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高等数学课程复习资料一、填空题：1.函数的定义域是_。2.若函数，则_。3._。4.已知，则_，_。5.已知，则_，_。6.函数的间断点是_。7.设, 则_。8.，则。9.函数的定义域为_。10.已知,则_。11.设，则_，_。12.设,则_。13._。14.设是连续函数，且，则_。15.若，则。16.设函数f(x,y)连续，且满足，其中则f(x,y)=_。17.求曲线所围成图形的面积为_。（a0）18.设，则有_。A. B. C. D.19.的满足初始条件的特解为_。20.微分方程的通解为_。21.微分方程的通解为_。22.设n阶方阵A满足|A|=3，则=|=_。23.是关于x的一次多项式，则该多项式的一次项系数是_。24.f(x)=是_次多项式，其一次项的系数是_。25.A、B、C代表三事件，事件“A、B、C至少有二个发生”可表示为_。26.事件A、B相互独立，且知则_。27.A，B二个事件互不相容，则_。28.对同一目标进行三次独立地射击，第一、二、三次射击的命中率分别为0.4,0.5,0.7,则在三次射击中恰有一次击中目标的概率为_。29.已知事件 A、B的概率分别为P（A）0.7，P（B）0.6，且P（AB）0.4，则P（）_；P（）_。30.若随机事件A和B都不发生的概率为p，则A和B至少有一个发生的概率为_。二、单项选择题：1.函数 A.是奇函数 B.是偶函数 C.既奇函数又是偶函数 D.是非奇非偶函数2.若函数，则 A. B. C. D. 3.设 ，则= A x Bx + 1 Cx + 2 Dx + 34.已知，其中，是常数，则 A. B. C. D.5.下列函数在指定的变化过程中，（ ）是无穷小量。 A. B. C. D. 6.下列函数中，在给定趋势下是无界变量且为无穷大的函数是 A. B. C. D.7.设，则在处 A.连续且可导 B.连续但不可导 C.不连续但可导 D.既不连续又不可导8.曲线在点（1，0）处的切线是 A. B. C. D. 9.已知，则= A. B. C. D. 610.若，则 A. B. C. D.11.的定义域为 A. B. C. D. 12.下列极限存在的是 A. B. C. D. 13.若，在内 A. B.C. D.14.设为奇函数，且时，则在上的最大值为 A. B. C. D. 15.函数 A.有极大值8 B.有极小值8 C.无极值 D.有无极值不确定16.设 A.依赖于 B.依赖于C.依赖于，不依赖于 D.依赖于，不依赖于17.曲线与轴围成的图形绕轴旋转所成的旋转体的体积为 A. B. C. D.18.设， A. B. C. D.19.下列不定积分中，常用分部积分法的是 A B C D20.设，则必有 A. I0 B. I0 C. I=0 D. I0的符号位不能确定21.设f(t)是可微函数，且f(0)=1，则极限（） A.等于0 B.等于 C.等于+ D.不存在且非22.设函数项级数，下列结论中正确的是 A.若函数列定义在区间上，则区间为此级数的收敛区间B.若为此级数的和函数，则余项，C.若使收敛，则所有都使收敛D.若为此级数的和函数，则必收敛于23.设为常数，则级数 A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散 D.敛散性与有关24.若级数在时发散，在处收敛，则常数 A.1 B.-1 C.2 D.225.的特解可设为 A. B. C. D. 26.微分方程的阶数是指 A.方程中未知函数的最高阶数 B.方程中未知函数导数或微分的最高阶数C.方程中未知函数的最高次数 D.方程中函数的次数27.下面函数( )可以看作某个二阶微分方程的通解。 A. B. C. D. 28.A、B均为n阶可逆矩阵，则A、B的伴随矩阵= A. B. C. D. 29.设A、B均为n阶方阵，则必有 A. |A+B|=|A|+|B| B. AB=BA C. |AB|=|BA| D. (A+B)1=A1+B130.A,B都是n阶矩阵,则下列各式成立的是 A. B. C. D. 31.在随机事件A，B，C中，A和B两事件至少有一个发生而C事件不发生的随机事件可表示为 A. B. C. D.32.袋中有5个黑球，3个白球，大小相同，一次随机地摸出4个球，其中恰有3个白球的概率为 A. B. C. D.33.已知，且,则下列选项成立的是 A. B. C. D. 三、解答题：1.设函数问：（1）为何值时，在处有极限存在？（2）为何值时，在处连续？2.已知，试确定和的值。3.设，求的间断点，并说明间断点的所属类型4.求方程中是的隐函数的导数。（1），求。（2）设，求，。5.设由方程所确定，求。6.设函数在0,1上可导，且，对于（0 ,1）内所有x有，证明在（0,1）内有且只有一个数x使。7.求函数的单调区间和极值。8.在过点的所有平面中，求一平面,使之与三个坐标平面所围四面体的体积最小。9.求下列积分（1） （2）（3），D由的围成。10.判别级数（常数）的敛散性。如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛?11.判别级数的敛散性。如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛?12.求幂级数在收敛区间上的和函数。13.求解微分方程。（1）的所有解。 （2） （3）四、求解题：1.计算下列行列式：（1） （2） 2.设矩阵A，B满足矩阵方程AX B，其中，求X 。3.设矩阵 试计算A-1B4.设，（1）若，求；（2）若，求；（3）若，求。5.假设有3箱同种型号零件，里面分别装有50件，30件和40件，而一等品分别有20件，12件及24件。现在任选一箱从中随机地先后各抽取一个零件（第一次取到的零件不放回），试求先取出的零件是一等品的概率；并计算两次都取出一等品的概率。19高等数学课程复习资料参考答案一、填空题：1.解： 2.解：3.解：4.解：由所给极限存在知，得,又由： 知5.解：，即，6.解：由是分段函数，是的分段点，考虑函数在处的连续性。因为 所以函数在处是间断的又在和都是连续的，故函数的间断点是。7.解：8.解：或9.解：函数z的定义域为满足下列不等式的点集。的定义域为：且10.解：令，则 11.解： 12.解：13.解：由导数与积分互为逆运算得：14.解：两边对求导得，令，得，所以15.解： 16.解：记，则，两端在D上积分有：，其中（由对称性），即 ，所以，17.解：18.解：令，则原幂级数成为不缺项的幂级数，记其各项系数为，因为，则，故.当时，幂级数成为数项级数，此级数发散，故原幂级数的收敛区间为.19.解： 20.解： 21.解：22.解： 23.解：2 24.解：由对角线法则知，f(x)为二次多项式，一次项系数为4。25.解：AB+BC+AC26.解：A、B相互独立， P(AB)=P(A)P(B) P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)=0.2+0.50.1=0.627.解： A、B互不相容，则P(AB)=0，P(AB)=P(A)P(AB)=0.828.解：设A、B、C分别表示事件“第一、二、三次射击时击中目标”，则三次射击中恰有一次击中目标可表示为，即有P()=P(A)=0.3629.解：P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)=0.9 P(AB)=P(A)P(AB)=0.70.4=0.330.解：P(A+B)=1P二、单项选择题：1.解：利用奇偶函数的定义进行验证。 所以B正确。2.解：因为，所以则，故选项B正确。3.解：由于，得将代入，得= 正确答案：D4.解： 答案：C5.解：无穷小量乘以有界变量仍为无穷小量，所以 而A、C、D三个选项中的极限都不为0，故选项B正确。6.解：，故不选A；取，则，故不选B；取，则，故不选D。 答案：C7.解：，因此在处连续。，此极限不存在，从而不存在，故不存在 答案：B8.解：由导数的定义和它的几何意义可知：，是曲线在点（1，0）处的切线斜率，故切线方程是，即 答案：A9.解：直接利用导数的公式计算：, 答案：B10.解：先求出，再求其导数。 答案：D11.解：z的定义域为个。 答案：D12.解：A.当P沿时，当P沿直线时，故不存在；B.，不存在； C.如判断题中1 题可知不存在；D.因为，所以。 答案：D13.解：。14.解：因为是奇函数，故，两边求导，从而，设，则，从而，所以在-10，-1上单调增加，故最大值为 答案：B15.解：， ，为极大值 答案：A16.解：根据周期函数定积分的性质有 。17.解：所求旋转体的体积为答案：B18.解：利用定积分的奇偶性质知，所以 答案：D19.解：答案：B20.解：D： 21.解：由极坐标，原极限22.解：答案：B23.解：因为，而收敛，因此原级数绝对收敛。故答案：A24.解：由于收敛，由此知。当时，由于的收敛半径为1，因此该幂级数在区间内收敛，特别地，在内收敛，此与幂级数在时发散矛盾，因此。 答案：B25.解：答案：C 26.解：答案：B 27.解：答案：C 28.解：答案：D 29.解：答案：C30.解：答案：B 31.解：答案：A32.解：基本事件总数为，设A表示“恰有3个白球”的事件，A所包含的基本事件数为=5，故P(A)=。 答案：D33.解：由题可知A1、A2互斥，又0P(B)1，0P(A1)1，0P(A2)1，所以 P(A1BA2B)=P(A1B)+P(A2B)P(A1A2B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2) 答案：C三、解答题：1.解：（1）要在处有极限存在，即要成立，。因为，所以当时，有成立，即时，函数在处有极限存在，又因为函数在某点处有极限与在该点处是否有定义无关，所以此时可以取任意值。（2）依函数连续的定义知，函数在某点处连续的充要条件是于是有，即时函数在处连续。2.解： ，即 故3.解：在内连续，因此是的第二类无穷间断点；，因此是的第一类跳跃间断点。4.解：（1）方程两边对自变量求导，视为中间变量，即 整理得 （2）5.解:设 6.解：7.解：函数的定义域是令 ，得驻点 -2 0 + 0 - 0 + 极大值极小值故函数的单调增加区间是和，单调减少区间是及，当-2时，极大值；当0时，极小值。8.解:设平面方程为，其中均为正，则它与三坐标平面围成四面体的体积为，且，令，则由， 求得，由于问题存在最小值，因此所求平面方程为，且。9.解（1）： 极限不存在，则积分发散。（2）：是D上的半球面，由的几何意义知 I=V半球=。（3）：关于x轴对称，且是关于y的奇函数，由I几何意义知，。10.解：由，而，由正项级数的比较判别法知，与同时敛散。而收敛，故 收敛，从而原级数绝对收敛。11.解：记，则。显见去掉首项后所得级数仍是发散的，由比较法知发散，从而发散。又显见是Leibniz型级数，它收敛。即收敛，从而原级数条件收敛。12.解：，所以。又当时，级数成为，都收敛，故级数的收敛域为。设级数的和函数为，即。再令，逐项微分得 ，故 ，又显然有，故 13.解：（1）原方程可化为，（当），两边积分得，即为通解。当时，即，显然满足原方程，所以原方程的全部解为及。（2）当时，原方程可化为，令，得，原方程化为，解之得；当时，原方程可化为，类似地可解得。综合上述，有 （3）由公式得 四、求解题：1.解：（1）（2）2.解：解法一：先求矩阵A的逆矩阵。因为 所以 且解法二：因为 所以 3.解：因为所以 且 4.解：（1）P(B)=P(B)P(AB) 因为A，B互斥，故P(AB)=0，而由已知P(B)=， P(B)=P(B)=（2） P(A)=，由AB知：P(AB)=P(A)=， P(B)=P(B)P(AB)=（3）P(AB)= P(B)=P(B)P(AB)=5.解：设B1、B2、B3分别表示选出的其中装有一等品为20，12，24件的箱子，A1、A2分别表示第一、二次选出的为一等品，依题意，有P(A1)=P(B1)P(|B1)+P(B2)P(A1|B2)+P(B3)P(A1|B3)=0.467P()=0.220
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