量子力学习题.doc

河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷 学年第 学期 级 专业（类） 考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 A （注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）一、概念题：（共20分，每小题4分）1、简述波函数的统计解释；2、对“轨道”和“电子云”的概念，量子力学的解释是什么？3、力学量在自身表象中的矩阵表示有何特点？4、简述能量的测不准关系；5、电子在位置和自旋表象下，波函数如何归一化？解释各项的几率意义。二（20分）设一粒子在一维势场中运动（）。求其定态能级和波函数。三（20分）设某时刻，粒子处在状态，求此时粒子的平均动量和平均动能。四（20分）某体系存在一个三度简并能级，即。在不含时微扰作用下，总哈密顿算符在表象下为。求受微扰后的能量至一级。五（20分）对电子，求在表象下的、的矩阵表示。A11河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷 学年第 学期 级 专业（类） 考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 B （注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）一、概念题：（共20分，每小题4分）1、何为束缚态？2、当体系处于归一化波函数所描述的状态时，简述在状态中测量力学量F的可能值及其几率的方法。3、设粒子在位置表象中处于态,采用Dirac符号时，若将改写为有何不妥？采用Dirac符号时，位置表象中的波函数应如何表示？4、简述定态微扰理论。5、SternGerlach实验证实了什么？二（20分）设粒子在三维势场中运动，求粒子定态能量和波函数。三（20分）一维运动的粒子在态中运动，其中。求四（20分）求一维线性谐振子偶极跃迁的选择定则。五（20分）对自旋为的粒子，求在表象中、的矩阵表示。B11河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷 学年第 学期 级 专业（类） 考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 C （注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）一、概念题：（共20分，每小题4分）1、一个物理体系存在束缚态的条件是什么？2、两个对易的力学量是否一定同时确定？为什么？3、测不准关系是否与表象有关？4、在简并定态微扰论中，如的某一能级，对应f个正交归一本征函数（=1，2，f），为什么一般地不能直接作为的零级近似波函数？5、在自旋态中，和的测不准关系是多少？二（20分）求在三维势场中运动的粒子的定态能量和波函数。三（20分）求氢原子基态的最可几半径。四（20分）已知哈密顿算符在某表象下且知其基态E0=3，求实数a，b，c。五（20分）求在表象下，的本征值及本征函数。当体系处于态时，求的几率为多少？C11河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷 学年第 学期 级 专业（类） 考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 D （注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）一、概念题：（共20分，每小题4分）1、在定态问题中，不同能量所对应的态的迭加是否为定态方程的解？同一能量对应的各简并态的迭加是否仍为定态方程的解？2、两个不对易的算符所表示的力学量是否一定不能同时确定？举例说明。3、说明厄米矩阵的对角元素是实的，关于对角线对称的元素互相共轭。4、何谓选择定则。5、能否由方程直接导出自旋？二（20分）求在一维势阱中运动的粒子的定态能级和波函数。三（20分）当体系处在状态 时，（这里为角坐标）。求角动量z分量Lz的可能值及其平均值。四（20分）转动惯量为，电偶极矩为的空间转子，处在均匀电场中，如电场较小，用微扰方法求转子基态能量至二级。五（20分）已知，为角动量算符，为共同本征态，试证明：D11河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷 学年第 学期 级 专业（类） 考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 E （注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）一、概念题：（共20分，每小题4分）1、叙述量子力学的态迭加原理。2、厄米算符是如何定义的？3、据，=1，证明：。4、非简并定态微扰论的计算公式是什么？写出其适用条件。5、自旋，问是否厄米算符？是否一种角动量算符？二（20分）粒子在势场中运动，求其定态能级及波函数。三（20分）氢原子处于基态。求(1) 的平均值；(2) 动量的平均值四（20分）已知哈密顿算符求：（1）能量本征值；（2）当a很小时，能量修正至二级。五（20分）设，其中分别为轨道角动量和自旋的自旋角动量。分别为的量子数。求证：在确定的态中，当时；当时。E11河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷 学年第 学期 级 专业（类） 考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 F （注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）一、概念题：（共20分，每小题4分）1、波函数的量纲是否与表象有关？举例说明。2、动量的本征函数有哪两种归一化方法？予以简述。3、知，问能否得到？为什么？4、简述变分法求基态能量及波函数的过程。5、简单Zeemann效应是否可以证实自旋的存在？二（20分）求在辏力场势中运动的粒子，当l=0时的定态能级与波函数。（l为角量子数）三（20分）证明，=。其中为轨道角动量x分量，为动量y分量。四（20分）已知哈密顿算符在某表象下。求：（1）实数a，b；（2）能级和本征态。五（20分）已知，其中为自旋的自旋角动量，为轨道角动量。求体系的定态能级与波函数。F11河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷 学年第 学期 级 专业（类） 考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 G （注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）一、概念题：（共20分，每小题4分）1、不考虑自旋，当粒子在库仑场中运动时，束缚态能级的简并度是多少？若粒子自旋为s，问的简并度又是多少?2、根据说明粒子在辏力场中运动时，角动量守恒。3、对线性谐振子定态问题，旧量子论与量子力学的结论存在哪些根本区别？4、简述氢原子的一级stark效应。5、写出的计算公式。二（20分）已知粒子在势场中运动，求束缚态能级所满足的方程。三（20分）证明：，= 四（20分）求线性谐振子在动量表象下的能级和波函数。五（20分）已知体系，其中为轨道角动量，为自旋（）角动量。求体系的定态能级与波函数。G11河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷 学年第 学期 级 专业（类） 考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 H （注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）一、概念题：（共20分，每小题4分）1、由，说明波函数的量纲。2、为厄米算符，问，与，是否厄米算符？3、据，=1，证明：。4、利用量子力学的含时微扰论，能否直接计算发射系数和吸收系数？5、什么是耦合表象？二（20分）粒子在势场中运动，求其定态能级及波函数。三（20分）球谐振子基态为，求动能平均值和最可几半径。四（20分）某体系存在三个非简并能级：E01，E02，E03，相应波函数为，。受微扰下，求其能量至二级，波函数至一级。（注：是在表象下给出的）。五（20分）求在表象下，的本征值及本征函数。当体系处于态时，求的几率为多少？H11河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷 学年第 学期 级 专业（类） 考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 I （注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）一、概念题：（共20分，每小题4分）1、不考虑粒子内部自由度，宇称算符是否为线性厄米算符？为什么？2、写出几率密度与几率流密度所满足的连续性方程。3、已知，且，试推出线性谐振子波函数的递推公式。4、写出一级近似下，跃迁几率的计算式。5、何谓无耦合表象？二（20分）粒子在中运动，求其定态能级及波函数。三（20分）证明：，其中。四（20分）在某表象下矩阵形式为 ，求其本征值及本征函数。五（20分）证明。其中为与对易的矢量算符，为的自旋算符。I11河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷 学年第 学期 级 专业（类） 考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 J （注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）一、概念题：（共20分，每小题4分）1、给出线性谐振子定态波函数的递推公式。2、，是否线性算符？3、在什么样的基组中，厄米算符是厄米矩阵？4、何谓选择定则？5、写出公式。二、（20分）已知粒子在中运动，求束缚态能级满足的关系式。三、（20分）设粒子在一维无限深势阱中运动，其基态能量为，现体系处在由归一化波函数所表示的状态，求：（1）包含区间0,的势阱位置；（2）写出测量基态的几率的计算公式。四、（20分）当1时，求在表象中与的矩阵表示。五、（20分）求在中，算符与的本征值。J11河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷 学年第 学期 级 专业（类） 考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 K （注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）一、概念题：（共20分，每小题4分）1、何为束缚态？2、写出位置表象中，和的表示式。3、对于定态问题，试从含时方程推导出定态方程；4、对于氢原子，其偶极跃迁的选择定则对主量子数n是否存在限制？为什么？5、在现阶段所学的量子力学中，电子的自旋是作为一个基本假定引入的，还是由其它假定自然推出的？二、（20分）求在一维势场（A0）中，运动的粒子的定态能级和波函数。三、（20分）一粒子在一维无限深势阱中运动，求其处于定态时的平均动能。四、（20分）设尝试函数为，c为归一化系数，为与无关的变分参数，试用变分法求线性谐振子的基态能量及波函数。五、（20分）求在自旋态中的测不准关系K11河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷 学年第 学期 级 专业（类） 考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 L （注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）一、概念题：（共20分，每小题4分）1、假如波函数应满足的方程不是线性方程，波函数是否一定能归一化？2、试写出动量表象中，的表式3、幺正算符是怎样定义的？4、我们知道，平面单色波的电场能和磁场能相等，而在用微扰论计算发射系数和吸收系数时，我们为什么忽略了磁场对电子的作用？5、对于自旋为3/2的粒子，其自旋本征函数应是几行一列的矩阵？二、（20分）试求三维各向同性谐振子的基态波函数。三、（20分）推导对易关系，其中为坐标分量算符，为轨道角动量分量算符。四、（20分）已知某表象下力学量，求其本征值及本征函数。五、（20分）在自旋态中，其测不准关系 L11河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷 学年第 学期 级 专业（类） 考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 M （注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）一、概念题：（共20分，每小题4分）1、写出德布罗意关系式及自由粒子的德布罗意波。2、一维线性谐振子基态归一化波函数为 ，试计算积分；3、当体系处于归一化波函数所描述的状态时，简述在态中测量力学量F的可能值及其几率的方法；4、已知氢原子径向方程无简并，微扰项只与有关，问非简并定态微扰论能否适用？5、自旋是否意味着自转？二、（20分）一体系哈氏量为 其中c为常数，求其定态能级及波函数。三、（20分）试证明 四、一粒子在一维势场中运动，b很小，试用微扰论求其定态能量至二级，波函数至一级。五、（20分）已知角动量，求在态中的的值。M11河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷 学年第 学期 级 专业（类） 考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 N （注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）一、概念题：（共20分，每小题4分）1、光到底是粒子还是波；2、两个对易的力学量是否一定同时具有确定值？在什么情况下才同时具有确定值？3、不考虑自旋，求球谐振子能级En的简并度；4、我们学过，氢原子的选择定则，这是否意味着的跃迁绝对不可能发生？5、克莱布希高豋系数是为解决什么问题提出的？二、（20分）设粒子在二维势场中运动，其中常数，求其定态能级和波函数。三、（20分）在一维无限深势阱中运动的粒子，求它处在定态时的平均坐标。四、（20分）求氢原子处于基态时，在恒定外弱电场作用下，其定态能级至二级和波函数至一级。五、（20分）根据在表象下的矩阵表示，求自旋的本征值及对应本征函数（粒子s=）。N11河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷 学年第 学期 级 专业（类） 考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 O （注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）一、概念题：（共20分，每小题4分）1、在球坐标系下，波函数为什么应是进动角的周期函数？2、设当和时，势能为常数，试将此区域内的二维方程分离变量(不求解)；3、何谓力学量完全集？4、定性说明为什么在氢原子的Stark效应中，可将视为微扰项？5、Pauli算符是否满足角动量的定义式？二、（20分）有一粒子在一维势场 中运动，求其定态能级及波函数。三、（20分）已知，其中、均为厄米算符，利用关系证明测不准关系 。四、（20分）已知、的伴随表示分别为 及 求的矩阵表示。五、（20分）求在自旋态的测不准关系 O11河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷 学年第 学期 级 专业（类） 考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 P （注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）一、概念题：（共20分，每小题4分）1、简述量子力学产生的背景；2、写出位置表象中直角坐标系下、的表示式；3、为有心力场中的径向波函数，问是否成立？为什么？4、定态微扰论是否适用于主量子数n很大的氢原子情况？为什么？5、有关角动量的定义，我们学过哪两种？哪一种更广泛？自旋角动量是按哪一种定义的？二、（20分）电子在三维势场 中运动，其中D为常数，求其定态能级及波函数。三、（20分）试推导 的对易关系。四、（20分）在各向同性三维谐振子中加入微扰项，其中为很小的常数，求第一激发态能量的一级修正。五、（20分）求在态中的的值，其中角动量。P11河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷 学年第 学期 级 专业（类） 考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 Q （注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）一、概念题：（共20分，每小题4分）1、说明的量纲；2、说明在定态问题中，定态能量的最小值不可能低于势能的最低值；3、简述占有数表象；4、试说明对易的厄米算符的乘积也是厄米算符；5、何为偶极近似？二、（20分）一粒子的哈密顿算符为，其中B为常数，求其定态能级及本征函数。三、（20分）已知、分别为坐标和角动量的分量算符，推导其对易关系 。四、（20分）在各向同性三维谐振子的哈氏算符中加入微扰项，其中为很小的常数，求其第一激发态能量的一级近似。五、（20分）求在表象下，的本征值及对应本征函数（粒子s=）。Q11河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷 学年第 学期 级 专业（类） 考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 R （注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）一、概念题：（共20分，每小题4分）1、量子力学克服了旧量子论的哪些不足？2、写出的本征值及对应本征函数；3、一个物理体系存在束缚态的条件是什么？4、简述态的表象变换的方法；5、已知总角动量，试说明。二、（20分）令为氢原子哈密顿算符，已知一粒子，求此粒子的定态能级及波函数（其中A为常数）。三、（20分）设粒子在一维线性谐振子势中运动，求其基态的测不准关系四、（20分）已知，其中已精确求出，试推导、（分别为能量的一级、二级修正及波函数的一级、二级修正）所满足的方程组。五、（20分）已知总角动量，、的角量子数分别为、，的角量子数和磁量子数分别为、，当体系处在态时，问的值为多少？R11河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷 学年第 学期 级 专业（类） 考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 S （注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）一、概念题：（共20分，每小题4分）1、旧量子论存在哪些不足？2、对于旧量子论中氢原子的“轨道”，量子力学的解释是什么？3、两个不对易的力学量一定不能同时确定吗？举例说明；4、简述变分法的思想；5、写出电子在表象下的三个Pauli矩阵。二、（20分）已知一粒子在三维势场 中运动，求其定态能级及波函数。三、（20分）求线性谐振子基态的动能平均值。四、（20分）已知，其中为三维各向同性谐振子的哈氏算符，为很小的常数，试用微扰方法求其第一激发态能量的一级近似。五、（20分）已知，为角动量算符，为、共同本征态，证明：S11河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷 学年第 学期 级 专业（类） 考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 T （注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）一、概念题：（共20分，每小题4分）1、简述波函数的Born统计解释；2、设是定态方程的解，说明也是对应同一本征能级的解，进而说明无简并能级的波函数一定可以取为实数；3、引入Dirac符号的意义何在？4、定态微扰论的适用范围是什么？5、简述两个角动量耦合的三角形关系。二、（20分）一粒子在一维势场 中运动，求其束缚态能级所满足的方程（0）。三、（20分）试求线性谐振子基态的势能平均值。四、（20分）已知哈密顿函数，求：（1）能量本征值； （2）当很小时，能量修正至二级。五、（20分）令为轨道角动量，为电子自旋角动量，如体系哈氏算符，其中、均为常数，试求体系定态能级和波函数。T11