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一元函数的连续性第四章 函数的连续性1连续性概念1. 按定义证明下列函数在其定义域内连续:(1);(2) .证明(1) 的定义域是且,取,由函数极限四则运算可知,所以在连续.由在定义域内的任意性知在其定义域内连续.(2) 的定义域是,任取,由于,所以对任给的,取,使得当时有.按函数在一点连续的定义, 在连续,由在中的任意性知在定义域内连续.2. 指出下列函数的间断点并说明其类型:(1) ;(2) ;(3) ;(4) ;(5);(6) (7) 解(1)因仅在处无定义,故为函数的间断点,又因,所以为第二类间断点.(2)因仅在处无定义,故为函数的间断点, 又因所以是的第一类间断点,且为跳跃间断点.(3)由于而,所以为该函数的可去间断点.(4)由于故,而,所以为函数的可去间断点.(5)由于故所以皆为函数的跳跃间断点.(6)当时,由于存在有理数列和无理数列使得: 且;且,故而且据函数极限的归结原则, 不存在,同理也不存在,所以的点皆为函数的第二类间断点.(7)因为所以为函数的第二类间断点.因为即所以为函数的跳跃间断点.综上, 是该函数的第二类间断点, 是该函数的跳跃间断点.3. 延拓下列函数,使其在上连续:(1) ;(2) ;(3) .分析:如果函数在上无定义的点皆为可去间断点,那么只需在每个无定义的点处补充定义,就可以使的定义扩大到上且处处连续.解(1) 在时无定义,而,故为的可去间断点,令则为在上的延拓,且在上连续.(2) 在时无定义,而,所以为该函数的可去间断点.令则为在上的延拓,且在上连续.(3) 在时无定义,而,所以为该函数的可去间断点.令则为在上的延拓.4. 证明:若在点连续,则与也在点连续.又问:若或在上连续,那么在上是否必连续?分析 将和与的不等式关系找出,从而利用极限定义求证其连续,即运用极限理论讨论可得结论.证明(1)因为在点连续,所以,则根据极限的定义,对任给的,存在,使得当时有.又因所以当时也有.所以,即可知在点连续.(2) 因在连续,即,所以由函数极限的局部有界性知,存在,使得当时,有.取,当时,有.所以在连续.但是,当或在上连续时, 在上不一定连续.例如则,为常数1,故处处连续,但却处处不连续.5. 设当时, ,而.证明: 与两者中至多有一个在连续.证明:反证法 假设和都在连续,即,又因时,所以,从而有,这与题设相矛盾.因此假设错误. 与两者中至多有一个在连续.6. 设为区间上的单调函数.证明:若为的间断点,则必是的第一类间断点.证明:设在上递增,当且不是的端点时,必存在的某邻域,因在内递增且以为上界,在内递增且以为下界,据函数极限的单调有界原理知与都存在,从而是的第一类间断点.当且为的左(右)端点时, 在处的右(左)极限存在,所以仍为第一类间断点.7. 设函数只有可去间断点,定义.证明为连续函数.证明:设的定义域为,则对任意的,因为,所以对任意的,存在,当时,有.对任意的,因为,所以对同一,存在,使,且对任意的时,有.从而有.从而得,所以在点处连续.由的任意性知, 在上连续.8. 设为上的单调函数,定义.证明在上每一点都右连续.证明:假定为上的单调函数.对任意的,因存在,即,所以对任意的,存在,当时,有.取使,有.又由在上的单调增加性有,即有.由此可知,对一切有.因此点是的右连续点,再由在上的任意性,推得为上的右连续函数.9. 举出定义在上分别符合下述要求的函数:(1) 只在和三点不连续的函数;(2) 只在和三点连续的函数;(3) 只在上间断的函数;(4) 只在右连续,而在其它点都不连续的函数.解(1) (2) (3) (4) 2连续函数的性质1. 讨论复合函数与的连续性,设(1) ;(2) 解(1)由于,故,所以在所有点上都连续.又且,所以为的可去间断点,其余点均为的连续点.(2)由于,且所以在处有跳跃间断点,在其它点连续.又,所以处处连续.2. 设在点连续,证明:(1) 若,则存在,使在其内有;(2) 若在某内有,则.证明(1)令,则,又因为在点连续,由定理4.4知在点连续.由连续函数的局部保号性,对任何正数,存在某,使得对一切,有,即存在,使得对一切,有,即.(3) 由在点连续可知,有,又因为在内有,则有极限保号不等式性有.3. 设在区间上连续.记.证明和也都在上连续.证明:法一利用第一章总练习题1的结论.因在上连续,而,是由经过加,减,乘运算及其幂函数的复合运算所得,故也在上连续.法二 利用和的性质,由的连续性推出和的连续性.对区间上任意一点,在点连续,则对任给,存在正数,使得当时,有,当时,有.取,则有,同时成立.从而有且.即.又有且,即.综合以上得.由的任意性得.即同理可证4. 设为上连续函数,常数.记证明在上连续.证明:令,因常数,都在上连续,所以由3题结论知在上连续,又因也在上连续,再由3题结论知在上连续,即在上连续.5. 设证明复合函数在连续,但在不连续.证明:因所以,.又,故在连续,但是,因,故在不连续.6.设在上连续,且存在.证明: 在上有界,又问在上必有最大值或最小值吗?证明(1)由于存在，设，则根据极限定义，对，存在，使得当时，有，从而。又因为在上连续，从而在上连续，根据闭区间上连续函数有界性知，存在，使得对一切，有，取，则对一切，恒有，故在上有界。（2）虽然在上连续且有界，但不是闭区间，因此不能保证在上一定有最大值或最小值。例如：在上连续，但在上无最小值。7若对任何充分小的，在上连续，能否由此推出在内连续。解：可推出在内连续。证明如下：任取，令，则，且。从而，因在上连续，所以在连续。由的任意性，证得在内连续。8求极限：（1）；（2）。解：（1）由于为初等函数，点在定义域内，从而函数在该点连续，于是有。（2）该函数为初等函数，在处右连续，故。9证明：若在上连续,且对任何，则在上恒正或恒负。证明：反证法。若在上有正值也有负值，不妨设，使，因在上连续，从而也在上连续，且，由根的存在性定理，至少存在一点，使得，与题中条件矛盾，因此假设错误，故在上恒正或恒负。10证明：任一实系数奇次方程至少有一个实根。证明：设方程为：,其中为奇数，不妨设，记，则，由，知任给，存在，当时，。由，知任给，存在，当时，。由上知，在上连续，且，由根的存在性定理，至少存在一点，使得，故至少有一个实根。11.一致连续的定义证明：若都在区间上一致连续，则也在上一致连续。证明：因在区间上一致连续，则任给,存在,使得对任意的，只要，就有。当，就有。取，那么对任何，只要，就有。由定义，在上一致连续。12.证明在上一致连续。证明：因为在闭区间上连续，据一致连续性定理知，在上一致连续。由于时，有，所以对任给的，可取，只要，且，就有。由定义，在上一致连续。综上，在上一致连续。13.证明：在上一致连续，但在上不一致连续。证明：先证在上一致连续，由于时，有令，所以对任给的，取，当且时，有，故在上一致连续。再证在上不一致连续。取，无论正数多么小，存在满足：，但，所以在上不一致连续。14.设函数在区间上满足利普希茨（Lipschitz）条件，即存在常数，使得对上任意两点都有。证明在上一致连续。证明：对任给的，取，当且时，由利普希茨条件有。故在上一致连续。15.证明在上一致连续。证明：由于任意的时恒有。所以对任给的，取，那么对一切，只要，就有。故在上一致连续。16.设函数满足第6题的条件。证明在上一致连续。证明：因为存在，设，则对任意的，存在，当时，有。又在上连续，从而可得，有在上一致连续。对任意的，有，。从而有。所以在上一致连续。由例10的结论可知在上一致连续。17.设函数在上连续，且。证明：存在点，使得。证明：设。由于在上连续，所以在上连续，于是在上连续。又。若，则取均可以。若。则，由根的存在性定理，存在，使得，即。综上，存在，使得。18.设为上的增函数，其值域为。证明在上连续。证明：反证法。假设在上某点不连续，则存在，对任意的，存在，使得。又为上的增函数，则有。是一个闭区间，由实数的稠密性，对上述，存在，当时，有成立。由假设推出的结论与此矛盾，因此假设错误，原命题结论成立。即在上连续。19.设在上连续，。证明：存在，使得。证明：设中的最大者为，最小者为，则有，若或，则取或均满足要求。若。对在以，为端点的区间上应用连续函数介值性定理知，存在使得。20.证明在上一致连续。证明：由于可看成函数与的复合，由定理4.5知，在上连续，据一致连续性定理，又知必在上一致连续。当时，对任给的，取，对任何，只要，就有。所以在上一致连续。3.初等函数的连续性1.求下列极限：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。解：（1）因函数在连续，故。（2）由初等函数的连续性，。（3）（4）。（5）。2.设，。证明：因，故存在，当时，有，从而。第五章导数和微分1.导数的概念1.已知直线运动方程为，分别令，求从到这一段时间内运动的平均速度及时的瞬时速度。解：平均速度是差商概念。从到时间内， 分别令，可得平均速度分别为。瞬时速度是导数的概念。2.等速旋转的角速度等于旋转角与对应时间的比，试由此给出变速旋转的角速度的定义。解：变速旋转的角速度包括平均角速度与瞬时角速度。平均角速度是差商概念，则时刻到时间内的平均角速度为。通常所说变速旋转的角速度多指瞬时角速度。3.设，试求极限。解：依导数定义，。4.设试确定的值，使在处可导。解: ,又可导必连续，从而，由于，故，从而。综上，。5.试确定曲线上哪些点的切线平行于下列直线：（1）；（2）。解：曲线在点处切线的斜率为。（1） 直线的斜率为1，从而得，代入，得，所以曲线上处的切线平行于直线。（2） 直线的斜率为2，从而得，代入得，所以曲线上处切线平行于直线。.6. 求下列曲线在指定点的切线方程与法线方程：（1）；（2）。解：（1），故切线方程为，即；法线斜率为，故法线方成为，即。（2），故切线方程为，即，法线方成为。7.求下列函数的导函数：（1）；（2）解：（1）当时，；当时，；当时，所以。故。（2）当时，；当时，当时，因，所以在不可导，故。8.设函数，试问：（1）等于何值时，在连续；（2）等于何值时，在可导；（3）等于何值时，在连续。解：（1）当时，.因此，对一切正整数，在连续。（2），当即时，；当时，不存在，故正整数时，在可导且。（3） 由（2）知，当时，。当时，故正整数时，在连续。10. 求下列函数的文定点：（1）；（2）。解：（1），则故是原函数的文定点。（2），故是函数的文定点。10.设函数在点存在左右导数，试证在点连续。证明：因为在点存在右导数，依定义有存在，即，所以。同理，根据在左可导有，所以，即在连续。11. 设，。求。解：，而有界，故得到。12. 设是定义在上的函数，且对任何，都有。若，证明对任何，都有。证明：由可得，从而或.若,则与已知矛盾,故成立.对任何,有即对任何,有.13. 证明:若存在,则.证明: .14. 证明:若函数在上连续且,则在内至少有一点,使.证明:由于,不妨设,即.根据极限保号性,分别存在,使得时, ,从而;当时, ,从而.取,则有,因在上连续,由介值定理知至少存在一点,使.15. 设有一吊桥,其铁链成抛物线型,两端系于相距100m高度相同的支柱上，铁链之最低点在悬点下10m处，求铁链与支柱所成之角.解:建立坐标系.悬点坐标为.铁链方程为.因为,所以铁链在处的切线倾角,铁链在处与支柱的夹角为.16. 在曲线上取一点,过的切线与该曲线交于,证明:曲线在处的切线斜率正好是在处切线斜率的四倍.解:设点坐标为,则曲线在的导数为,即过的切线斜率为,该切线方程为,将此方程与联立求得交点的坐标为.曲线在点的导数为,即过点的切线斜率为,故曲线在处的切线斜率正好是在处切线斜率的四倍.2.求导法则1. 求下列函数在指定点的导数：（1） 设，求；（2） 设，；（3） 设，求。解：由导数的定义知，函数在点处的导数与的导函数在点处的值相等，即，故此题可先求出导函数，再得出指定点的导数。（1） 依据多项式求导法则，知，于是。（2） 由除法求导法则，知故，。（3） 当时，于是，由于的定义域为，所以在处只能讨论右导数，2.求下列函数的导数：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）。解：（1）。（2）。（3）。（4）。（5）。（6）。（7）。（8）。（9）。（10）。(11)。（12）3.求下列函数的导函数：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）；（14）；（15）；（16）；（17）；（18）；（19）；（20）；（21）；（22）；（23）；（24）；（25）；（26）。解：（1）。（2）。（3）。（4）。（5）。（6）。（7）（8）。于是。（9）（10）。（11）。（12）。（13）。（14）。（15）。（16）。（17）。（18）。（19）用对数求导法：，两边关于求导，得，整理得。（20）用对数求导法： ，再两边取对数，得，两边求导，得，整理后得。（21）。（22）。（23）。（24）。（25）用对数求导法：两边求导，得，整理后得，。（26）。4.对下列各函数计算，。（1）；（2）；（3）。解：（1），由此得，。（2）由题知，。于是，从而，。（3）由题知，于是，从而，。5.已知为可导函数，为实数，试求下列函数的导数：（1）；（2）；（3）；（4）。解：（1）。（2）。（3）。（4）。6.设为可导函数，证明：若时有。则必有或。证明：由复合函数求导法则，有； 。当时，等式化为。即，故有或。7.定义双曲函数如下：双曲正弦函数；双曲余弦函数；双曲正切函数；双曲余切函数。证明：（1）；（2）；（3）；（4）。证明：（1）。（2）。（3）。（4）.8.求下列函数的导数：（1）；（2）;（3）；（4）。解：（1）。（2）。（3）。（4）。9.以分别表示各双曲函数的反函数。试求下列函数的导数：（1）；（2）;（3）；（4）；（5）；（6）。解：（1）,而，故当时，于是。（2）。（3）（4）。（5）。（6）。3.参变量函数的导数1.求下列由参量方程所确定的导数：（1）在，处；（2）在处。解：（1），。（2），故，即时恒有。2. 设求，。解：，于是，。3. 设曲线方程，求它在下列点处的切线方程与法线方程：（1）；（2）。解：（1），故。当时对应于曲线上点，所以切线方程为：，即，法线方程为，即。（2），当时对应于曲线上点，故切线方程为，即。法线方程为，即。4. 证明曲线上任一点的法线到原点距离等于。解：在曲线上任取一点。因,于是,法线斜率为,所以过的法线方程为,化简得.原点到该直线的距离,与无关.5. 证明:圆上任一点的切线与向径的夹角等于向径的极角.证明:设圆上一点的切线与向径的夹角为,据本节(5)式有，而与取值在范围内，在此区间内为等值函数（一一对应），故有，即圆上任一点的切线与向径的夹角等于向径的极角.6. 求心形线的切线与切点向径之间的夹角.解:设所求夹角为,则,用万能公式,代入上式得.当时, ;当时, .4.高阶导数1.求下列函数在指定点的高阶导数：（1），求；（2），求.解：（1），。（2），。2.设函数在点处二阶可导，证明：若，则在处有。证明：.,再由条件,得,故当时, 。3.求下列函数的高阶导数:(1),求;(2) ,求;(3) ,求；（4），求.解:(1) ,故.(2) ,故.(3) .(4)由于,所以由莱布尼茨公式有4.设为二阶可导函数,求下列各函数的二阶导数:(1);(2) ;(3).解:(1).(2) .(3) .5.求下列函数的阶导数:(1) ;（2）；（3）；（4）；（5）；（6）（均为实数）.解:(1) ,.(2) .(3) ,.(4)运用莱布尼茨公式以及和，有.(5) ,而,故.(6) 设,则.6.求由下列参数方程所确定的函数的二阶导数:(1)(2) .解:(1) .(2) .7.研究函数在处的各阶导数.解:由于,于是.所以又当时, ;当时, ,所以,于是,所以,又当时, ;当时, .所以,于是,故不存在.于是当时, 均不存在.8.设函数在点三阶可导,且.若存在反函数,试用以及表示.解:由反函数求导法则及,有,.9.设.(1)证明它满足方程;(2)求.证明:(1)由,所以.解:(2) .由于两边对求一次导能够得出.所以用莱布尼茨公式对两边阶导,得,令,得,再由,从而得出.10.设.(1)证明它满足方程;(2)求.证明：(1)由,即有.此时.对等式两边求阶导数,并用莱布尼茨公式得,即成立.( )解:(2) 中令,得递推公式,利用此递推公式及,得.11.证明函数在处阶可导且,其中为任意正整数.证明: .故存在且等于.以下用数学归纳法证明,其中为次数不超过的多项式.当时, ,满足上式.若,则为次数不超过的多项式,故的次数不超过()的多项式.于是的分子次数.故时任意均成立.当时,任意,故是的高阶无穷小,于是.5微分1若，而。问对于，与之差分别是多少？解：，于是。当时，。当时，。2求下列函数微分：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。解：（1）。（2）。（3）。（4）。（5）。（6）。3求下列函数的高阶微分：（1）设，求；（2）设，求。解：(1)，。，.(2) ，。由莱布尼茨公式知。4利用微分求近似值：（1）；（2）；（3）；（4）。解：（1），因此取，于是有，所以根据公式得。（2），因此取，则，由公式得。（3）。因此取，则，所以有。（4），因此取，则，所以有。5为了使计算出球的体积准确到，问度量半径时允许发生的相对误差至多应多少？ 解：由半径计算球的体积的函数式，于是有，由，解得，即测量半径时允许发生的相对误差最多为。6检查一个半径为2米，中心角为的工件面积，现可直接测量其中心角或此角所对的弦长，设量角最大误差为，量弦长最大误差为3毫米，试问用哪一种方法检验的结果较为精确。解：量角时面积（以度数表示）。则误差；量弦长时面积，则误差。从而有，故量中心角所对的弦长检验的结果较为精确，应采用此种检验方法。
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