3）如图2，当t2时，延长QP交y轴于点M，在抛物线上是否存在一点N，使得PQ的中点恰为MN的中点，若存在，求出点N的坐标与t的值；若不存在，请说明理由动感体验请打开几何画板文件名“15湘潭26”，拖动点P在AB上运动，可以体验到，BPQ有两次机会可以成为直角三角形还可以体验到，点N有一次机会可以落在抛物线上 思路点拨1分两种情况讨论等腰直角三角形BPQ2如果PQ的中点恰为MN的中点，那么MQNP，以MQ、NP为直角边可以构造全等的直角三角形，从而根据直角边对应相等可以列方程图文解析（1）因为抛物线yx2bxc与x轴交于A(1, 0)、B(3, 0)两点，所以y(x1)(x3)x22x3（2）由A(1, 0)、B(3, 0)、C(0,3)，可得AB4，ABC45在BPQ中，B45，BP4t，BQt直角三角形BPQ存在两种情况：当BPQ90时，BQBP解方程t(4t)，得t2（如图3）当BQP90时，BPBQ解方程4t2t，得t（如图4）图3 图4 图5（3）如图5，设PQ的中点为G，当点G恰为MN的中点时，MQNP作QEy轴于E，作NFx轴于F，作QHx轴于H，那么MQENPF由已知条件，可得P(t1, 0)，Q(3t,t)由QEPF，可得xQxNxP，即3txN(t1)解得xN2将x2代入y(x1)(x3)，得y3所以N(2,3)由QH/NF，得，即整理，得t29t120解得因为t2，所以取考点伸展第（3）题也可以应用中点坐标公式，得所以xN2xG214 因动点产生的平行四边形问题课前导学我们先思考三个问题：1已知A、B、C三点，以A、B、C、D为顶点的平行四边形有几个，怎么画？2在坐标平面内，如何理解平行四边形ABCD的对边AB与DC平行且相等？3在坐标平面内，如何理解平行四边形ABCD的对角线互相平分？图1 图2 图3图4如图1，过ABC的每个顶点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生三个点D如图2，已知A(0, 3)，B(2, 0)，C(3, 1)，如果四边形ABCD是平行四边形，怎样求点D的坐标呢？点B先向右平移2个单位，再向上平移3个单位与点A重合，因为BA与CD平行且相等，所以点C(3, 1) 先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到点D(5, 4)如图3，如果平行四边形ABCD的对角线交于点G，那么过点G画任意一条直线（一般与坐标轴垂直），点A、C到这条直线的距离相等，点B、D到这条直线的距离相等关系式xAxCxBxD和yAyCyByD有时候用起来很方便我们再来说说压轴题常常要用到的数形结合如图4，点A是抛物线yx22x3在x轴上方的一个动点，ABx轴于点B，线段AB交直线yx1于点C，那么点A的坐标可以表示为(x,x22x3)，点C的坐标可以表示为(x, x1)，线段AB的长可以用点A的纵坐标表示为AByAx22x3，线段AC的长可以用A、C两点的纵坐标 表示为ACyAyC(x22x3)(x1)x2x2 通俗地说，数形结合就是：点在图象上，可以用图象的解析式表示点的坐标，用点的坐标表示点到坐标轴的距离例 24 2014年湖南省岳阳市中考第24题如图1，抛物线经过A(1, 0)、B(5, 0)、C三点设点E(x, y)是抛物线上一动点，且在x轴下方，四边形OEBF是以OB为对角线的平行四边形（1）求抛物线的解析式；（2）当点E(x, y)运动时，试求平行四边形OEBF的面积S与x之间的函数关系式，并求出面积S的最大值（3）是否存在这样的点E，使平行四边形OEBF为正方形？若存在，求点E、F的坐标；若不存在，请说明理由 动感体验请打开几何画板文件名“14岳阳24”，拖动点E运动，可以体验到，当点E运动到抛物线的顶点时，S最大当点E运动到OB的垂直平分线上时，四边形OEBF恰好是正方形思路点拨1平行四边形OEBF的面积等于OEB面积的2倍2第（3）题探究正方形OEBF，先确定点E在OB的垂直平分线上，再验证EOEB图文解析（1）因为抛物线与x轴交于A(1, 0)、B(5, 0)两点，设ya(x1)(x5)代入点C，得解得所以抛物线的解析式为（2）因为SS平行四边形OEBF2SOBEOB(yE)所以当x3时，S取得最大值，最大值为此时点E是抛物线的顶点（如图2）（3）如果平行四边形OEBF是正方形，那么点E在OB的垂直平分线上，且EOEB当x此时E如图3，设EF与OB交于点D，恰好OB2DE所以OEB是等腰直角三角形所以平行四边形OEBF是正方形所以当平行四边形OEBF是正方形时，E、F图1 图2 图3图4 图5考点伸展既然第（3）题正方形OEBF是存在的，命题人为什么不让探究矩形OEBF有几个呢？如图4，如果平行四边形OEBF为矩形，那么OEB90根据EH2HOHB，列方程或者由DEOB，根据DE2，列方程这两个方程整理以后都是一元三次方程4x328x253x200，这个方程对于初中毕业的水平是不好解的事实上，这个方程可以因式分解，如图3，x；如图4，x4；如图5，x，但此时点E在x轴上方了这个方程我们也可以用待定系数法解：设方程的三个根是、m、n，那么4x328x253x20根据恒等式对应项的系数相等，得方程组解得例 25 2014年湖南省益阳市中考第20题如图1，直线y3x3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线ya(x2)2k经过A、B两点，并与x轴交于另一点C，其顶点为P（1）求a，k的值；（2）抛物线的对称轴上有一点Q，使ABQ是以AB为底边的等腰三角形，求点Q的坐标；（3）在抛物线及其对称轴上分别取点M、N，使以A、C、M、N为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长】图文解析（1）由y3x3，得A(1, 0)，B(0, 3)将A(1, 0)、B(0, 3)分别代入ya(x2)2k，得解得a1，k1（2）如图2，抛物线的对称轴为直线x2，设点Q的坐标为(2, m)已知A(1, 0)、B(0, 3)，根据QA2QB2，列方程12m222(m3)2解得m2所以Q(2, 2)（3）点A(1, 0)关于直线x2的对称点为C(3, 0)，AC2如图3，如果AC为正方形的边，那么点M、N都不在抛物线或对称轴上如图4，当AC为正方形的对角线时，M、N中恰好有一个点是抛物线的顶点(2,1) 因为对角线AC2，所以正方形的边长为图1 图2 图3 图4考点伸展如果把第（3）题中的正方形改为平行四边形，那么符合条件的点M有几个？如果AC为对角线，上面的正方形AMCN是符合条件的，M(2,1)如图5，如果AC为边，那么MN/AC，MNAC2所以点M的横坐标为4或0 此时点M的坐标为(4, 3)或(0, 3)第（2）题如果没有限制等腰三角形ABQ的底边，那么符合条件的点Q有几个？如图2，当QAQB时，Q(2, 2)如图6，当BQBA时，以B为圆心，BA为半径的圆与直线x2有两个交点 根据BQ210，列方程22(m3)210，得此时Q或如图7，当AQAB时，以A为圆心，AB为半径的圆与直线x2有两个交点，但是点(2,3)与A、B三点共线，所以Q(2, 3)图5 图6 图7例 26 2014年湖南省邵阳市中考第25题准备一张矩形纸片（如图1），按如图2操作：将ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的点M，将CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的点N（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；（2）若四边形BFDE是菱形，AB2，求菱形BFDE的面积动感体验请打开几何画板文件名“14邵阳25”，拖动点D可以改变矩形ABCD的形状，可以体验到，当EM与FN在同一条直线上时，四边形BFDE是菱形，此时矩形的直角被三等分思路点拨1平行四边形的定义和4个判定定理都可以证明四边形BFDE是平行四边形2如果平行四边形BFDE是菱形，那么对角线平分一组对角，或者对角线互相垂直用这两个性质都可以解答第（2）题图文解析（1）如图3，因为AB/DC，所以ABDCDB又因为12，34，所以13所以BE/FD又因为ED/BF，所以四边形BFDE是平行四边形图1 图2图3 图4图5 图6（2）如图4，如果四边形BFDE是菱形，那么15所以125由于ABC90，所以12530所以BD2AB4，AE所以ME所以S菱形BFDE2SBDEBDME考点伸展第（1）题的解法，我们用平行四边形的定义作为判定的依据，两组对边分别平行的四边形叫平行四边形还可以这样思考：证明四边形BFDE的两组对边分别相等；证明ED与BF平行且相等；证明四边形BFDE的两组对角分别相等这三种证法，都要证明三角形全等，而全等的前提，要证明1234这样其实就走了弯路，因为由13，直接得到BE/FD，根据平行四边形的定义来得快能不能根据BD与EF互相平分来证明呢？也是可以的：如图5，设EF与BD交于点O，根据“角角边”证明EMOFNO，得到EF与MN互相平分又因为BMDN，于是得到EF与BD互相平分第（2）题的解法，我们用了菱形的性质：对角线平分每组对角，得到30的角我们也可以根据菱形的对角线互相垂直平分来解题：如图6，如果四边形BFDE是菱形，那么对角线EFBD，此时垂足M、N重合因此BD2DC这样就得到了530事实上，当四边形BFDE是菱形时，矩形ABCD被分割为6个全等的直角三角形由AB2，得AD矩形ABCD的面积为菱形面积占矩形面积的，所以菱形面积为15 因动点产生的面积问题课前导学面积的存在性问题常见的题型和解题策略有两类：第一类，先根据几何法确定存在性，再列方程求解，后检验方程的根第二类，先假设关系存在，再列方程，后根据方程的解验证假设是否正确如图1，如果三角形的某一条边与坐标轴平行，计算这样“规则”的三角形的面积，直接用面积公式如图2，图3，三角形的三条边没有与坐标轴平行的，计算这样“不规则”的三角形的面积，用“割”或“补”的方法图1 图2 图3图4 图5 图6计算面积长用到的策略还有：如图4，同底等高三角形的面积相等平行线间的距离处处相等如图5，同底三角形的面积比等于高的比如图6，同高三角形的面积比等于底的比例 32 湖南省常德市中考第25题如图1，已知二次函数的图象过点O(0,0)、A(4，0)、B()，M是OA的中点（1）求此二次函数的解析式；（2）设P是抛物线上的一点，过P作x轴的平行线与抛物线交于另一点Q，要使四边形PQAM是菱形，求点P的坐标；（3）将抛物线在轴下方的部分沿轴向上翻折，得曲线OBA（B为B关于x轴的对称点），在原抛物线x轴的上方部分取一点C，连结CM，CM与翻折后的曲线OBA交于点D，若CDA的面积是MDA面积的2倍，这样的点C是否存在？若存在求出点C的坐标；若不存在，请说明理由图文解析（1）因为抛物线与x轴交于O(0,0)、A(4，0)两点，设yax(x4)代入点B()，得解得所以（2）如图2，由A(4，0)，M是OA的中点，可知OA4，MA2，M(2, 0)如果四边形PQAM是菱形，已知PQ/OA，首先要满足PQ2，再必须MP2因为抛物线的对称轴是直线x2，P、Q关于x2对称，所以点P的横坐标为1，故点P的坐标为由M(2, 0)、P，可得MP2所以当点P的坐标为时，四边形PQAM是菱形（3）如图3，作CEx轴于E，作DFx轴于F我们把面积进行两次转换：如果CDA的面积是MDA面积的2倍，那么MCA的面积是MDA面积的3倍而MCA与MDA是同底三角形，所以高的比CEDF31，即yCyD31因此MEMF31设MFm，那么ME3m原抛物线的解析式为，所以翻折后的抛物线的解析式为所以D，C根据yCyD31，列方程整理，得3m24解得所以所以点C的坐标为（如图3），或（如图4）图1 图2 图3 图4考点伸展第（1）题可以设抛物线的顶点式：由点O(0,0), A(4，0)，B()的坐标，可知点B是抛物线的顶点可设，代入点O(0,0)，得例 33 2014年湖南省永州市中考第25题如图1，抛物线yax2bxc（a0）与x轴交于A(1, 0)，B(4, 0)两点，与y轴交于点C(0, 2)点M(m, n)是抛物线上一动点，位于对称轴的左侧，并且不在坐标轴上过点M作x轴的平行线交y轴于点Q，交抛物线于另一点E，直线BM交y轴于点F（1